高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理

高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理

第 06 讲：导数中的双参数问题的处理 【知识要点】 对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多， 一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利 用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理. 【方法讲评】 方法一 分离次参法 使用情景 不等式中含有两个参数（主参数和次参数）和一个自变量，并且次参数比较容 易分离. 解题步骤 一般先分离次参，变成单参数的问题处理. 【例 1】已知函数 ． （1）若函数 与函数 在点 处有共同的切线 ，求 的值； （2）证明： ； （3）若不等式 对所有 ， 都成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1） ， ， ， 与 在点 处有共同的切线 ， ，即 ， 设 ， ， 故 在 上是增函数，在 上是减函数，故 ， ； （3）由题得不等式 对所有的 ， 都成立， 因为 ，所以 ，所以 ，即 所以 ，所以 【点评】对于不等式 ，里面有两个参数 和一个自变量 ，形式比较复杂， 所以我们可以想到转化和化归的思想，想方法把双参数变成单参数，这个方法就是分离参数. 由于题目求的是 的范围，所以我们称 是主参数， 是次参数.第（3）问首先分离次参， 最后得到了 的取值范围，因此这种方法可以称为“分离次参法”. 【反馈检测 1】已知 ，设函数 . （1）存在 ，使得 是 在 上的最大值，求 的取值范围； （2） 对任意 恒成立时， 的最大值为 1，求 的取值范围. 方法二 反客为主法 使用情景 含有两个参数和一个自变量，但是次参数系数有正有负，不便分离. 解题步骤 把次参数看成自变量，把自变量看成参数，构造一次函数解答. 【例 2】已知函数 ．若不等式 对所有 ， 都 成立，求实数 的取值范围． 因为 ，所以 所以 令 所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数， 所以 所以 综合得 . 【点评】（1）在 中， 是自变量，要求 的范围，所以 是主参， 是次参. （2）对于不等式 ，由于 ，有正有负，不便分离次参，所以我们 要构造一次函数反客为主， 中把次参 看成自变量，把 看作参数，利 用一次函数的性质分析解答.（3）一次函数 在 上恒成立，只须满足 .(4)对于“分离次参”的题目，也可以利用反客为主的方法解答. 【反馈检测 2】已知函数 ， ， ， . （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）对于任意 ，任意 ，总有 ，求 的取值范围. 【反馈检测 3】已知函数 . （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若对任意 及 时，恒有 成立，求实数 的取值范 围. 高中数学热点难点突破技巧第 06 讲： 导数中的双参数问题的处理参考答案 【反馈检测 1 答案】（1） ；（2） . ③当 时， 在 单调递增，在 递减，在 单调递增， ∴ 即 ，∴ ， ④当 时， 在 单调递增，在 单调递减，满足条件， 综上所述： 时，存在 ，使得 是 在 上的最大值. （2） 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成 立， 因为 的最大值为 1， 所以 , 所以 ， ， 恒成立， 由于 ，则 ， 当 时， ，则 ，若 ，则 在 上递减，在 上递增，则 ， ∴ 在 上是递增的函数. ∴ ，满足条件，∴ 的取值范围是 . 【反馈检测 2 详细解析】（Ⅰ） 则 当 时， 恒成立，即 递减区间为 ，不存在增区间； 当 时，令 得 ，令 得 ， 递减区间为 ，递增区间 ； 综上：当 时， 递减区间为 ，不存在增区间； 当 时， 递减区间为 ，递增区间 ； （Ⅱ）令 ，由已知得只需 即 若对任意 ， 恒成立，即 令 ，则 设 ，则 ∴ 在 递减， 即 ∴ 在 递减∴ 即 的取值范围为 ． 【反馈检测 3 答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （2）由题意知对任意 及 时， 恒有 成立，等价于 ， 当 时，由 得 ， 因为 ，所以 ， 从而 在 上是减函数， 所以 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 .