【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-5对数与对数函数

【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-5对数与对数函数

‎2.5　对数与对数函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 对数、对数函数的图象与性质 ‎①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;‎ ‎②理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点;‎ ‎③知道对数函数是一类重要的函数模型;‎ ‎④了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1)‎ ‎2018课标Ⅲ,12,5分 比较大小 不等式性质 ‎★★★‎ ‎2016课标Ⅰ,8,5分 比较大小 指数函数的性质 ‎2018天津,5,5分 比较大小 不等关系 与不等式 ‎2017北京,8,5分 对数运算 分析解读　　1.会根据对数的运算法则、换底公式进行运算,能进行对数式与指数式的互化.2.会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围,解决指数函数与对数函数互为反函数关系的问题等.3.以对数函数的复合函数为载体,考查函数值的大小比较及函数单调性.4.本节内容在高考中所占分值为5分左右,属于中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　对数的概念及运算 ‎1.(2018江西师范大学附属中学三模,5)已知函数f(x)=(ex+e-x)·ln‎1-x‎1+x-1,若f(a)=1,则f(-a)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1 B.-1 C.3 D.-3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:lg‎27‎+lg8-3lg‎10‎lg1.2‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎3.(2018黑龙江仿真模拟(二),15)设2x=5y=m,且‎1‎x+‎1‎y=2,则m=　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎ 考点二　对数函数的图象与性质 ‎1.(2018山东潍坊一模,6)若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是(　　)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017河北邯郸高三期末,6)若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则(　　)‎ A.cb>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 答案　D　‎ 方法2　探究对数型函数的性质 ‎1.(2018江西南城一中期中,7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,设a=ln‎1‎π,b=(ln π)2,c=lnπ,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c)‎ C.f(c)>f(a)>f(b) D.f(c)>f(b)>f(a)‎ 答案　C　‎ ‎2.设函数f(x)=log‎1‎‎2‎(x2+1)+‎8‎‎3x‎2‎+1‎,则不等式f(log2x)+f(log‎1‎‎2‎x)≥2的解集为(　　)‎ A.(0,2] B.‎‎1‎‎2‎‎,2‎ C.[2,+∞) D.‎0,‎‎1‎‎2‎∪[2,+∞)‎ 答案　B　‎ ‎3.已知函数f(x)=log3‎1-x‎1+x.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性;‎ ‎(3)当x∈‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.‎ 解析　(1)要使函数f(x)=log3‎1-x‎1+x有意义,‎ 自变量x需满足‎1-x‎1+x>0,‎ 解得x∈(-1,1),‎ 故函数f(x)的定义域为(-1,1).‎ ‎(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称,‎ ‎∵f(-x)=log3‎1+x‎1-x=log3‎1-x‎1+x‎-1‎=-log3‎1-x‎1+x=-f(x),‎ ‎∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3)令u=‎1-x‎1+x,则u'=-‎2‎‎(1+x‎)‎‎2‎,u'<0,‎ 故u=‎1-x‎1+x在‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎上为减函数,‎ 则u∈‎1‎‎3‎‎,3‎,‎ 又∵y=log3u为增函数,∴g(x)∈[-1,1],‎ 故函数g(x)的值域为[-1,1].‎ 易错警示　利用对数函数的性质研究对数型函数性质时,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2018课标Ⅲ,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a+bb>1,00,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 答案　B　‎ ‎2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(　　)‎ ‎(参考数据:lg 3≈0.48)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1033 B.1053 C.1073 D.1093‎ 答案　D　‎ ‎3.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=‎5‎‎2‎,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　4;2‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0p C.p=rq 答案　C　‎ ‎2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是　(　　)‎ A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案　A　‎ ‎3.(2014辽宁,3,5分)已知a=‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎,b=log2‎1‎‎3‎,c=log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎,则(　　)‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案　C　‎ ‎4.(2014天津,4,5分)函数f(x)=log‎1‎‎2‎(x2-4)的单调递增区间为　(　　)‎ A.(0,+∞) B.(-∞,0) ‎ C.(2,+∞) D.(-∞,-2)‎ 答案　D　‎ ‎5.(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(　　)‎ 答案　B　‎ ‎6.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:‎ ‎①f(-x)=-f(x);②f‎2x‎1+‎x‎2‎=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.‎ 其中的所有正确命题的序号是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②‎ 答案　A　‎ ‎7.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎8.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=‎-x+6,‎x≤2,‎‎3+logax,‎x>2‎(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是　. ‎ 答案　(1,2]‎ ‎9.(2014陕西,11,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎ ‎10.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2x·log‎2‎(2x)的最小值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎ ‎‎1‎‎4‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高三期中考试,8)若函数f(x)=log0.3(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,且b=lg 0.3,c=20.3,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.bb>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 答案　D　‎ ‎4.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=x+1‎‎|x+1|‎loga|x|(00且m≠1)在[2,3]上单调递增,则实数m的取值范围为(　　)‎ A.(1,36] B.[36,+∞) C.(1,16]∪[36,+∞) D.(1,16]‎ 答案　D　‎ ‎9.(2017江西红色七校二模,11)已知函数f(x)=ln exe-x,若fe‎2 013‎+f‎2e‎2 013‎+…+f‎2 012e‎2 013‎=503(a+b),则a2+b2的最小值为(　　)‎ A.6 B.8 C.9 D.12‎ 答案　B　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎10.(2019届安徽皖中名校10月联考,15)函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=-x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点　　　　. ‎ 答案　(1,-4)‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎11.(2019届河北廊坊示范性高中联合体第一次联考,20)已知函数f(x)=log3(ax2-x+3).‎ ‎(1)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围;‎ ‎(2)已知集合M=[1,3],方程f(x)=2的解集为N.若M∩N≠⌀,求a的取值范围.‎ 解析　(1)因为函数的定义域为R,所以ax2-x+3>0恒成立.当a=0时,-x+3>0不恒成立,不符合题意;‎ 当a≠0时,a>0,‎Δ=1-12a<0,‎解得a>‎1‎‎12‎.综上所述,a>‎1‎‎12‎.‎ ‎(2)由题意可知,ax2-x+3=9在[1,3]上有解,‎ 即a=‎6‎x‎2‎+‎1‎x在[1,3]上有解,‎ 设t=‎1‎x,t∈‎1‎‎3‎‎,1‎,则a=6t2+t,‎ 因为a=6t2+t在‎1‎‎3‎‎,1‎上单调递增,所以a∈[1,7].‎ 解题关键　本题主要考查了对数函数和二次函数的图象与性质的应用问题,熟记二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了换元思想.‎