高考数学必背公式与知识点过关检测精华版

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高考数学必背公式与知识点过关检测精华版

高考数学必背公式与知识点过关检测 姓名 班级 第一部分:集合与常用逻辑用语 1.子集个数:含 n 个元素的集合有 个子集,有 个真子集,有 个非空 子集,有 个非空真子集 2.常见数集:自然数集: 正整数集: 或 整数集: 有理数集: 实数集: 3.空集: 是任何集合的 ,是任何非空集合的 . 4.元素特点: 、 、 确定性 5.集合的的运算: 集运算、 集运算、 集运算 6.四种命题:原命题:若 p ,则 q ;逆命题:若 ,则 ;否命题:若 ,则 ; 逆否命题:若 ,则 ; 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互 ;原命题与否 命题、逆命题与逆否命题互 ;原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互 为逆否的命题 7.充要条件的判断: p q ,p 是 q 的 条件; p q ,q 是 p 的 条 件; p q , ,p q 互为 条件;若命题 p 对应集合 A ,命题 q 对应集合 B ,则 p q 等价于 , p q 等价于 注意区分:“甲是乙的充分条件(甲  乙)”与“甲的充分条件是乙(乙  甲)”; 8.逻辑联结词:或命题: p q , ,p q 有一为真即为 , ,p q 均为假时才为 ; 且命题: p q , ,p q 均为真时才为 , ,p q 有一为假即为 ;非命题: p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词:⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 表示; 全称命题 p: )(, xpMx  ;全称命题 p 的否定  p: ; ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用  表示; 特称命题 p: )(, xpMx  ;特称命题 p 的否定  p: ; 第二部分:函数与导数及其应用 1.函数的定义域:分母 0;偶次被开方数 0;0 次幂的底数 0 ;对数函数 的真数 0;指数与对数函数的底数 0 且 1 2.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论; 分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3.函数的单调性:设 1x , 2 [ , ]x a b ,且 1 2x x ,那么: (1)  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a bx x    在 上是 函数; (2)  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a bx x    在 上是 函数; (3)如果 0)(  xf ,则 )(xf 为 函数; 0)(  xf ,则 )(xf 为 函数; (4)复合函数的单调性:根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件.... ⑵ )(xf 是 函数 )()( xfxf  ; )(xf 是 函数 )()( xfxf  . ⑶奇函数 )(xf 在 0 处有定义,则 ⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有 的单调性,偶函数有 的 单调性 ⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 5.函数的周期性: 周期有关的结论:(约定 a>0) (1) )()( axfxf  ,则 )(xf 的周期 T= ; (2) )()( xfaxf  ,或 )0)(()( 1)(  xfxfaxf ,或 1( ) ( )f x a f x   ( ( ) 0)f x  , 则 )(xf 的周期 T= (3) )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 6.函数的对称性: ① ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   ; ② ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f b x    ( ) ( )f a b x f x    ; 7.对数运算规律: (1)对数式与指数式的互化: (2)对数恒等式: log 1a  , loga a  , log b a a  . lg 2+lg5  , =lne (3)对数的运算性质: ①加法: log loga aM N  ②减法: loga M N  ③数乘: log ( )n a M n R  ④恒等式: loga Na  ⑤ log m n a b  ⑥换底公式: loglog log m a m NN a  8.二次函数: 二次函数 cbxaxy  2 (a≠0)的图象的对称轴方程是 ,顶点 坐标是 判别式 acb 42  ; 0 时,图像与 x 轴有 个交点; 0 时,图像与 x 轴有 个交点; 0 时,图像与 x 轴没有交点; 9. 韦达定理: 若 x1, x2 是一元二次方程 )0(02  acbxax 的两个根,则:x1+x2= , x1x2= . 10.零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有 一个零点 11.常见函数的导数公式: ① '( )C  ;② '( nx ) ; '(nx ) ③ '(sin x ) ; ④ '(cos x ) ; ⑤ '( xe ) ; ⑥ '( xa ) ; ⑦ '(ln x ) ; ⑧ ' (logx) . 12.导数运算法则:    f x g x    (1) ;    2 f x g x       ( ) . 13.曲线的切线方程:函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的 切线的斜率为 )( 0xf  ,相应的切线方程是 . 14.微积分基本定理: 如果  f x 是 ,a b 上的连续函数,并且有    F x f x  ,则 第三部分:三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.角度制与弧度制互化: 360°= rad,180°= rad,1°= ≈ rad,1rad= ≈ 2.若扇形的圆心角为   为弧度制 ,半径为 r ,弧长为l ,周长为C ,面积为 S ,则 l  ,C  ,S= = . 3.三角函数定义式:角 终边上任一点(非原点)P ),( yx ,设 rOP || 则 sin  , cos  , tan  4.同角三角函数的基本关系:  1 平方关系:  2 tan =商数关系: . 5.函数的诱导公式:口诀: .    1 sin 2 sink    , , .(k∈Z) (2) , ,  tan tan    . (3) , ,  tan tan    . (4) , ,  tan tan     .  5 sin cos2        , . (6) , cos sin2         . 6.特殊角的三角函数值: 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 角α的 弧度数 Sinα Cosα tanα 7.三角函数的图像与性质: siny x cosy x tany x 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 8.几个常见三角函数的周期: ① xy sin 与 xy cos 的周期为 . ② )sin(   xy 或 )cos(   xy ( 0 )的周期为 . ③ 2tan xy  的周期为 . ④ xy cos 的周期为 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式:  1 cos   () ;  2 cos   ( ) ;  3 sin   ( ) ;  4 sin   ( ) ;  5 tan   ( ) ;  6 tan   ( ) . 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 2  cos2  = = 2cos  降次公式: , 2sin   , sin cos   tan2  11.引入辅助角公式: sin cosa b   . (其中,辅助角  所在象限由点 ( , )a b 所在的象限决定, tan b a   ). 12. 正弦定理: . (R 是 ABC 外接圆直径) 注 : ① CBAcba sin:sin:sin::  ; ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ; ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin   13. 余弦定理:  .(变式) (以 A 角和其对边来表示) 14. 三角形面积公式: ABCS  = = . (用边与角的正弦值来表示) 三角形面积导出公式: ABCS  ( r 为 ABC 内切圆半径)= ( R 外接圆半径) 15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = = 第四部分:平面向量、数列与不等式 1. 平面向量的基本运算:设 1 1( , )a x y , 2 2( , )b x y ;( 0b   ) a b  = ; a b  = ; a b  (定义公式)= (坐标公式). a  在 b  方向上的投影为. = (坐标公式) a b  (一般表示)  (坐标表示) . a  ∥b   (一般表示)  (坐标表示). cos 夹角公式: = (坐标公式). 2.若G 为 ABC 的重心,则 = 0  ; 且 G 点坐标为 ( , ) 3.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线  →OP =x→OA +y→OB 且 =1 4.三角形的四心 重心:三角形三条 交点. 外心:三角形三边 相交于一点. 内心:三角形三 相交于一点. 垂心:三角形三边上 的相交于一点. 5. 数列{ na }中 na 与 nS 的关系 na  6. 等差数列与等比数列对比小结: 等差数列 等比数列 定义 公式 1. na  1. na  2. nS  2. nS  性质 1. , ,a b c 成等差数列 称b 为 a 与 c 的等差中项 2.若 m n p q   , 则 1. , ,a b c 成等比数列 称b 为 a 与 c 的等比中项 2.若 m n p q   , 则 7.常见数列的和: ①1+2+3+……+n= ②12+22+32+……+n2= ③13+23+33+……+n3= 8.一元二次不等式解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 ( 0a )的图象 一元二次方程  的根0 02   a cbxax 的解集)0( 02   a cbxax 的解集)0( 02   a cbxax 9. 均值不等式: 若 0a  , 0b  ,则  ; 10. 重要不等式: 11.极值定理:已知 yx, 都是正数,则有: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 yx  时和 yx  有最小值 ; (2)如果和 yx  是定值 s ,那么当 yx  时积 xy 有最大值 . 12.两个著名不等式: (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么 (当仅当 a=b 时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) 特别地, 2 2 2( )2 2 a b a bab    (当 a = b 时, 2 2 2( )2 2 a b a b ab   ) ),,,(33 2222 时取等cbaRcbacbacba        幂平均不等式: 2 21 22 2 2 1 )...(1... nn aaanaaa  (2)柯西不等式: .(当且仅当 ad=bc 时取等号) 第五部分:立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图: 原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式: 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S= 球的表面积 S= 3.常见几何体体积公式: 柱体的体积 V= 锥体的体积 V= 台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论: ⑴棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底 面 ,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ;相应 小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 . ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ,b,c,则体对角线长为 , 全面积为 ,体积 V= ⑶正方体的棱长为 a,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积 V= ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径=长方体的 长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的 直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. ⑸正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: 1 高: ;②对棱间距离: ;③内切球半径: ;④外接球半径: 5. 空间向量中的夹角和距离公式: (1)空间中两点 A 1 1 1( , , )x y z , B 2 2 2( , , )x y z 的距离 d= (2)异面直线夹角: (0, ]2   cosθ= (两直线方向向量为 ,a b   ) (3)线面角: [0, ]2   ,且 sinθ= ( l  , n  为直线的方向向量与 平面的法向量) (4)二面角: [0, ]  ,且 cosθ= (两平面的法向量分别为 1n  和 2n  ) (5)点到面的距离:平面 的法向量为 n  ,平面 内任一点为 N ,点 M 到平面 的距离 d= 6.直线的斜率: k = = ( 为直线的倾斜角, 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直线上的两点) 7. 直线方程的五种形式: 直线的点斜式方程: (直线l 过点 1 1 1( , )P x y ,且斜率为 k ). 直线的斜截式方程: (b 为直线l 在 y 轴上的截距). 直线的两点式方程: ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x , 1 2y y ). 直线的截距式方程: ( a 、b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距, 且 0,0  ba ). 直线的一般式方程: (其中 A、B 不同时为 0). 8.两条直线的位置关系: (1)若 1 1 1:l y k x b  , 2 2 2:l y k x b  ,则: ① 1l ∥ 2l  且 ; . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,则: ① 1l ∥ 2l  且 ;②. 1 2l l  . 9.距离公式: (1)点 1 1 1( , )P x y , 2 2 2( , )P x y 之间的距离: (2)点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   的距离: (3)平行线间的距离: 1 0Ax By C   与 2 0Ax By C   的距离: 10.圆的方程: (1)圆的标准方程: (2)圆的一般方程: ( )0422  FED 11.直线与圆的位置关系:判断圆心到直线的距离 d 与半径 R 的大小关系 (1)当 时,直线和圆 (有两个交点); (2)当 时,直线和圆 (有且仅有一个交点); (3)当 时,直线和圆 (无交点); 12. 圆与圆的位置关系:判断圆心距 d 与两圆半径和 1 2R R ,半径差 1 2R R ( 1 2R R ) 的大小关系: (1)当 时,两圆 ,有 4 条公切线; (2)当 时,两圆 ,有 3 条公切线; (3)当 时,两圆 ,有 2 条公切线; (4)当 时,两圆 ,有 1 条公切线; (5)当 时,两圆 ,没有公切线; 13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= (d 为直线的距离 r 为半径) 14.椭圆的定义: (1)第一定义:平面内与两个定点 21 FF、 的距离和等于常数 的点的轨 迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距.( 222 cba  ) (2)标准方程:焦点在 x 轴上: ;焦点在 y 轴上: . 15.双曲线的定义:(1)第一定义:平面内与两个定点 21 FF、 的距离之差的绝对值等于常 数: 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫焦距.( 222 abc  ) (2)标准方程:焦点在 x 轴上: ;焦点在 y 轴上: . 16.抛物线的定义: (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线l (点 F 不在l 上)的距离的 的点的轨迹 叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点,定直线是抛物线的准线. (2)标准方程:焦点在 x 轴上: ;焦点在 y 轴上: . 17.离心率:e= (椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物 线的离心率 ) 18.双曲线的渐近线: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a  , 0b  )的渐近线方程为 ,且与 2 2 2 2 1x y a b   具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 x y a b   . 19.过抛物线焦点的直线: 倾斜角为 的直线过抛物线 2 2y px 的焦点 F 且与抛物线交于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点 ( 1 0y  ): |AF|= |BF|= |AB|= = x1x2= y1y2= 1 |AF| + 1 |BF| = 20.焦点三角形的面积:(1)椭圆:S= ;(2)双曲线:S= ( 1 2F PF   ) 21.几何距离: (1)椭圆双曲线特有距离:①长轴(实轴): ; ②短轴(虚轴): ; ③两焦点间距离: . (2)焦准距:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: . (3)通径长:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: . 22.直线被曲线所截得的弦长公式:若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx ,则 |AB|= = = 23. 中点弦问题: 椭圆:kABkOP= 双曲线:kABkOP= 第六部分:统计与概率 1. 总体特征数的估计: ⑴样本平均数x= = ; ⑵样本方差;S2= = ; ⑶样本标准差 S= 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)= ⑵古典概型:基本事件的总数数为 N ,随机事件 A 包含的基本事件个数为 M ,则事 件 A 发生的概率为:P(A)= ⑶几何概型: 等)区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的 积等)的区域长度(面积或体构成事件AAP )( 3.离散型随机变量: ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质:pi≥ , i=1,2,3,…; p1+p2+…= ②离散型随机变量: X x1 X2 … X n P P1 P2 … P n 均值(又称期望):EX= 方差:DX= 注: DXabaXDbaEXbaXE 2)(;)(  ; ③二项分布(独立重复试验):若 X~B(n , p),则 EX= , DX= 注: knkk n ppCkXP  )1()( ⑵条件概率: P(B|A)= 注:0  P(B|A)  1 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)= 第七部分:复数与计数原理 1. 复数的基本概念: z a bi  ( a ,b R ) (1)实部: ;虚部: ; 虚数单位:i2= (2)模:|z|= = (3)共轭复数:-z = (4)在复平面内对应的点为 (5)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)  2. 复数的基本运算: (1)加减法:(a+bi)+(c+di)= (a+bi)-(c+di)= (2)乘法:(a+bi)×(c+di)= (3)除法:(a+bi)÷(c+di)= 注:对虚数单位i ,有 1 , ,1, 4342414   nnnn iiiiii . 3.分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理):. (1)完成一件事有 n 类不同方案,在第1类方案中有 1m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 2m 种不同的方法,…,在第 n 类方案中有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. (2)完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第1步有 1m 种不同的方法,做第 2 步有 2m 种 不同的方法……做第 n 步有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种 不同的方法. 4.排列数公式: = = ; = (m≤ n, m、n∈N*) 规定 0! 1 5.组合数公式: = ( n ,m N  , 且 m n ); 6. 组合数性质: ; 7.二项式定理:(a+b)n= ( r nC 叫做二项式系数) 8.二项展开式的通项公式:Tr+1= (r=0,1,2……,n) 第八部分:坐标系与参数方程 1. 极坐标→直角坐标 cos sin x y        直角坐标→极坐标 2 2 tan ( 0) x y y xx        2. 圆的极坐标方程: ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ②以 ( ,0)a )0( a 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ③以 ( , )2a  )0( a 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ④以 , ( 0)a a  为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ⑤以 3, ( 0)2a a     为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程: 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程 参数方程 直线 过点 0 0( , )x y 倾斜角为 0 0tan ( )y y x x   或者 0x x (t 为参数) 圆 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    ( 为参数) 椭圆 12 2 2 2  b y a x (a>b>0) ( 为参数) 双曲线 12 2 2 2  b y a x (a>0,b>0) ( 为参数) 抛物线 2 2y px (p>0) (t 为参数)
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