高考数学一轮复习专题7_6数学归纳法讲

高考数学一轮复习专题7_6数学归纳法讲

第 06 节 数学归纳法 【考纲解读】 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 数学归纳 法 了解数学归纳原理，会用数 学归纳法证明简单的数学 命题. 2017 浙江 22 利用数学归纳法证明数列问题. 备考重点： 1.数学归纳法原理； 2.数学归纳法的简单应用. 【知识清单】 数学归纳法 1.证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示 对点练习 【2018 届浙江省温州市高三 9 月一模】已知数列 中， ， （ ）． （1）求证： ； （2）求证： 是等差数列； （3）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 试题解析：（1）证明：当 时， ，满足 ， 假设当 （ ）时， ，则当 时， ， 即 时，满足 ； 所以，当 时，都有 ． （2）由 ，得 ， 所以 ， 即 ， 即 ， 所以，数列 是等差数列． （3）由（2）知， ， ∴ ， 因此 ， 当 时， ， 即 时， ， 所以 时， ， 显然 ，只需证明 ， 即可． 当 时， ． 【考点深度剖析】 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性 问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合. 【重点难点突破】 考点 1 利用数学归纳法证明等式 【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边计算所得 的式子为( ) A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22＋23 【答案】D 【解析】左边的指数从 0 开始，依次加 1，直到 n＋2，所以当 n＝1 时，应加到 23，故选 D. 【1-2】观察下列等式： 1 1   ； 1 3 2   ； 1 3 5 3     ； 1 3 5 7 4     ； ……… （1）照此规律，归纳猜想出第 n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 【答案】（1）1 3 5         1 2 1 1n nn n    （ *Nn ）；（2）见解析. 试题解析： （1）第 n 个等式为 1 3 5          1 2 1 1n nn n    （ *Nn ）； （2）用数学归纳法证明： ①当 1n  时，等式显然成立； ②假设当 n k （ *Nk  ）时，等式成立， 即 1 3 5          1 2 1 1k kk k    则当 1n k  时， 1 3 5            11 2 1 1 2 1k kk k          11 1 2 1k kk k         11 2 1k k k       11 1k k   所以当 1n k  时，等式成立. 由①②知， 1 3 5          1 2 1 1n nn    （ *Nn ） 【领悟技法】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边 各有多少项，初始值 n0 是多少． (2)注意点：由 n＝k 时等式成立，推出 n＝k＋1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差 异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用 归纳假设的证明，就不是数学归纳法． 【触类旁通】 【变式一】观察下列等式： 31 1 ； 3 31 2 3  ； 3 3 31 2 3 6   ； 3 3 3 31 2 3 4 10    ； 3 3 3 3 31 2 3 4 5 15     ， ………… (1)猜想第  *n n N 个等式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1)  3 3 3 3 11 2 3 2 n nn     .(2)答案见解析. 试题解析： (1)  3 3 3 3 11 2 3 2 n nn     . (2)证明：(i)当 1n  时，等式显然成立. (ii)假设 n k 时等式成立，即  3 3 3 3 11 2 3 2 k kk     ， 即  22 3 3 3 3 11 2 3 4 k kk     . 那么当 1n k  时，左边       22 3 33 3 3 11 2 3 1 14 k kk k                    2 2 221 4 4 1 1 11 2 4 4 2 k k k k kk k            ， 右边    1 1 1 2 k k     . 所以当 1n k  时，等式也成立. 综上所述，等式对任意 *n N 都成立. 【变式二】已知数列 na 中， 1 11, 2 1n na a a   ， （Ⅰ）求 2 3 4 5, , ,a a a a ； （Ⅱ）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(I） 2 3 4 53, 7, 15, 31a a a a    ；（II）见解析. 【解析】试题分析：（1）由已知直接求出 2 3 4 5, , ,a a a a 的值；（2）猜想 2 1n na   ，注意数 学归纳法的步骤。 试题解析：(1） 2 3 4 53, 7, 15, 31a a a a    ； （2）猜想： 2 1n na   证明：①当 n=1 时， 1 1 2 1 1a    ，猜想成立. ②假设 n=k 时成立，即 2 1k ka   ， 则当 n=k+1 时，由 1 2 1n na a   得   1 1 2 1 2 2 1 1 2 1k k k ka a          所以 n=k+1 时，等式成立. 所以由①②知猜想 2 1n na   成立. 考点 2 利用数学归纳法证明不等式 【2-1】【．用数学归纳法证明 22n n （ *n N ， 5n  ）成立时，第二步归纳假设的正确 写法为（ ） A. 假设 n k 时，命题成立 B. 假设 n k （ *k N ）时，命题成立 C. 假设 n k （ 5n  ）时，命题成立 D. 假设 n k （ 5n  ）时，命题成立 【答案】C 【2-2】【2017 浙江卷 22】已知数列 nx 满足：   * 1 n n 1 n 1x =1 x x ln 1 x n N    ， 证明：当 *n N 时 （I） n 1 n0 x x＜ ＜ ; （II） n n 1 n 1 n x x2x -x 2    ； (III) nn 1 n-2 1 1x2 2   【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得    2 1 1 1 1 1 14 2 2 2 ln 1n n n n n n n nx x x x x x x x            ， 构造函数       2 2 2 ln 1 0f x x x x x x      ，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由  1 1 1 1ln 1n n n n nx x x x x        及 1 122 n n n n x x x x   ，递推可得  * 1 2 1 1 2 2nn nx n N    那么 n=k+1 时，若 1 0kx   ，则  1 10 ln 1 0k k kx x x      ，矛盾，故 1 0kx   ． 因此  *0nx n N  ． 所以  1 1 1ln 1n n n nx x x x      ， 因此  * 10 n nx x n N   ． （Ⅱ）由  1 1ln 1n n nx x x    得，    2 1 1 1 1 1 14 2 2 2 ln 1n n n n n n n nx x x x x x x x            ． 记函数       2 2 2 ln 1 0f x x x x x x      ，     22' ln 1 0( 0)1 x xf x x xx      ， 函数 f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以    0f x f =0，因此      2 1 1 1 1 12 2 ln 1 0n n n n nx x x x f x          ， 故  *1 12 2 n n n n x xx x n N     ． （Ⅲ）因为  1 1 1 1 1ln 1 2n n n n n nx x x x x x          ， 所以 1 1 2n nx  ， 由 1 122 n n n n x x x x   ，得 1 1 1 1 12 02 2n nx x         ， 所以 1 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 22 2 2 n n n nx x x                     ， 故 2 1 2n nx  ． 综上，  * 1 2 1 1 2 2nn nx n N    ． 【领悟技法】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑 应用数学归纳法． (2)关键：由 n＝k 时命题成立证 n＝k＋1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、 综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧， 使问题得以简化 【触类旁通】 【变式一】设正项数列 的前 项和 ，且满足 . （Ⅰ）计算 的值，猜想 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）设 是数列 的前 项和，证明： . 【答案】(1) （2）见解析 试题解析：（Ⅰ）解：当 n=1 时， ，得 ； ，得 ； ，得 . 猜想 证明：（ⅰ）当 n=1 时，显然成立. （ⅱ）假设当 n=k 时， 则当 n=k+1 时， 结合 ，解得 于是对于一切的自然数 ，都有 （Ⅱ）证法一：因为 ， 证法二：数学归纳法 证明：（ⅰ）当 n=1 时， ， ， （ⅱ）假设当 n=k 时， 则当 n=k+1 时， 要证： 只需证： 由于 所以 于是对于一切的自然数 ，都有 . 【变式二】求证： 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n ＞5 6 (n≥2，n∈N*). 【答案】见解析 1 k＋1 ＋1 ＋ 1 k＋1 ＋2 ＋…＋ 1 3k ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3 k＋1 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 3k ＋( 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3k＋3 － 1 k＋1 ) ＞5 6 ＋( 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3k＋3 － 1 k＋1 ) ＞5 6 ＋(3× 1 3k＋3 － 1 k＋1 )＝5 6 . ∴当 n＝k＋1 时不等式亦成立． ∴原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立. 考点 3 归纳、猜想、证明 【3-1】给出下列不等式： ， ， ， ， ，…… （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1） ；（2）详见解析. 试题解析： （1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ， ……猜想不等式左边最后一个数分母 ，对应各式右端为 ， 所以，不等式的一般结论为： . （2）证明：①当 时显然成立； ②假设 时结论成立，即： 成立 当 时， 即当 时结论也成立.由①②可知对任意 ，结论都成立. 【3-2】【2017 届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列 na 中，满足 1 1 11 , ,2 2 n n aa a    记 nS 为 na 前 n 项和． （I）证明： 1n na a  ； （Ⅱ）证明： 1cos 3 2n na    （Ⅲ）证明： 227 54nS n   . 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 2 2 21 1 1 1 1 11 1 sin2 2 3·2 3·2 n n n n n a a a                  ，化简可得 2 1 1 21 9• 4n na     。再由 数列的前 n 项和及等比数列前 n 项和公式可得结论。 试题解析：证明：（I）因   2 2 2 12 2 1 2 1 1 2 ,n n n n n na a a a a a        故只需要证明 1na  即可 ……………………………………………………3 分 下用数学归纳法证明： 当 1n  时， 1 1 12a   成立 假设 n k 时， 1ka  成立， 那么当 1n k  时， 1 1 1 1 12 2 k k aa      ， 所以综上所述，对任意 n ， 1na  …………………………………………6 分 （Ⅱ）用数学归纳法证明 1cos 3• 2n na   当 1n  时， 1 1 cos2 3a   成立 假设 n k 时， 1cos 3• 2k ka   那么当 1n k  时， 1 1 cos 11 3·2 cos2 2 3·2 kk k k aa       所以综上所述，对任意 n ， 1cos 3• 2n na   …………………………10 分 （Ⅲ） 2 2 21 1 1 1 1 11 1 sin2 2 3·2 3·2 n n n n n a a a                  得 2 1 1 21 9• 4n na     …12 分 故 2 2 2 1 2 2 1 1 2 4 1 1 271 19•4 2 2 9 3 16 4 54 n n i n i S n n                        ……15 分 【领悟技法】 (1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)． ②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)． (2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略 ①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用 数学归纳法证明． ②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【触类旁通】 【变式一】设等差数列 的公差 ，且 ，记 （1）用 分别表示 ，并猜想 ； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1） .；（2）见解析. 试题解析：（1）T1＝ ＝ ； T2＝ ＋ ＝ × ＝ × ＝ ； T3＝ ＋ ＋ ＝ × ＝ × ＝ 由此可猜想 Tn＝ . （2）证明：①当 n＝1 时，T1＝ ，结论成立． ②假设当 n＝k 时(k∈N*)时结论成立， 即 Tk＝ . 则当 n＝k＋1 时，Tk＋1＝Tk＋ ＝ ＋ ＝ ＝ . 即 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②可知，Tn＝ 对于一切 n∈N*恒成立． 【变式二】【2017 届浙江省“超级全能生”3 月联考来】已知每一项都是正数的数列 na 满 足 1 1a  ，  * 1 1 12 n n n aa n Na   ． （1）用数学归纳法证明： 2 1 2 1n na a  ； （2）证明： 1 16 na  ； （3）记 nS 为数列 1n na a  的前 n 项和，证明：  *6nS n N  ． 【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.    2 1 2 1 2 1 2 11 1 k k k k a a a a        ，（2）奇数项隔项递减，且最大值为 11 a ，所以研究偶数项单调 性：隔项递增，且最小值为 2 1 6a  ，（同（1）的方法给予证明），最后需证明 2 2 1n na a  ， 根据归纳可借助第三量 1 3 ，作差给予证明；（3）先探求数列 1n na a  递推关系： 1 2 1 1 6 1 7 n n n n n n n a aa a a aa         ，再利用等比数列求和公式得 615 7 666 1 7 n nS        . 试题解析：（1）由题知， 1 1 0a   ，  * 1 1 012 n n n aa n Na    ①当 1n  时， 1 1a  ， 1 2 1 1 1 12 6 aa a   ， 2 3 2 1 7 12 12 aa a   ， 3 1a a 成立； ②假设 n k 时，结论成立，即 2 1 2 1k ka a  ， 因为   2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 1 1 11 12 13 1 112 12 112·12 n n n n n nn n n a a a aa aa a a              所以     2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 13 1 13 1 12 1 12 1 n n k k n n a aa a a a               2 1 2 1 2 1 2 1 01 1 k k k k a a a a        即 1n k  时也成立， 由①②可知对于 PAC ，都有 2 1 2 1n na a  成立. （2）由（1）知， 2 1 2 1n na a  ， 所以 1 2 1 2 11 n na a a     ， 同理由数学归纳法可证 2 2 2n na a  ， 2 2 2 2 1 6n na a a    . 猜测： 2 2 1 1 3n na a   ，下证这个结论. 因为 1 1 1 3 3 4 n n n a a a       ， 所以 1 1 3na   与 1 3na  异号.注意到 1 1 03a   ，知 2 1 1 03na    ， 2 1 03na   ， 即 2 2 1 1 3n na a   . 所以有 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3n n n na a a a a a           ， 从而可知 1 16 na  . （3） 11 2 1 1 1 1 1 12 12 12 n nn n n n n n n n a aa aa a a a a a           1 1 21 1 n n n n n a a a a a a      1 6 7 n na a  所以 2 1 1 1 2 6 6 7 7n n n n n na a a a a a            1 2 1 6 7 n a a       15 6·6 7 n     所以 2 1 3 2 4 3 1n n nS a a a a a a a a         2 15 6 6 616 7 7 7 n                   615 35 367 666 6 61 7 n         【易错试题常警惕】 易错典例：【2017 届山西省孝义市 5 月模拟】数列 na 满足 * 15 36 18,n na a n n N    ， 且 1 4a  . （1）写出 na 的前 3 项，并猜想其通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学 归纳法，确认 n 的初始值 n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设. 题成立. （2）①当 1n  时， 1 4 6 1 2a     成立； ②假设 ,n k k N   时，猜想成立，即有 6 2ka k  ， 由 15 36 18k ka a k   ，，及 6 2ka k  ， 得  1 6 4 6 1 2ka k k      ，即当 1n k  时猜想成立， 由①②可知， 6 2na n  对一切正整数 n 均成立. 温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1. 2.推证 n＝k＋1 时一定要用上 n＝k 时的假设，否则不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基 础，否则将会做大量无用功.