【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第7章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第7章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题 [最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不 等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. ( 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C>0 直线 Ax+By+C=0 某一 侧的所有点组成的平面区 域 不包括边界直线 Ax+By+C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题 [常用结论] 二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(Ax+By+C)>0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的上方. (2)若 B(Ax+By+C)<0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的下方. 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上 方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一.( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) C [∵-1+3-1>0,∴点(-1,3)不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内,故 选 C.] 2.不等式组 x-3y+6<0, x-y+2≥0 表示的平面区域是( ) A B C D C [把点(0,0)代入不等式组可知,点(0,0)不在 x-3y+6<0 表示的平面区 域内,点(0,0)在 x-y+2≥0 表示的平面区域内,故选 C.] 3.已知 x,y 满足约束条件 y≤x, x+y≤1, y≥-1, 则 z=2x+y+1 的最大值、最小值 分别是( ) A.3,-3 B.2,-4 C.4,-2 D.4,-4 C [不等式组所表示的平面区域如图所示. 其中 A(-1,-1),B(2,-1),C 1 2 ,1 2 , 画直线 l0:y=-2x,平移 l0 过 B 时,zmax=4, 平移 l0 过点 A 时,zmin=-2.] 4.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方 米;投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现 某单位可使用资金 1 400 万元,场地 900 平方米,则上述要求可用不等式组表示 为________.(用 x,y 分别表示生产 A,B 产品的吨数,x 和 y 的单位是百吨) 200x+300y≤1 400, 200x+100y≤900, x≥0, y≥0 [用表格列出各数据: A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地 200x 100y 900 所以不难看出,x≥0,y≥0,200x+300y≤1 400,200x+100y≤900. ] 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)平面区域的确定:直线定界,特殊点定域. ①直线定界:当不等式中带等号时,边界为实线;不带等号时,边界应画为 虚线; ②特殊点定域:常用的特殊点为(0,0),(1,0),(0,1). (2)平面区域的形状问题主要有两种题型 ①确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平面区域,然后判断其形状; ②根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域, 但要注意对参数进行必要的讨论. 1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部 分表示)大致是( ) A B C D C [(x-2y+1)(x+y-3)≤0,即 x-2y+1≥0, x+y-3≤0, 或 x-2y+1≤0, x+y-3≥0, 与选 项 C 符合.故选 C.] 2.若不等式组 x-y≥0, 2x+y≤2, y≥0, x+y≤a 表示的平面区域的形状是三角形,则 a 的取 值范围是( ) A.a≥4 3 B.00,且不等式组 y≤-x+2, y≤kx-1, y≥0 所表示的平面区域如图所 示. ∵直线 y=kx-1 与 x 轴的交点为 1 k ,0 , 直线 y=kx-1 与直线 y=-x+2 的交点为 3 k+1 ,2k-1 k+1 , ∴三角形的面积为1 2 × 2-1 k ×2k-1 k+1 =1 4 , 解得 k=1 或 k=2 7 ,经检验,k=2 7 不符合题意, ∴k=1.] 4.若函数 y=2x 图像上存在点(x,y)满足约束条件 x+y-3≤0, x-2y-3≤0, x≥m, 则实数 m 的最大值为( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 B [在同一直角坐标系中作出函数 y=2x 的图像及 x+y-3≤0, x-2y-3≤0, x≥m, 所表 示的平面区域,如图中阴影部分所示. 由图可知,当 m≤1 时,函数 y=2x 的图像上存在点(x,y)满足约束条件,故 m 的最大值为 1.] (1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律,如 T1, T4. (2)计算平面区域的面积时,根据平面区域的形状,先求出有关的交点坐标、 线段长度,最后根据相关图形的面积公式进行计算,如果是不规则图形,则可通 过割补法计算面积. 考点 2 求目标函数的最值 求线性目标函数的最值 截距型:形如 z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式,通过求直 线的截距z b 的最值间接求出 z 的最值.注意平面区域要画对,特别是图中涉及到直 线的斜率大小关系. (2018·全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件 x-2y-2≤0, x-y+1≥0, y≤0, 则 z=3x+2y 的最大值为________. 6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域,作出直线 3x+2y= 0,并平移该直线,当直线过点 A(2,0)时,目标函数 z=3x+2y 取得最大值,且 zmax =3×2+2×0=6. ] [母题探究] 本例条件不变,试求 z=3x-2y 的范围. [解] z=3x-2y 变形为 y=3 2x-1 2z,由本例可行域知直线 y=3 2x-1 2z 过 A 点 时截距取得最小值,而 z 恰好取得最大值,即 z=6. 过 C 点时截距取得最大值而 z 恰好取得最小值,即 z=-6, ∴z=3x-2y 的范围为[-6,6]. 充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键. (2019·北京高考)若 x,y 满足|x|≤1-y,且 y≥-1,则 3x+y 的最大 值为( ) A.-7 B.1 C.5 D.7 C [由题意 x-y+1≥0, x+y-1≤0, y≥-1 ,作出可行域如图阴影部分所示. 设 z=3x+y,y=z-3x,当直线 l0:y=z-3x 经过点 C(2,-1)时,z 取最大 值 5.故选 C.] 求非线性目标函数的最值 非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有: (1)距离型: x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离, x-a2+y-b2表示 点(x,y)与点(a,b)间的距离. (2) 斜率型:y x 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y-b x-a 表示点(x,y)与点(a, b)连线的斜率. (2019·广州模拟)若实数 x,y 满足 x-y+1≤0, x≥0, y≤2. 则y x 的取值范围为 ________. [2,+∞) [作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示. z=y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此y x 的范围为直线 OB 的 斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在,即 zmax 不存在) 由 x-y+1=0, y=2, 得 B(1,2),所以 kOB=2 1 =2,即 zmin=2, 所以 z 的取值范围是[2,+∞).] [母题探究] 1.本例条件不变,则目标函数 z=x2+y2 的取值范围为________. [1,5] [z=x2+y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此 x2+y2 的最小值为 OA2,最大值为 OB2. 易知 A(0,1),所以 OA2=1, OB2=12+22=5,所以 z 的取值范围是[1,5].] 2.本例条件不变,则目标函数 z=y-1 x-1 的取值范围为______. (-∞,0] [z=y-1 x-1 可以看作点 P(1,1)与平面内任一点(x,y)连线的斜率.易 知点 P(1,1)与 A(0,1)连线的斜率最大,为 0.无最小值.所以 z 的取值范围是(-∞, 0].] 求非线性目标函数的最值时,注意目标函数的几何意 义及转化的等价性,如 x2+y2 是距离的平方,易忽视平方而求错,y-1 x-1 是点(x,y) 与(1,1)连线的斜率,易误认为点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率. (2019·海南五校模拟)已知实数 x,y 满足不等式组 x+y≤2, x-y≥-2, y≥1, 则(x-3)2+(y+2)2 的最小值为________. 13 [画出不等式组 x+y≤2, x-y≥-2, y≥1 表示的平面区域(图略),易知(x-3)2+(y +2)2 表示可行域内的点(x,y)与(3,-2)两点间距离的平方,通过数形结合可知, 当(x,y)为直线 x+y=2 与 y=1 的交点(1,1)时,(x-3)2+(y+2)2 取得最小值,最 小值为 13.] 求参数值或取值范围 由目标函数的最值求参数的 2 种基本方法 一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目 标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离 含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的 位置,从而求出参数. (1)已知 z=2x+y,其中实数 x,y 满足 y≥x, x+y≤2, x≥a, 且 z 的最大值 是最小值的 4 倍,则 a 的值是( ) A. 2 11 B.1 4 C.4 D.11 2 (2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量 x,y 满足 3x-y-1≥0, 3x+y-11≤0, y≥2, 且 z=ax- y 的最小值为-1,则实数 a 的值为________. (1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示: 由 z=2x+y 得 y=-2x+z, 由图可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,直线的纵截距最大,z 取最大值. 由 x+y=2, y=x, 解得 x=1, y=1, 即 A(1,1), zmax=2×1+1=3. 当直线 y=-2x+z 经过点 B 时,直线的纵截距最小,此时 z 最小. 由 x=a, y=x, 解得 x=a, y=a, 则点 B(a,a). ∴zmin=2×a+a=3a, ∵z 的最大值是最小值的 4 倍, ∴3=4×3a,即 a=1 4. (2)画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知,若 a≥3, 则直线 z=ax-y 经过点 B(1,2)时,z 取得最小值,由 a-2=-1,得 a=1,与 a≥3 矛盾;若 0
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