江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 江西省百所名校2020届高三第四次联考 数学（理）试题 一、选择题 ‎1.全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件先求出集合和集合，再求出集合的补集，再运用集合的并集运算即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.‎ ‎2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：（为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数的模为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，代入并对其化简，再代入模长计算公式即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ - 26 -‎ 从而.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.‎ ‎3.空气质量AQI指数是反映空气质量状况指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ AQI指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图所示的是某市11月1日至20日AQI指数变化的折线图：‎ 下列说法不正确的是（ ）‎ A. 这天中空气质量为轻度污染的天数占 B. 这天中空气质量为优和良的天数为天 C. 这天中AQI指数值的中位数略低于 D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件对每个选项进行判断即可.‎ ‎【详解】对于A，天中AQI指数值高于，低于的天数为，即占总天数的，故A正确；‎ 对于B，天中AQI指数值有天低于，故B正确；‎ 对于C，天中AQI指数值有天低于，天高于，根据图可知中位数略高于，故C错误；‎ - 26 -‎ 对于D，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式对要求的式子进行化简，再结合已知条件即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了已知一个三角函数值，求另一个式子的值，考查了利用诱导公式化简并求值，属于较易题.‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线的斜率，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，再利用双曲线中的的关系进行求解即可.‎ - 26 -‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率以及双曲线中的的关系，属于较易题.‎ ‎6.下图是为了统计某班名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中表示第位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.‎ ‎【详解】读取流程图可知，当计算了前位学生的学习时间的和后，‎ 再执行后，得，此时应满足判断框的条件；‎ 当计算了前位学生的学习时间的和后，再执行后，得，‎ 此时应不满足判断框条件.故应填入“”.‎ 故选：C - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题.‎ ‎7.在正方体中，为的中点，为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可.‎ ‎【详解】如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，‎ 不妨设正方体的棱长为，‎ 则，，，，‎ 所以，，‎ 故.‎ 因为异面直线所成角的范围为，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选：B - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎8.已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，需要将函数的图象向右平移个单位长度，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给的图像，可求出和，再根据三角函数的图像变换即可得.‎ ‎【详解】由图可知，即，‎ 所以，，‎ 故，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，所以，即.‎ 因为，‎ 所以为了得到函数的图象，‎ - 26 -‎ 需要将函数的图象向右平移个单位长度.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是定义在上的偶函数且满足，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的偶函数，‎ 所以的图象关于直线对称.‎ 因为，‎ 所以的图象关于点对称，‎ 所以是以为周期周期函数.‎ 又，，，，，，，，‎ 所以，故 ‎.‎ 故选：A - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎10.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题，连对一个得一分，则同学甲随机连线得分为零的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先随机连线对应有种，再找出全都没连对的情况有9种，代入概率计算公式即可.‎ ‎【详解】随机连线对应有种，全都没连对的情况有：第一个连线错了有种，再由第一个选的那个对应的再去选有种，剩余2个连错有1种，所以共有，所以所求概率.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，考查了特殊要求的排列问题，属于一般题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，圆，过作直线，与上述两曲线自上而下依次交于点，当时，直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，则，，再根据抛物线的性质知，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出，，从而可得到，即可得到直线的斜率.‎ - 26 -‎ ‎【详解】设，，则，.‎ ‎∵，∴，‎ 由抛物线的性质知，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ 得，∴，‎ 当且仅当时，，‎ 此时，∴，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎ ‎12.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 即，令，‎ 则 令，，‎ 所以在上是单调递减函数.‎ 不等式，‎ 等价于，‎ 即，，‎ 所求不等式即，‎ 由于在上是单调递减函数，‎ 所以，解得，‎ 且，即，‎ 故不等式的解集为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.‎ 二、填空题 - 26 -‎ ‎13.若非零向量，满足，，则与的夹角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角为，根据数量积的运算即可.‎ ‎【详解】设与的夹角为，由，‎ 可得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.‎ ‎14.若实数满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件画出约束条件可行域，根据可行域即可求出的最大值.‎ ‎【详解】因为实数满足约束条件，则 - 26 -‎ 由题意可得当经过点时有最大值，‎ 联立，‎ 解得，即，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题.‎ ‎15.在中，角的对边分别为，若，，，则的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由可得，再由余弦定理可得，代入面积公式即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 整理得.又，‎ 所以，.‎ 因为，，‎ - 26 -‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简，余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎16.在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则______；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧，再求此时的，即可求出；判断三棱锥的体积最小时即点位于时，此时三棱锥的外接球球心为的中点，所以半径为的一半，从而可得外接球的表面积.‎ ‎【详解】如图，因为平面，垂足为，‎ 则为直线与平面所成的角，‎ 所以.因为，所以，‎ 所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，‎ 记点的轨迹为圆弧.连接，则.‎ 因为，，所以，‎ 则弧的长度，所以.‎ 当点位于时，三棱锥的体积最小，‎ - 26 -‎ 又，‎ ‎∴三棱锥的外接球球心为的中点.‎ 因为，‎ 所以三棱锥的外接球的表面积.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列的前项和为，满足成等差数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得，再根据已知与的关系求通项公式；‎ ‎(2)把(1)的求通项公式代入求出通项公式，再利用裂项求和求出数列的前项和为即可证明．‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）解：由题意有，‎ 当时，，所以.‎ 当时，，，‎ 两式相减得，整理得，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 所以，‎ ‎.‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了与的关系求通项公式以及裂项求和方法，考查了学生的计算能力，属于一般题．‎ ‎18.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员人，其中岁及以上的共有人.这人中确诊的有名，其中岁以下的人占.‎ ‎（1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；‎ 确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计 - 26 -‎ ‎50岁及以上 ‎40‎ ‎50岁以下 合计 ‎10‎ ‎100‎ ‎（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从名确诊人员中随机抽出人继续进行血清的研究，表示被抽取的人中岁以下的人数，求的分布列以及数学期望.‎ 参考表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）填表见解析；有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意补充列联表，再代入可求出即可判断；‎ ‎(2)根据题意先确定的值可能为，然后分别求出它们的对应的概率，根据求出的概率列出分布列以及求出期望值.‎ ‎【详解】解：（1）列联表补充如下：‎ 确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计 ‎50岁以上 ‎7‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎57‎ ‎60‎ 合计 ‎10‎ ‎90‎ ‎100‎ - 26 -‎ ‎.‎ 所以有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.‎ ‎（2）根据题意，的值可能为.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故人.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎19.如图，在直五棱柱，中，，，，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ - 26 -‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由题意可得且，从而有平面，即有，再结合即可证明平面；‎ ‎(2) 以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，代入数量积求夹角公式即可.‎ ‎【详解】(1)证明：因为五棱柱为直五棱柱，‎ 所以，‎ 又，且，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，，，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：因为，所以是以为直角顶点的等腰直角三角形，‎ - 26 -‎ 又，，，，‎ 所以，且两两垂直.‎ 以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 令，得平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 令，得平面的一个法向量为.‎ 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎ ‎20.已知动点到定直线的距离与到定点的距离之比为.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，在轴上是否存在一点，使得曲线上另有一点，满足，且？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）（2）存在；或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设，根据已知条件可得，化简即可得到点的轨迹的方程；‎ ‎(2) 假设在轴上存在符合题意的点，则点在线段的中垂线上，分三种情况讨论直线的斜率即：斜率不存在；斜率为零；斜率不为零；求出满足条件点的坐标即可.‎ ‎【详解】解：（1）设，由题可得，‎ 化简得，即，‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）假设在轴上存在符合题意的点，‎ 则点在线段的中垂线上，由题意知直线的斜率显然存在.‎ 当直线的斜率为时，则，.‎ 设，则，.‎ 由，解得，此时.‎ 当直线的斜率不为时，设直线的方程为.‎ 联立得，‎ 则，解得，即 的中点为.‎ - 26 -‎ 线段的中垂线为，‎ 令，得，即.‎ 所以，，‎ 所以.‎ 由形式可以猜想，故而，‎ 得，经验证可知满足上式.‎ 下边验证是否还有别解：‎ 令，上式可化为，‎ 利用韦达定理知此方程有一个正根与一个负根，‎ 所以，此时.‎ 综上，可得或.‎ ‎【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，以及存在性问题的求解，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎ ‎21.已知函数的图象在处的切线方程为.‎ ‎（1）讨论函数的单调性.‎ ‎（2）是否存在正实数，使得函数的定义域为时，值域也为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎(1)先对函数进行求导，根据已知条件在处的切线方程为可求出，，即得到，再对进行求导，对参数进行讨论即可.‎ ‎(2)先假设存在符合题意的正实数，再对进行求导，可得到它的单调性以及单调区间，从而可求得的最小值大于或等于零即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴.‎ 又∵，∴，∴.‎ ‎∴，∴.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，令，得.‎ 令，得，‎ 故在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）假设存在符合题意的正实数，‎ 由，得.‎ ‎∵在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数在上单调递增.‎ ‎∵，且当时，，‎ ‎∴存在唯一的实数，使得，即①，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎∴.‎ - 26 -‎ 由，得，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当时取等号，由，得，此时，‎ 把，代入①也成立.‎ 故存在正实数，使得定义域为时，值域也为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数求函数的最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程分别为，.‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与直线的交点为，直线与曲线的交点为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；‎ ‎(2)把，代入对应的极坐标方程求出，代入即可.‎ - 26 -‎ ‎【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为 ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将，代入，整理得，‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎∵直线过点，且斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，实数的最小值为，若为正数，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角不等式即可；‎ ‎(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.‎ ‎【详解】（1）解：，‎ - 26 -‎ 当且仅当，即时取等号，所以.‎ 因为有解，所以，故的取值范围是.‎ ‎（2）证明：由（1）可知，，所以，‎ 将变形为，‎ 即.‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎