- 2021-06-16 发布 |
- 37.5 KB |
- 26页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三下学期6月高考适应性考试文科数学试题 Word版含解析
- 1 - 2020 届襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校 高三 6 月适应性考试文科数学试题 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题 卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 2{ | 4 }A x y x ,集合 { | }B x x a ,若 A B ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. , 2 B. , 2 C. 2 , D. 2 , 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得, 2,2A ,再根据集合间包含关系即可求出答案. 【详解】解:∵ 2{ | 4 } 2,2A x y x , { | }B x x a , A B , ∴ 2a , 故选:B. 【点睛】本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围,考查一元二次不等式的解 法,属于基础题. 2. 已知i 为虚数单位,若复数 (1 2 ) 3i z i ,则| |z ( ) - 2 - A. 5 2 3 B. 26 5 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数乘除法中模的性质计算. 【详解】因为 (1 2 ) 3i z i ,所以 (1 2 ) 3i z i ,即 1 2 3i z i , 5 10z , 所以 2z . 故选:C. 【点睛】本题考查求复数的模,掌握模的性质是解题关键.设 1 2,z z 是任意两个复数,则 1 2 1 2z z z z , 11 2 2 zz z z . 3. 2020 年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责 任.在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢 疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况, 根据该折线图,下列结论正确的是( ) A. 16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B. 16 天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数 C. 16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D. 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 【答案】C - 3 - 【解析】 【分析】 由折线图分别观察变化趋势,估计中位数,计算极差,确认新增治愈病例数量与新增确诊与 新增疑似病例之和,判断各选项后可得结论. 【详解】从新增确诊折线看 19 日降幅最大,但并不呈下降趋势,如 20 日比 19 日就是上升的, 27,28,29 三天还是增加的趋势,A 错; 新增确诊病例和新增疑似病例的中位数在 21、22 日前后,新增疑似病例的中位数比新增确诊 病例的中位数大,B 错; 三根折线中最大值与最小值的差都大于 2000,C 正确; 20 日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,D 错误. 故选:C. 【点睛】本题考查折线图的认识,考查学生的数据处理能力.属于基础题. 4. 将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分,然后沿等分线把正方体切开得到同样大小 的小正方体,从这些小正方体中任取一个,则恰好没有被涂色的概率为( ) A. 1 8 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据古典概型的概率公式计算可得结果. 【详解】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 64 个,其中有 3 个面涂色的小 正方体共有 8 个,只有 2 个面涂色的小正方体共有12 2 24 个,只有一个面涂色的小正方 体共有 2446 个,那么没有被涂色的小正方体共有 64 8 24 24 8 个, 所以恰好没有被涂色的概率为 8 1 64 8 . 故选:A. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,属于基础题. - 4 - 5. 已知 1 2 |1 2 |x xf x ,则 f x 的值域是( ) A. ,2 B. 0,2 C. 0 3, D. 1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质分类讨论去掉绝对值求出各段区间上的值域,再求函数 f x 的值域. 【详解】解:当1 2 0x ,即 0x 时, 11 2 1 2 2x x xf x ,则 0 2f x , 当1 2 0x ,即 0x 时, 1 2 1 2 2x xf x , ∴ f x 的值域是 0,2 , 故选:B. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域,考查指数函数的性质,属于基础题. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 以 x 轴的正半轴为始边,若终边经过点 P 0 0( , )x y 且 ( 0)OP r r ,定义: 0 0cos y xsi r ,称“ cossi ”为“正余弦函数”;对于正余 弦函数 cosy si x ,以下性质中正确的是( ) A. 函数关于 2x 对称 B. 函数关于 ( ,0)2 对称 C. 函数在 3[0, ]4 单调递增 D. 函数值域为[ 2,2] 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意,求出 cos 2 sin( )4y si x x ,然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即 可. 【详解】解:根据三角函数的定义可知 0 cosx r x , 0 siny r x , 所以 0 0 sin coscos sin cos 2 sin( )4 y x r x r xy si x x x xr r , 即 cos 2 sin( )4y f x si x x - 5 - 因为 1 sin( ) 14x , 所以 2 2 sin( ) 24x , 即该函数的值域为 2, 2 ; 因为 cos 2 sin( )4f x si x x 所以 cos 2 sin 12 2 2 4f si ,故函数不关于 2x 对称且不关于 ,02 对称, 令 2 22 4 2k x k , k Z 解得 32 24 4k x k , k Z , 即函数的单调递增区间为 32 , 24 4k k , k Z ,故 C 正确; 故选:C 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于中档题,解答此题的关键是首先求出 函数 cosy si 的表达式. 7. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ,则记为 (mod )N n m ,例如10 4(mod6) .右 边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的 n 等 于( ) - 6 - A. 17 B. 16 C. 15 D. 13 【答案】A 【解析】 根据算法的程序框图知,从 n=11 开始,依次增加 1,对应的正整数要同时满足 n=2(mod3), 及 n=2(mod5)时,即被 3 除余 2,被 5 除余 2,才结束循环,输出 n 的值,满足条件的 n=17. 故选 A. 8. 已知 0 1y x , 1x y , log 2xy x ya , cosb y , 1( )yc x 的,则 , ,a b c 的大 小关系是( ) A. c b a B. c a b C. a b c D. b c a 【答案】A 【解析】 【分析】 对 a 可根据不等式以对数函数的单调性,得到 a 的大致范围,对b 根据余弦函数的单调性得到 大致范围,对 c 根据指数函数的单调性确定大致范围,从而比较出 , ,a b c 的大小. - 7 - 【详解】由 0 1y x , 1x y ,则 2 1 2 4 x yxy , 1 2logxya 1 2 1 log ( )xy , 由 1 1 2 2 1log ( ) log 24xy ,故 10 2a ; 由 0 1 3y ,则 cos0 cos cos1y cos 3 ,得 11 cos 2y ,即 1 12 b ; 由 0 1y x ,则 1 1x , 0y ,得 01 1( ) ( )yc x x ,得 1c ; 故 c b a . 故选:A 【点睛】本题考查了比较数的大小,根据函数的单调性,得到大致范围,从而比较出数的大 小. 9. 数列的发展史,折射出许多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要作用,比如意 大利数学家列昂纳多·斐波拉契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233···也即 (1) (2) 1F F , ( ) ( 1) ( 2)F n F n F n ( 3, )n n N ,若此数列被 4 整除后的余数构成一个新的数列 nb ,则 1 2 3 2020b b b b ( ) A. 2695 B. 3535 C. 2023 D. 2020 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得: 1 1b , 2 1b , 3 2b , 4 3b , 5 1b , 6 0b ; 7 1b , 8 1b , 9 2b , 10 3b , 11 1b , 12 0b ,.可得数列{ }nb 是周期为 6 的数列,从而求出数列的前 2020 项和; 【详解】解:由题意可得: 1 1b , 2 1b , 3 2b , 4 3b , 5 1b , 6 0b ; 7 1b , 8 1b , 9 2b , 10 3b , 11 1b , 12 0b ,. 数列{ }nb 是周期为 6 的数列, - 8 - 所以 1 2 3 2020 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4336b b b b b b b b b b b b b b 1 1 2 3 1 0 336 1 1 2 3 2695 故选:A 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 10. 已知双曲线 2 2: 14 xC y , 1 2,F F 分别为双曲线的左右焦点, 0 0( , )P x y 为双曲线C 上 一点,且位于第一象限,若三角形 1 2PF F 为锐角三角形,则 0y 的取值范围为( ) A. 5( , )5 B. 2 5( , )5 C. 5 1( , )5 2 D. 1 2 5( , )2 5 【答案】C 【解析】 【分析】 因为 P 位于第一象限,所以 1 2PF F 恒为锐角,由 2 1PF F 为锐角可得 02 5x , 0 1(0, )2y ,由 1 2F PF 为锐角得 1 2 0PF PF ,利用平面向量积可得答案. 【详解】由 2 2 14 x y 得 1( 5,0)F 、 2 ( 5,0)F , 因为 P 位于第一象限,所以 1 2PF F 恒为锐角, 因为三角形 1 2PF F 为锐角三角形,所以 2 1PF F 为锐角, 1 2F PF 为锐角, 由 2 1PF F 为锐角得 02 5x ,所以 2 2 0 0 11 (0, )4 4 xy ,因为 0 0y ,所以 0 1(0, )2y , 由 1 2F PF 为锐角得 1 2 0PF PF , 所以 0 0 0 0( 5 , ) ( 5 , ) 0x y x y , 所以 2 0 0 0( 5 )( 5 ) 0x x y , - 9 - 所以 2 2 0 0 5 0x y , 又 2 20 0 14 x y ,所以 2 2 0 04 4 5 0y y ,即 2 0 1 5y ,又 0 0y ,所以 0 5 5y , 综上所述: 0 5 1( , )5 2y . 故选:C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,考查了平面向量数量积,考查了运算求解能力,考 查了锐角三角形的概念,属于基础题. 11. 平面四边形 ABCD 为凸四边形,且 60A ,AD DC , 3AB , 2BD ,则 BC 的取值范围为( ) A. 7[ ,2)2 B. 7( ,2)2 C. 2 7, D. 7[ , 7)2 【答案】D 【解析】 【分析】 由余弦定理求出 AD ,作出直角三角形 ADE( E 是 ,DC AB 的交点),点C 在线段 ED(不 含端点)上,求出 7BE ,再求出 B 到直线 DE 的距离即可得出结论. 【 详 解 】 设 AD x , 在 ABD△ 中 , 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD A , 所 以 24 3 2 3 cos60x x ,解得 3 7 2x , 延长 ,DC AB 交于点 E ,则由 AD CD 得 3 7AE , 7BE , 若 BC CD ,则 7 2BC , 显然点C 在线段 ED (不含端点)上,所以 BC 的取值范围是 7[ , 7)2 . 故选:D. - 10 - 【点睛】本题考查解三角形的应用,掌握余弦定理是解题关键. 12. 如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, , ,E F G 分别是棱 1, ,AB BC CC 的中 点, P 是底面 ABCD 内一动点,若直线 1D P 与平面 EFG 不存在公共点,以下说法正确的个 数是( ) ①三棱锥 P EFG 的体积为定值; ② 1PBB 的面积的最小值为 2 ; ③ 1B D 平面 EFG ; ④经过 , ,E F G 三点的截面把正方体分成体积相等的两部分. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得, 1 //D P 平面 EFG ,连接 1 1 1, , ,AD AC CD BC ,则 1 1//AD BC ,可得 //AC 平面 EFG , 1 //AD 平面 EFG ,由此得平面 1 //ACD 平面 EFG ,则点 P 在直线 AC 上,从而有 PEF 的 面积 PEFS△ 为定值,由此可判断①;结合题意得,当点 P 为 ,AC BD 的交点时, AC PB , PB 有最小值 1 22PB BD ,由此可判断②;由题意可得 AC 平面 1 1BB D D ,从而推出 - 11 - 1EF B D , 1GF B D ,由此可判断③;将平面 EFG 补成平面 EFGHIJ ( , ,H I J 均为各 条棱的中点),结合图象可判断④. 【详解】解:∵直线 1D P 与平面 EFG 不存在公共点, ∴ 1 //D P 平面 EFG , 连接 1 1 1, , ,AD AC CD BC ,则 1 1//AD BC , ∵ , ,E F G 分别是棱 1, ,AB BC CC 的中点, ∴ //EF AC , 1 1/// /GF BC AD , ∵ AC 平面 EFG , EF 平面 EFG , ∴ //AC 平面 EFG , 同理, 1 //AD 平面 EFG , 又 1AC AD AI , ∴平面 1 //ACD 平面 EFG , ∵ 1 //D P 平面 EFG ,平面 1ACD 平面 ABCD AC , 1D P 平面 1ACD , ∴点 P 在直线 AC 上, ∵ //EF AC , ∴ PEF 的面积 PEFS△ 为定值, ∴三棱锥 P EFG 的体积 P EFG G PEFV V 为定值,则①对; ∵ //EF AC , ∴当点 P 为 ,AC BD 的交点时, AC PB , PB 有最小值 1 22PB BD , - 12 - 此时,直角 1PBB 的面积有最小值,且 1 1 1 2PBBS PB BB 1 2 2 22 ,则②对; ∵在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, AC BD , 由 1BB 平面 ABCD 得, 1AC BB , ∴ AC 平面 1 1BB D D ,∴ 1AC B D ,则 1EF B D , 同理, 1GF B D , ∴ 1B D 平面 EFG ,则③对; 将平面 EFG 补成平面 EFGHIJ ( , ,H I J 均为各条棱的中点),如图, 则平面 EFG 将正方体分成两个大小形状完全相同的部分(均由一个正六棱锥和三个三棱锥拼 接而成),则④对; 故选:D. 【点睛】本题主要考查空间中的点、线、面的位置关系,考查几何体的体积的求法,属于中 档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知抛物线 2 2 0y px p 的焦点是双曲线 2 2 18 x y p 的一个焦点,则双曲线的渐近 线方程为___________. 【答案】 y x 【解析】 【分析】 根据题意可得出关于 p 的方程,解出正数 p 的值,可得出双曲线的标准方程,进而可得出双 曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线 2 2 0y px p 的焦点坐标为 ,02 p , 由题意可知,点 ,02 p 为双曲线 2 2 18 x y p 的一个焦点,则 8 2 pp ,整理得 2 4 32 0p p , - 13 - 0p ,解得 8p ,所以,双曲线的标准方程为 2 2 18 8 x y . 因此,双曲线的渐近线方程为 y x . 故答案为: y x . 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解,同时也考查了利用抛物线与双曲线的焦点求参 数,考查计算能力,属于基础题. 14. 已知圆 2 22 2 2 1 0x x y my m ,当圆的面积最小时,直线 y x b 与圆相切, 则b __________. 【答案】 2 【解析】 【分析】 利用圆的面积最小得圆的半径最小,可得 1m ,再根据圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【 详 解 】 将 2 22 2 2 1 0x x y my m 化 为 标 准 方 程 为 2 2 2( 1) ( ) 2 2x y m m m , 所以圆的半径为 2 2 2m m , 当圆面积最小时,圆的半径最小,此时 1m ,圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 1x y , 因为直线 y x b 与圆相切,所以 |1 1 | 1 2 b ,解得 2b . 故答案为: 2 . 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径,考查了直线与圆相切的位置关系, 考查了点到直线的距离,属于基础题. 15. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,平面 ABCD 内的动点 P 满足 1CP ,则 PD PA 的最 大值是______. 【答案】5 2 5 【解析】 【分析】 - 14 - 建立平面直角坐标系,设 ,P x y ,根据 1CP ,得到 ,x y 的方程,再利用三角换元,通过 三角恒等变换得到 PD PA 5 2 5 sin ,tan 2 ,然后利用正弦函数的性质求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系: 因为正方形 ABCD 的边长为 2 , 所以 0,0 , 2,2 , 0,2A C D , 设 ,P x y ,则 2, 2 , ,2 , ,CP x y PD x y PA x y , 因为 1CP , 所以 2 22 2 1x y , 令 2 cos , 2 sinx y , 所以 ,2 , ,PD x y PA x y , 所以 22 1 1PD PA x y , 5 2sin 4cos , 5 2 5 sin ,tan 2 , 所以 PD PA 的最大值是5 2 5 . 故答案为:5 2 5 - 15 - 【点睛】本题主要考查平面向量的模,数量积的坐标运算以及三角恒等变换,还考查了数形 结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 16. 对于任意实数 1 2,x x ,当 1 20 x x e 时,有 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax 恒成立,则实 数 a 的取值范围为___________. 【答案】 0a 【解析】 【分析】 转化为 ln( ) x ag x x 在 (0, )e 上单调递增,再利用导数可得到结果. 【 详 解 】 当 1 20 x x e 时 , 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax 恒 成 立 等 价 于 2 1 2 1 ln lnx a x a x x 恒成立,等价于 ln( ) x ag x x 在 (0, )e 上单调递增, 所以 2 2 1 ln 1 ln( ) 0 x x a x axg x x x 在 (0, )e 上恒成立, 所以 1 lna x 在 (0, )e 上恒成立, 因为当 (0, )x e 时,1 ln 1 ln 0x e , 所以 0a . 故答案为: 0a . 【点睛】本题考查了转化划归思想,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数处 理不等式恒成立问题,属于基础题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题: 17. 疫情过后,某商场开业一周累计生成 2 万张购物单,从中随机抽出 100 张,对每单消费 金额进行统计得到下表: 消费金额(单位:元) (0,200] (200,400] (400,600] (600,800] (800,1000] 购物单张数 25 25 30 ? ? - 16 - 由于工作人员失误,后两栏数据已无法辨识,但当时记录表明,根据由以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等(用频率估计概率),完成下 列问题: (1)估计该商场开业一周累计生成的购物单中,单笔消费额超过 800 元的购物单张数; (2)为鼓励顾客消费,拉动内需,该商场打算在今年国庆期间进行促销活动,凡单笔消费超 过 600 元者,可抽奖一次,中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值300 元、100 元、 50 元的奖品.已知中奖率为 100%,且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数 列,其中一等奖的中奖率为 1 21 .若今年国庆期间该商场的购物单数量预计比疫情后开业一周 的购物单数量增长 5%,试预测商场今年国庆期间采办奖品的开销. 【答案】(1)1000(张)(2)采购奖品的开销可估计为 330000 (元) 【解析】 【分析】 (1)由中位数的定义,根据概率为 1 2 ,求得中位数,设消费在区间 (800,1000]内的概率为 p , 根据中位数与平均数恰好相等解得 p 即可. (2)根据中奖率为 100%,且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列,其中一等 奖的中奖率为 1 21 ,设等差数列的公差为 ( 0)d d ,由 1 1 1( ) ( 2 ) 121 21 21d d ,解得 d , 得到一等奖、二等奖、三等奖的中奖率,再根据购物单数量增长 5%,得到今年的购物具有抽 奖资格的单数,从而得到一等奖、二等奖、三等奖中奖单数,即可得到采购奖品的开销. 【详解】(1) 25 25 1 100 2 , 中位数为 400 , 又 25 25 30 0.8100 设消费在区间 (800,1000]内的概率为 p , 则消费在区间 (600,800]内的概率为 0.2 p 由中位数与平均数恰好相等可知, 100 0.25 300 0.25 500 0.3 700 (0.2 ) 900 400p p , - 17 - 解得 0.05p , 故单笔消费超过 800 元的购物单张数为: 20000 0.05 1000 (张). (2)设等差数列的公差为 ( 0)d d , 则 1 1 1( ) ( 2 ) 121 21 21d d , 解得 2 7d , 故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为 1 1 13, ,21 3 21 今年的购物具有抽奖资格的单数约为 20000 1.05 0.2 4200 , 故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为 200,1400,2600 , 采购奖品的开销可估计为 200 300 1400 100 2600 50 330000 (元). 【点睛】本题主要考查频率分布表的应用,中位数,平均数的求法,还考查了运算求解的能 力,属于中档题. 18. 已知等比数列{ }na 前 n 项和为 nS ,且 1 1 32n nS a ( )n N . (1)求数列{ }na 的通项公式; (2)若 2logn nb a ,求数列{| |}nb 的前 n 项和 nT . 【答案】(1) 62n na (2) 2 2 11 , 62 11 30, 62 n n n n T n n n 【解析】 【分析】 (1)利用 1( 2)n n na S S n 可得数列{ }na 的递推关系,由 1n 可得 1 2,a a 的关系,由等 比数列可求得 1 2,a a ,从而得通项公式; (2)由(1)求出 nb ,{ }nb 前 5 项是负数,从第 6 项起各项非负,可对 n 分类讨论: 5n 或 6n ,然后结合等差数列的前 n 项和公式得结论. 【详解】解:(1)当 1n 时, 1 2 2 1 1 1,32 32S a a a , - 18 - 当 2n 时, 1 1 32n nS a ,与已知式作差得 1n n na a a ,即 1 2 ( 2)n na a n 欲使{ }na 为等比数列,则 2 12a a ,又 2 1 1 32a a , 1 1 32a 故数列{ }na 是以 1 32 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 62n na (2) 6nb n , 6 , 6 6, 6n n nb n n , 若 6n , 2 1 11 2n n n nT b b 若 6n , 2 1 5 6 11 302n n n nT b b b b , 2 2 11 , 62 11 30, 62 n n n n T n n n . 【点睛】本题考查由 nS 与 na 的关系求通项公式,考查含绝对值的等差数列的求和,解题时在 利用 1n n na S S 时要注意 2n .含绝对值的问题,一般要根据绝对值定义去掉绝对值符号, 因此需要分类讨论. 19. 如图所示,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, / /BC AD , AB AD , 1 2AB BC AD ,PA 底面 ABCD ,过 BC 的平面交 PD 于 M ,交 PA 于 N ( M 与 D 不重合). (1)求证: / / BCMN ; (2)若 BM AC ,求 P BCMN P ABCD V V 的值. - 19 - 【答案】(1)证明见解析;(2) 1 3 【解析】 【分析】 (1)根据线面平行的性质定理即可证明 //MN BC ; (2)根据线面垂直的判定定理证明 BCDK 是平行四边形,即可证明 M 是 PD 的中点,最 后根据 2 2P BCMN P BCN C BPN C ABP P ABC ABC P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD ABCD V V V V V S V V V V V S 梯形 即可得到结论. 【详解】证明:(1)在梯形 ABCD 中, //BC AD , BC 平面 PAD , AD 平面 PAD , //BC 平面 PAD . 又 BC 平面 BCNM ,平面 BCNM 平面 PAD = MN , 所以 //MN BC . (2)过 M 作 //MK PA 交 AD 于 K ,连结 BK . 因为 PA 底面 ABCD ,所以 MK 底面 ABCD . 所以 MK AC .又因为 BM AC , BM MK M , 所以 AC 平面 BMK ,所以 AC BK . 所以在平面 ABCD 中可得 BCDK 是平行四边形. 所以 BC DK AK , 因为 K 是 AD 中点,所以 M 为 PD 中点. 设 1 2AB BC AD x , 则 22 2 1 3 3 P BCMN P BCN C BPN C ABP P ABC ABC P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD ABCD V V V V V S x V V V V V S x x 梯形 - 20 - 【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质,综合考查空间直线和平面的位置 关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理,考查学生的运算和推理能力,属于 中档题. 20. 抛物线 2 2 ( 0)x py p 的焦点为 F ,过焦点 F 的直线l 与抛物线交于 A B、 两点,点 A 到 x 轴的距离等于 1AF - . (1)求抛物线方程; (2)过 F 与 AB 垂直的直线和过 B 与 x 轴垂直的直线相交于点 M , AM 与 y 轴交于点 N , 求点 N 的纵坐标的取值范围. 【答案】(1) 2 4x y (2) ,0 2, 【解析】 【分析】 (1)根据抛物线的定义求出 p 即可得到抛物线方程; (2)设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 x xA x B x ,直线 l 的方程为: 1y kx ,联立直线 l 与抛物线,根据韦达 定理得 1 2 1 24 , 4x x k x x ,由直线 l 与直线 MF 的方程得 2 2 1( , 1M x xk ),设 (0, )N n , 由 M N A、 、 三点共线,求得 2 1 2 1 2 4 xn x ,进一步可得 n 的取值范围. 【详解】(1)由抛物线定义可知 12 p ,即 2p , 所以抛物线的方程为 2 4x y . (2)设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 x xA x B x ,直线l 的方程为: 1y kx , - 21 - 由 2 4 1 x y y kx 消去 y 并整理得 2 4 4 0x kx , 所以 1 2 1 24 , 4x x k x x , 所以 1 2 4 x xk . 由已知得直线 MF 的方程是; 1 1y xk , 2 2 1( , 1M x xk ). 设 (0, )N n ,由 M N A、 、 三点共线,可知 22 11 2 1 2 1 11 44 xx xn k x x x , 所以 22 11 2 1 2 1 2 1 41 44 xx xn x x x x x , 所以 2 3 1 1 2 1 2 1 1 1 2 4( )( )4 4 x x x xn x x x x x 所以 2 3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 16( )4 4 4 x x x xn x x x x x , 所以 1 2 1 1 1 2 16( )x n x x x x x , 所以 1 1 1 1 1 4 16( ) 2 4n x xx x x , 所以 2 1 2 1 2 4 xn x 2 1 82 4x ,所以 2 1 84 42x n 1( 0)x , 所以 2 0n 或 2 0 2 2 n n , 解得 2n 或 0n . 【点睛】本题考查了根据抛物线的定义求抛物线方程,考查了直线与抛物线的位置关系,考 查了斜率公式的应用,考查了求直线与直线的交点坐标,考查了运算求解能力,属于中档题. - 22 - 21. 设 ( 2, 1)a ,已知函数 3 2 2 1 1 ( 2) 2 03 2( ) 02 x a x ax x f x a x x (1)讨论函数 ( )f x 的单调性; (2)设函数 ( )f x 在点 ( , ( ))( 1,2,3)i i iQ x f x i 处的切线互相平行,证明: 1 2 3 2x x x . 【答案】(1) ( )f x 在 ( , 2) 上单调递增,在 ( 2, ) 上单调递减(2)证明见解析; 【解析】 【分析】 (1)分段求出导函数,分类研究单调性,注意函数的连续性,有些单调区间可以连接起来. (2)易知 ( 1,2,3)iQ i 是直线 y m 与函数 ( )y f x 图象的三个交点,结合图象可得 1 2 3, ,x x x 的关系,从而可得证结论. 【详解】解:(1)当 0x 时, 2( ) ( 2) 2 ( 2)( )f x x a x a x x a 令 ( ) 0f x ,则 2x , 当 ( , 2)x 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递增;当 ( 2,0)x 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递 减; 当 0x 时, ( ) 0f x ax ,所以 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减 又因为 ( )f x 在 R 上连续,故 ( )f x 在 ( , 2) 上单调递增,在 ( 2, ) 上单调递减. (2)由图可知,直线 y m 与函数 ( )y f x 的图象有三个交点,横坐标为 1 2 3, ,x x x , 不妨 1 2 30x x x ,则 1 2 ( 2)x x a 又 3 2( )2 af ax ,所以 2 3 ( 2)2 4 ax a 则 2 1 2 3 ( 2)( 2) 2 4 ax x x a a ,化简得 1 2 3 5 1 14x x x a a 令t a , 5 1( ) 14g t t t , 2 5 1( ) 4g t t ,因为 ( 2, 1)a ,则 (1,2)t ,所以 ( ) 0g t , ( )g t 在(1,2) 上单调递增, ( ) (2) 2g t g ,即 1 2 3 2x x x . - 23 - 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查导数的几何意义,注意分段函数需要分段 讨论.本题考查了学生的分析问题解决问题的能力,转化与化归能力,运算求解能力. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分 选修 4-4:坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 xoy 中,曲线 1C 的参数方程为 sin cos sin 2 x y ( 为参数),若以该直 角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2 sin( )4 t (其中t 为常数). (1)求曲线 1C 和 2C 的直角坐标方程; (2)若曲线 1C 和 2C 有且仅有一个公共点,求t 的取值范围. 【答案】(1) 2 1x y ; 0x y t (2) 5(1 2,1 2] 4t 【解析】 【分析】 (1)根据三角恒等变换,把函数关系式变形,再通过消元求出函数的普通方程,根据 sin y , cos x 可将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)联立方程进行化简得到 2 1t x x ,作出 2 1, [ 2, 2] g x x x x 的图象, 数形结合分析出 y t 与二次函数有一个交点时,t 的取值范围. 【详解】(1)由 2 (sin cos ) 1 sin 2 ,可知曲线 1C 的直角坐标方程为 2 1x y , - 24 - 其中 sin cos 2 sin( ) [ 2, 2]4x ,所以曲线 1C 的直角坐标方程为 2 1y x , [ 2, 2]x , 由 2 sin( )4 t ,可得 sin cos t ,由 sin y , cos x , 曲线 2C 的直角坐标方程为 0x y t ; (2)由 2 1, [ 2, 2]{ 0 y x x x y t ,可知 2 1t x x , 令 2 1, [ 2, 2] g x x x x ,其图象如下: 由曲线 1C 和 2C 有且仅有一个公共点,所以函数 y t 与 2 1, [ 2, 2] g x x x x 的图 象有且仅有一个公共点,所以由图象可知 5(1 2,1 2] 4t . 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,以及用数形结合思想求参 数范围. 选修 4-5:不等式选讲 23. 已知函数 3( ) | 1| | |4f x x x m 的定义域为 R . (1)求实数 m 取值范围; (2)若实数 m 的最大值为 n , 2 2 22 3a b c n ,求证: 72 8ac bc . 【答案】(1) 7 4m (2)证明见解析; - 25 - 【解析】 【分析】 (1)依题意可得 031| | |4x x m 恒成立,参变分离可得 31 4m x x ,再根据 绝对值三角不等式计算可得; (2)由(1)知 n 7 4 ,即 2 2 2 72 3 4a b c ,再根据基本不等式即可证明; 【详解】解:(1) 3| 1| | 0| 4x x m 恒成立 31 4m x x ,又 3 3 71 14 4 4x x x x 7 4m (2)由(1)知 n 7 4 ,所以 2 2 2 72 3 4a b c , 又 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 4a b c a c b c ac bc , 所以 72 8ac bc . 当且仅当 a b c 时取等号; 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用,以及利用基本不等式证明不等式,属于中档题. - 26 -查看更多