- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的数量积教案
高三 一轮复习 第四章 平面向量与复数 4.3 平面向量的数量积 【教学目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【重点难点】 1.教学重点 理解平面向量数量积的含义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力; 【教学策略与方法】 自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 真题再现; 1.(2016·全国Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 ||=1,||=1,cos∠ABC==.答案 A 2.(2013·全国Ⅰ,13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________. 解析 ∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1- 。 学生通过对高考真题的解决,发现自己对知识的掌握情况。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求,做到有的放矢 t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,a,b=60°,∴t+1-t=0,t=2.答案 2 3.(2015·重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=π.【答案】 C 4.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( ) A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥ 【解析】 在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D.【答案】 D 知识梳理 知识点 平面向量的数量积 1.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角 [0°,180°] ∠AOB=0°或180°⇔a∥b;∠AOB=90°⇔a⊥b 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b 学生通过对高考真题的解决,感受高考题的考察视角。 投影 |a|·cos θ叫做向量a在b方向上的投影,|b|·cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律). 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉. 结论 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤· 1.必会结论;(1)当a与b同向时,a·b=|a||b|. (2)当a与b反向时,a·b=-|a||b|.(3)a·a=a2=|a|2. 2.必清误区;(1)数量积运算律要准确理解、应用,例如,由a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量. (2)向量a,b的夹角为锐角,则有a·b>0,若a·b>0,则向量a,b的夹角为锐角或0°. (3)向量a,b的夹角为钝角,则有a·b<0,若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角或180°. 考点分项突破 考点一平面向量数量积的运算 1.(2015·全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 环节二 【解析】 法一 ∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1. 法二 ∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选C.【答案】 C 2.(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( ) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 【解析】 由已知条件得·=·=a·acos 30°=a2,故选D.【答案】 D 3.(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( ) A.20 B.15 C.9 D.6 【解析】 如图所示,由题设知 =+=+,=-, ∴·=·=||2-||2+·-·=×36-×16=9. 【答案】 C 归纳 1.向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos θ. 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。 (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 2.转化法求数量积 若向量的模与夹角不能确定,则应把向量用已知模或夹角的向量表示,然后再求数量积. 考点二 平面向量数量积的性质 ●命题角度1 平面向量的模 1.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________. 【解析】 ∵e1·e2=,∴|e1||e2|cos〈e1,e2〉=,∴〈e1,e2〉=60°.又∵b·e1=b·e2=1>0,∴〈b,e1〉=〈b,e2〉=30°.由b·e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,∴|b|==.【答案】 2.已知平面向量a·b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=________. 【解析】 =(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×=4,所以||=2. 【答案】 2 ●命题角度2 平面向量的夹角 3.(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( ) A. B. C. D.π 【解析】 由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0 引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念,加强理解。从而为后面的练习奠定基础. 由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率。 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。 ,即3a2-a·b-2b2=0.又∵|a|=|b|,设〈a,b〉=θ,即3|a|2-|a|·|b|·cos θ-2|b|2=0,∴|b|2-|b|2·cos θ-2|b|2=0.∴cos θ=.又∵0≤θ≤π,∴θ=. 【答案】 A 4.设向量a、b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sin θ=________. 【解析】 设b=(x,y),由已知得a+3b=(2+3x,1+3y)=(5,4),∴∴∴b=(1,1),从而|a|=,|b|=.又a·(a+3b)=|a|2+3a·b=5+3|a||b|·cos θ=5+3××cos θ=2×5+1×4, 所以cos θ=,sin θ=.【答案】 ●命题角度3 平面向量的垂直 5.(2015·福建高考)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( ) A.- B.- C. D. 【解析】 c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c, 所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-.【答案】 A 6.(2015·湖北高考)已知向量⊥,||=3,则·=________. 【解析】 因为⊥,所以·=·(-)=·-||2=0,所以·=||2=||2=9,即·=9.【答案】 9 跟踪训练 1.设单位向量e1,e2的夹角是60°,a=e1+e2,b=e1+te2,若向量a,b的夹角为锐角,则实数t的取值范围是________. 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题,教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。 引导学生对所学的知识进行小结,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强理解记忆,提高解题技能。 【解析】 由题意知a·b>0,即(e1+e2)·(e1+te2)>0,化简得t+>0,解得t>-1,由向量a,b的夹角为锐角,得b≠λa,即t≠1.综上知,t>-1且t≠1. 【答案】 (-1,1)∪(1,+∞) 2.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=________. 【解析】 |a|=|b|=1,〈a,b〉=60°. ∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1=+1-t=1-.又∵b·c=0,∴1-=0,∴t=2.【答案】 2 归纳平面向量数量积求解问题的策略 1.求两向量的夹角cos θ=,要注意θ∈[0,π]. 2.两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|. 3.求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有(1)a2=a·a=|a|2或|a|=. (2)|a±b|==. (3)若a=(x,y),则|a|=. 环节三 课堂小结 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 学生回顾,总结. 引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础。 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思,通过思考发散巩固所学的知识。 查看更多