高中数学人教a版必修四课时训练：1.3 三角函数的诱导公式(一)

高中数学人教a版必修四课时训练：1.3 三角函数的诱导公式(一)

§1.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进 行求值、化简与证明． 1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称 －α与α 关于________对称 π－α与α 关于________对称 2.诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其 中 k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________. 一、选择题 1．sin 585°的值为( ) A．－ 2 2 B. 2 2 C．－ 3 2 D. 3 2 2．若 n 为整数，则代数式sinnπ＋α cosnπ＋α 的化简结果是( ) A．±tan α B．－tan α C．tan α D.1 2tan α 3．若 cos(π＋α)＝－1 2 ，3 2π<α<2π，则 sin(2π＋α)等于( ) A.1 2 B．± 3 2 C. 3 2 D．－ 3 2 4．tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－α sin－α－cosπ＋α 的值为( ) A.m＋1 m－1 B.m－1 m＋1 C．－1 D．1 5．记 cos(－80°)＝k，那么 tan 100°等于( ) A. 1－k2 k B．－ 1－k2 k C. k 1－k2 D．－ k 1－k2 6．若 sin(π－α)＝log8 1 4 ，且α∈ －π 2 ，0 ，则 cos(π＋α)的值为( ) A. 5 3 B．－ 5 3 C．± 5 3 D．以上都不对 二、填空题 7．已知 cos(π 6 ＋θ)＝ 3 3 ，则 cos(5π 6 －θ)＝________. 8．三角函数式 cosα＋πsin2α＋3π tanα＋πcos3－α－π 的化简结果是______. 9．代数式 1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° 的化简结果是______． 10．设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中 a、b、α、β为非零常数．若 f(2 009)＝1， 则 f(2 010)＝____. 三、解答题 11．若 cos(α－π)＝－2 3 ，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π cosπ－α－cos－π－αcosα－4π 的值． 12．已知 sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 能力提升 13．化简：sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ] sinkπ－θ·coskπ＋θ (其中 k∈Z)． 14．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三 个内角． 1．明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为 0～2π求值 公式二 将 0～2π内的角转化为 0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为 0～π 2 求值 2.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名 称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角． §1.3 三角函数的诱导公式(一) 答案 知识梳理 1．原点 x 轴 y 轴 2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α 作业设计 1．A 2.C 3．D [由 cos(π＋α)＝－1 2 ，得 cos α＝1 2 ， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－ 1－cos2 α＝－ 3 2 (α为第四象限角)．] 4．A [原式＝sin α＋cos α sin α－cos α ＝tan α＋1 tan α－1 ＝m＋1 m－1 .] 5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k， ∴sin 80°＝ 1－k2.∴tan 80°＝ 1－k2 k . ∴tan 100°＝－tan 80°＝－ 1－k2 k .] 6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－2 3 ＝－2 3 ， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1－sin2 α＝－ 1－4 9 ＝－ 5 3 .] 7．－ 3 3 8．tan α 解析 原式＝ －cos α·sin2α tan α·cos3α＋π ＝－cos α·sin2α －tan α·cos3α ＝cos α·sin2α sin α·cos2α ＝sin α cos α ＝tan α. 9．－1 解析 原式＝ 1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70° ＝ 1－2sin 110°cos 70° －sin 70°＋cos 70° ＝ 1－2sin 70°cos 70° cos 70°－sin 70° ＝|sin 70°－cos 70°| cos 70°－sin 70° ＝sin 70°－cos 70° cos 70°－sin 70° ＝－1. 10．3 解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2 ＝2－(asin α＋bcos β)＝1， ∴asin α＋bcos β＝1， f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝3. 11．解 原式＝－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α －cos α－－cos αcos α ＝sin α－sin αcos α －cos α＋cos2α ＝ sin α1－cos α －cos α1－cos α ＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3 ， ∴cos α＝2 3.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝2 3 ， sin α＝ 1－cos2α＝ 5 3 ，∴tan α＝sin α cos α ＝ 5 2 ，∴原式＝－ 5 2 . 当α为第四象限角时，cos α＝2 3 ， sin α＝－ 1－cos2α＝－ 5 3 ，∴tan α＝sin α cos α ＝－ 5 2 ，∴原式＝ 5 2 . 综上，原式＝± 5 2 . 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2kπ＋π 2 (k∈Z)， ∴α＝2kπ＋π 2 －β (k∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β＝tan 2 2kπ＋π 2 －β ＋β ＋tan β ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立． 13．解 当 k 为偶数时，不妨设 k＝2n，n∈Z，则 原式＝sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ] sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ ＝sinπ＋θ·cosπ－θ －sin θ·cos θ ＝－sin θ·－cos θ －sin θ·cos θ ＝－1. 当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1，n∈Z，则 原式＝sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ] sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ] ＝sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ] sinπ－θ·cosπ＋θ ＝ sin θ·cos θ sin θ·－cos θ ＝－1. ∴上式的值为－1. 14．解 由条件得 sin A＝ 2sin B， 3cos A＝ 2cos B， 平方相加得 2cos2A＝1，cos A＝± 2 2 ， 又∵A∈(0，π)，∴A＝π 4 或3 4π. 当 A＝3 4π时，cos B＝－ 3 2 <0，∴B∈ π 2 ，π ， ∴A，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A＝π 4 ，cos B＝ 3 2 ，∴B＝π 6 ，∴C＝ 7 12π.