【数学】2019届一轮复习北师大版函数图象与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版函数图象与性质学案

专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数图象与性质 高考导航 对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数 函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问 题上应重点加强训练． 2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突 出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法； 二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在 信息. 1．(2017·山东卷)设函数 y＝ 4－x2的定义域为 A，函数 y＝ln(1－x)的定义域为 B，则 A∩B＝( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) [解析] 由 4－x 2≥0 得－2≤x≤2，由 1－x>0 得 x<1，故 A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝ {x|－2≤x<1}，故选 D. [答案] D 2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝ x B．y＝|sinx| C．y＝cosx D．y＝ex－e－x [解析] A 项中的函数为非奇非偶函数，B 项和 C 项中的函数是偶函数，D 项中的函数满 足奇函数的定义，故选 D. [答案] D 3．(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若 f(1)＝－1，则满 足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] [解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝1. 于是－1≤f(x－2)≤1 等价于 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选 D. [答案] D 4．(2016·全国卷Ⅰ)函数 y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( ) [解析] f(2)＝2×2 2－e2＝8－e 2，因为 0<8－e2<1，所以 04x，y′<0，即 y＝2x2－e|x|单调递减；当 x0ex， y′>0，即 y＝2x2－e|x|单调递增，故选 D. [答案] D 5．(2016·四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 0)图象→由相切时的k值求范围 [解析] 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在 y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对 称． 可作出函数 y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数 y＝lnx(x>0)的图象， 使它与直线 y＝kx－1(x>0)的交点个数为 2. 当直线 y＝kx－1 与 y＝lnx 的图象相切时， 设切点为(m，lnm)，又 y＝lnx 的导数为 y′＝1 x， 则 km－1＝lnm，k＝1 m，解得 m＝1，k＝1， 可得函数 y＝lnx(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为 1，结合图象可知 k∈(0,1)时 两函数图象有两个交点． [答案] B 识别函数图象应关注的 5 点 (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置． (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势． (3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性． (4)根据函数的周期性判断图象的循环往复． (5)取特殊值代入进行检验． [对点训练] 1．[角度 1](2017·贵州七校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝ln|x| x B．f(x)＝ex x C．f(x)＝1 x2－1 D．f(x)＝x－1 x [解析] 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B、C.若函数为 f(x)＝x－1 x，则 x→ ＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D，故选 A. [答案] A 2．[角度 2](2017·福建漳州八校联考)已知函数 f(x)＝Error!若函数 g(x)＝f(x)－m 有三个 零点，则实数 m 的取值范围是________． [解析] 令 g(x)＝f(x)－m＝0，得 f(x)＝m，则函数 g(x)＝f(x)－m 有三个零点等价于函数 f(x) 与 y＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图： 当 x≤0 时，f(x)＝x2＋x＝ ( x＋ 1 2 )2－1 4≥－1 4，若函数 f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交 点，则－1 40) 4．函数的对称性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a,0) 对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝a＋b 2 对称． 角度 1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值 【例 2－1】 (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝3x－( 1 3 )x，则 f(x)( ) A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 [解析] 易知函数 f(x)的定义域关于原点对称． ∵f(－x)＝3－x－( 1 3 )－x＝( 1 3 )x－3x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 又∵y＝3x 在 R 上是增函数，y＝－( 1 3 )x 在 R 上是增函数， ∴f(x)＝3x－( 1 3 )x 在 R 上是增函数．故选 A. [答案] A 角度 2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结 合 [思维流程] f(x)是R上的偶函数 且在(－∞，0)上单调递增 ― ― → 对称性 f(x)在(0，＋∞) 上单调递减 →脱去“f”→解关于a 的不等式 [解析] 解法一：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所 以 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．又 f(2|a－1|)>f(－ 2)，f(－ 2)＝f( 2)，故 0<2|a－1|< 2，则 |a－1|<1 2，所以1 2f(－ 2)，得－|2|a－1||>－|－ 2|， 则|a－1|<1 2，解得1 21 2时，f(x＋1 2 )＝f(x－1 2 ).则 f(6)＝( ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 [解析] 由题意可知，当－1≤x≤1 时，f(x)为奇函数，且当 x>1 2时，f(x＋1)＝f(x)，所以 f(6) ＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以 f(6)＝2.故选 D. [答案] D 热点课题 2 函数图象辨析 [感悟体验] 1．(2017·长沙模拟)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( ) [解析] 由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当 x∈ [0，π 2 ]时，f(x)＝cosx·sinx＝ 1 2sin2x；当 x∈ ( π 2，π ]时，f(x)＝－cosx·sinx＝－1 2sin2x，故选 B. [答案] B 2．(2017·南昌二模)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 A1B1， CD 的中点，点 M 是 EF 上的 动点(不与 E，F 重合)，FM＝x，过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分， 记下面那部分的体积为 V(x)，则函数 V(x)的大致图象是( ) [解析] 当 x∈(0， 2 2 ]时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当 x∈[ 2 2 ， 2)时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选 C. [答案] C