山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的单调性与最值课件

山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的单调性与最值课件

第二章 函数、导数及其应用 第三讲　函数的单调性与最值 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　函数的单调性 1 ． 单调函数的定义 f ( x 1 )< f ( x 2 ) 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f ( x ) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2 当 x 1 < x 2 时，都有 ________________ ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数 当 x 1 < x 2 时，都有 _________________ ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是减函数 f ( x 1 )> f ( x 2 ) 上升的 下降的 增函数或减函数 区间 D 知识点二　函数的最值 f ( x )≤ M 前提 设函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 条件 (1) 对于任意 x ∈ I ，都有 ____________ ； (2) 存在 x 0 ∈ I ，使得 _____________ (1) 对于任意 x ∈ I ，都有 ____________ ； (2) 存在 x 0 ∈ I ，使得 _____________ 结论 M 为最大值 M 为最小值 f ( x 0 ) ＝ M f ( x )≥ M f ( x 0 ) ＝ M 1 ．复合函数的单调性 函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ φ ( x ) ，在函数 y ＝ f [ φ ( x )] 的定义域上，如果 y ＝ f ( u ) ， u ＝ φ ( x ) 的单调性相同，则 y ＝ f [ φ ( x )] 单调递增；如果 y ＝ f ( u ) ， u ＝ φ ( x ) 的单调性相反，则 y ＝ f [ φ ( x )] 单调递减． ABCD B 3 ． ( 必修 1P 32 T5 改编 ) 已知 f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ x ， x ∈ [ － 1,3] ，则其单调递减区间为 ____ _ ___ ； f ( x ) min ＝ __________. 4 ． ( 必修 1P 32 T3 改编 ) 设定义在 [ － 1,7] 上的函数 y ＝ f ( x ) 的图象如图所示，则函数 y ＝ f ( x ) 在增区间为 _________________. － 15 [ － 1,1] 和 [5,7] A 0 考点突破 • 互动探究 考点一　函数的单调性 考向 1 　函数单调性的判断与证明 —— 自主练透 ACD 例 1 例 2 考向 2 　求函数的单调区间 —— 师生共研 [ 引申 1] 本例 (1) f ( x ) ＝ | － x 2 ＋ 2 x ＋ 3| 的增区间为 ___________________________. [ 解析 ] 　 作出 f ( x ) ＝ | － x 2 ＋ 2 x ＋ 3| 的图象，由图可知所示增区间为 ( － 1,1) 和 (3 ，＋∞ ) ． [ 引申 2] 本例 (2) f ( x ) ＝ log a ( － x 2 ＋ 4 x ＋ 5)( a >1) 的增区间为 ______________. ( － 1,1) 和 (3 ，＋∞ ) ( － 1,2] 求函数的单调区间 ( 确定函数单调性 ) 的方法 (1) 利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解． (3) 图象法：如果 f ( x ) 是以图象形式给出的，或者 f ( x ) 的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． (5) 求复合函数的单调区间的一般步骤是： ① 求函数的定义域； ② 求简单函数的单调区间； ③ 求复合函数的单调区间，依据是 “ 同增异减 ”． 注意： (1) 求函数单调区间，定义域优先． (2) 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 “ ∪ ” 连接，也不能用 “ 或 ” 连接． C C ( －∞， 2] B 考向 3 　函数单调性的应用 —— 多维探究 角度 1 　利用函数的单调性比较大小 例 3 D 例 4 角度 2 　利用单调性求参数的取值范围 A (2017 · 全国卷 Ⅰ ) 函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 单调递减，且为奇函数．若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1≤ f ( x － 2)≤1 的 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [ － 2,2] B ． [ － 1,1] C ． [0,4] D ． [1,3] [ 解析 ] 　 因为 f (1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 为奇函数，所以 f ( － 1) ＝－ f (1) ＝ 1 ，因为－ 1 ≤ f ( x － 2) ≤ 1 ，所以 f (1) ≤ f ( x － 2) ≤ f ( － 1) ，又 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 上单调递减，所以－ 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，解得 1 ≤ x ≤ 3 ，故选 D ． 角度 3 　利用单调性解不等式 D 例 5 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1) 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2) 利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系． (3) 解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将 “ f ” 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． A ( － 1,3) D 例 6 考点二　函数的最值 —— 自主练透 3 D 利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上是增函数，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值为 f ( b ) ，最小值为 f ( a ) ．若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上是减函数，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值为 f ( a ) ，最小值为 f ( b ) ． 名师讲坛 • 素养提升 抽象函数的单调性问题 例 7