江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（文）试题 Word版含解析

江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 高三重点中学模拟考试数学（文科）‎ 一、选择题 ‎1.全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得对数函数定义域和二次不等式，解得集合，再求交集即可.‎ ‎【详解】要使得函数有意义，则，故；‎ 不等式，解得，故；‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合交运算、二次不等式求解、对数函数定义域，属综合基础题.‎ ‎2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：（为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数的模为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，代入并对其化简，再代入模长计算公式即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ - 23 -‎ 从而.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.‎ ‎3.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程求得关系式，结合离心率公式即可求得.‎ ‎【详解】因为的渐近线方程为，所以，‎ 故离心率.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.‎ ‎4.在递增的等差数列中，是方程的两实数根，则公差（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解一元二次方程，根据题意解得，即可求得数列公差.‎ ‎【详解】因为方程的两实数根为和，且为递增数列，‎ 所以，，故公差.‎ 故选：C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.‎ ‎5.空气质量AQI指数是反映空气质量状况指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ AQI指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图所示的是某市11月1日至20日AQI指数变化的折线图：‎ 下列说法不正确的是（ ）‎ A. 这天中空气质量为轻度污染的天数占 B. 这天中空气质量为优和良的天数为天 C. 这天中AQI指数值的中位数略低于 D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件对每个选项进行判断即可.‎ ‎【详解】对于A，天中AQI指数值高于，低于的天数为，即占总天数的，故A正确；‎ 对于B，天中AQI指数值有天低于，故B正确；‎ 对于C，天中AQI指数值有天低于，天高于，根据图可知中位数略高于，故C错误；‎ 对于D，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D正确.‎ 故选：C - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.‎ ‎6.函数的部分图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性、结合函数单调性，即可容易判断.‎ ‎【详解】因为原函数的定义域为，‎ 且，知为奇函数，所以排除A，‎ 又因为，‎ 当时，函数为减函数，且，排除B、C.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，涉及指数函数，属综合基础题.‎ ‎7.下图是为了统计某班名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中表示第位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.‎ ‎【详解】读取流程图可知，当计算了前位学生的学习时间的和后，‎ 再执行后，得，此时应满足判断框的条件；‎ 当计算了前位学生学习时间的和后，再执行后，得，‎ 此时应不满足判断框的条件.故应填入“”.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题.‎ ‎8.在正方体中，为的中点，为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可.‎ ‎【详解】如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，‎ 不妨设正方体的棱长为，‎ 则，，，，‎ 所以，，‎ 故.‎ 因为异面直线所成角的范围为，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，需要将函数的图象向右平移个单位长度，则的最小值为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给的图像，可求出和，再根据三角函数的图像变换即可得.‎ ‎【详解】由图可知，即，‎ 所以，，‎ 故，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，所以，即.‎ 因为，‎ 所以为了得到函数的图象，‎ 需要将函数的图象向右平移个单位长度.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.‎ ‎10.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，且当时，，则 - 23 -‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是定义在上的偶函数且满足，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的偶函数，‎ 所以的图象关于直线对称.‎ 因为，‎ 所以的图象关于点对称，‎ 所以是以为周期的周期函数.‎ 又，，，，，，，，‎ 所以，故 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.‎ ‎11.定义在上的偶函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据其单调性和奇偶性，求解不等式即可.‎ ‎【详解】令，则，‎ ‎∵当时，恒有，∴，‎ ‎∴在上为减函数.‎ ‎∵为偶函数，∴为偶函数.‎ ‎∵等价于，‎ ‎∴等价于，‎ 即，两边平方化简为，‎ 解得，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式，涉及函数奇偶性的判断、构造函数法，利用导数判断函数单调性，属中档题.‎ ‎12.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，，且满足，以为中点的线段的两端点分别为，其中在轴上，在上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理求得；设出方程，利用韦达定理，将目标式转化为关于未知量的函数，求函数值域即可求得结果.‎ ‎【详解】设的方程为，代入，得，‎ 所以，，可得.‎ 设直线方程为，‎ ‎，同理得，，‎ 所以，‎ 又为中点，所以，即.所以，‎ 所以 ‎，令，则，其对称轴，‎ 故当且仅当时取得最小值.‎ 故当，即轴时，最小，最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，涉及韦达定理的使用，属压轴题.‎ 二、填空题 ‎13.若非零向量，满足，，则与的夹角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角为，根据数量积的运算即可.‎ ‎【详解】设与的夹角为，由，‎ 可得，‎ 又因为，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.‎ ‎14.若实数满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件画出约束条件可行域，根据可行域即可求出最大值.‎ ‎【详解】因为实数满足约束条件，则 由题意可得当经过点时有最大值，‎ 联立，‎ 解得，即，‎ 所以 故答案为：‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题.‎ ‎15.已知高为的正三棱柱的外接球的体积为，则该正三棱柱的底面边长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据外接球体积求得半径，根据正三棱柱的几何性质，列方程求解即可.‎ ‎【详解】因为正三棱柱的外接球的体积为，所以外接球的半径为，‎ 又因为正三棱柱的高为，所以底面正三角形的外接圆的半径为，‎ 设底面正三角形的边长为，由，得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查棱柱外接球的问题，属中档题.‎ ‎16.在数列中，，前项和满足.令，则______；若数列满足，，则______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的关系，即可容易求得；根据所求，容易得是等差数列，根据基本量求解结果即可.‎ ‎【详解】由题知，当时，，‎ 因为，所以，所以.‎ 当时，有，①‎ - 23 -‎ ‎，②‎ ‎①－②得，即，‎ 于是；‎ 又因为，，‎ 所以，即是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及等差数列通项公式的求解，属综合中档题.‎ 三、解答题 ‎17.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员人，其中岁及以上的共有人.这人中确诊的有名，其中岁以下的人占.‎ 确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计 ‎50岁及以上 ‎40‎ ‎50岁以下 合计 ‎10‎ ‎100‎ ‎（1）试估计岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率；‎ ‎（2）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；‎ - 23 -‎ 参考表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）；（2）列联表见解析,有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，计算出岁及以上确诊人数，结合岁及以上的全部人数，即可计算；‎ ‎（2）补充列联表，计算，结合参考数据，即可判断.‎ ‎【详解】（1）因为人中确诊的有名，岁以下的人占，‎ 所以岁以下的确诊人数为，岁及以上确诊人数为，‎ 因为岁及以上的共有人，‎ 所以岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的频率为.‎ ‎（2）列联表补充如下：‎ 确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计 ‎50岁以上 ‎7‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎57‎ ‎60‎ 合计 ‎10‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎.‎ 所以有%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.‎ ‎【点睛】本题考查频率的计算，的计算，属综合基础题.‎ - 23 -‎ ‎18.在锐角中，角的对边分别为，为边上一点，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，为的三等分点（靠近点），求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，结合余弦的和角公式即可求得结果；‎ ‎（2）利用正弦定理求得，再用余弦定理求得.‎ ‎【详解】（1）由题知，故可得；‎ 因为，则（锐角三角形）‎ 因为.‎ ‎（2）由题知，，‎ 在中，由，可得，‎ 在中，因为 ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形，属综合中档题；涉及余弦的和角公式.‎ ‎19.如图，在直五棱柱，中，//，，，，，.‎ - 23 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明，即可由线线垂直推证线面垂直；‎ ‎（2）过作，证明是所求棱锥高，再根据几何关系求得底面积和高，则问题得解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为五棱柱为直五棱柱，所以.‎ 又，且，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，，，‎ 所以平面.‎ ‎（2）过作，垂足为，‎ 因为五棱柱是直五棱柱，故可得平面，又平面，‎ 故可得，又平面，‎ - 23 -‎ 故平面，‎ 即是所求棱锥的高.‎ 连接，因为，所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.‎ 因为//，，，，‎ 所以，，从而.‎ 又，，‎ 故，从而.‎ 在中，，‎ 故四棱锥的体积.‎ ‎【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.‎ ‎20.如图，设是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，，离心率，过点作直线与椭圆相交于不同的两点.‎ - 23 -‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据长度，以及离心率即可列方程求得，则椭圆方程得解；‎ ‎（2）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理求得弦长，表示出三角形的高，构造面积关于参数的函数，利用均值不等式即可求得.‎ ‎【详解】（1）因，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 故的标准方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，‎ 联立可得，‎ 由，‎ 解得或，‎ 且，，‎ ‎.‎ - 23 -‎ 又点到直线的距离，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题.‎ ‎21.已知函数的图象在处切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数的值，并判断的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，且，证明.‎ ‎【答案】（1）,在上单调递减；在上单调递增；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义，即可求得参数；对函数求导，根据导数的正负即可判断函数单调性；‎ ‎（2）根据题意，由对数运算，建立之间的关系，引入参数，构造函数，利用导数判断其单调性，即可证明不等式.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ 由，解得，‎ - 23 -‎ 所以，，‎ 由，得，故在上单调递减；‎ 由，得，故上单调递增.‎ ‎（2）证明：，由为函数的两个零点，‎ 得，，‎ 两式相减，可得，‎ 即，，因此，.‎ 令，由，知，则.‎ 构造函数，则，‎ 所以函数在上单调递增，故，即，‎ 又，所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，函数单调区间的求解，以及利用导数证明不等式，属压轴题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程分别为，.‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）已知直线与直线的交点为，直线与曲线的交点为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；‎ ‎(2)把，代入对应的极坐标方程求出，代入即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为 ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将，代入，整理得，‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎∵直线过点，且斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若有解，求实数的取值范围；‎ - 23 -‎ ‎（2）在（1）的条件下，实数的最小值为，若为正数，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角不等式即可；‎ ‎(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.‎ ‎【详解】（1）解：，‎ 当且仅当，即时取等号，所以.‎ 因为有解，所以，故的取值范围是.‎ ‎（2）证明：由（1）可知，，所以，‎ 将变形为，‎ 即.‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎