高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评6 word版含答案

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高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评6 word版含答案

学业分层测评(六) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.设正方体的表面积为 24,那么其外接球的体积是( ) A.4 3π B.8π 3 C.4 3π D.32 3π 【解析】 设正方体边长为 a,由题意可知,6a2=24,∴a=2. 设正方体外接球的半径为 R,则 3a=2R,∴R= 3,∴V 球=4 3πR3=4 3π. 【答案】 C 2.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为 ( ) A.2∶3 B.4∶9 C. 2∶ 3 D. 8∶ 27 【解析】 4 3πr3 ∶ 4 3πR3 =r3∶R3=8∶27, ∴r∶R=2∶3,∴S1∶S2=r2∶R2=4∶9. 【答案】 B 3.把一个铁制的底面半径为 r,高为 h 的实心圆锥熔化后铸成一 个铁球,则这个铁球的半径为( ) A.r h 2 B.r2h 4 C. 3 r2h 4 D.r2h 2 【解析】 ∵1 3πr2h=4 3πR3,∴R=3 r2h 4 . 【答案】 C 4.一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距 离是 4 cm,则该球的体积是( ) 【导学号:09960032】 A.100π 3 cm3 B.208π 3 cm3 C.500π 3 cm3 D.416 13π 3 cm3 【解析】 根据球的截面性质,有 R= r2+d2= 32+42=5, ∴V 球=4 3πR3=500 3 π(cm3). 【答案】 C 5.等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,它们的 表面积的大小关系是( ) A.S 球1,故选 A. 【答案】 A 二、填空题 6.一个几何体的三视图(单位:m)如图 1316 所示,则该几何体 的体积为________m3. 图 1316 【解析】 由三视图知,几何体下面是两个球,球半径为3 2 ; 上面是长方体,其长、宽、高分别为 6、3、1, 所以 V=4 3π× 3 2 3×2+1×3×6=9π+18. 【答案】 9π+18 7.(2016·河源高二检测)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取 出,冰面上留下了一个直径为 6 cm,深为 1 cm 的空穴,则该球半径是 ________cm,表面积是________cm2. 【导学号:09960033】 【解析】 设球心为 O,OC 是与冰面垂直的一条球半径,冰面截 球得到的小圆圆心为 D,AB 为小圆 D 的一条直径,设球的半径为 R, 则 OD=R-1, 则(R-1)2+32=R2, 解得 R=5 cm, 所以该球表面积为 S=4πR2=4π×52=100π(cm2). 【答案】 5 100π 三、解答题 8.如图 1317,一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm,瓶里所装 的水深为 8 cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到 8.5 cm,求钢球的半径. 图 1317 【解】 设球的半径为 R,由题意可得 4 3πR3=π×32×0.5, 解得 R=1.5(cm),所以所求球的半径为 1.5 cm. 9.(2016·大同高二检测)如图 1318 所示(单位:cm)四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体 积. 图 1318 【解】 1 2S 球=1 2 ×4π×22=8π(cm2), S 圆台侧=π(2+5) 5-22+42=35π(cm2), S 圆台下底=π×52=25π(cm2), 即该几何体的表面积为 8π+35π+25π=68π(cm2). 又 V 圆台=π 3 ×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), V 半球=1 2 ×4π 3 ×23=16π 3 (cm3). 所以该几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π-16π 3 =140π 3 (cm3). [自我挑战] 10.一块石材表示的几何体的三视图如图 1319 所示.将该石材 切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) 图 1319 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.由 题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆 相同时,该球的半径最大,故其半径 r=1 2 ×(6+8-10)=2.因此选 B. 【答案】 B 11.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半 径为 2,求球的体积. 【导学号:09960034】 【解】 如图所示,作出轴截面, 因为△ABC 是正三角形, 所以 CD=1 2AC=2, 所以 AC=4,AD= 3 2 ×4=2 3, 因为 Rt△AOE∽Rt△ACD, 所以OE AO =CD AC. 设 OE=R,则 AO=2 3-R, 所以 R 2 3-R =1 2 ,所以 R=2 3 3 . 所以 V 球=4 3πR3=4 3π· 2 3 3 3=32 3π 27 . 所以球的体积等于32 3π 27 .
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