高中数学人教a版必修三 模块综合测评 word版含答案
模块综合测评
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．问题：①有 1 000 个乒乓球分别装在 3 种箱子内，其中红色箱
子内有 500 个，蓝色箱子内有 200 个，黄色箱子内有 300 个，现从中
抽取一个容量为 100 的样本；②从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．其中问题
与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
【解析】 本题考查三种抽样方法的定义及特点．
【答案】 B
2．从装有 2 个红球和 2 个白球的红袋内任取两个球，那么下列事
件中，互斥事件的个数是( )
①至少有一个白球；都是白球．
②至少有一个白球；至少有一个红球．
③恰好有一个白球；恰好有 2 个白球．
④至少有 1 个白球；都是红球．
A．0 B．1
C.2 D．3
【解析】 由互斥事件的定义知，选项③④是互斥事件．故选 C.
【答案】 C
3．在如图 1 所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为 14，则乙组数
据的中位数为( )
图 1
A．6 B．8
C.10 D．14
【解析】 由甲组数据的众数为 14，得 x＝y＝4，乙组数据中间
两个数分别为 6 和 14，所以中位数是6＋14
2
＝10，故选 C.
【答案】 C
4．101110(2)转化为等值的八进制数是( )
A．46 B．56
C.67 D．78
【解析】 ∵101110(2)＝1×25＋1×23＋1×22＋1×2＝46，46＝
8×5＋6，5＝8×0＋5，∴46＝56(8)，故选 B.
【答案】 B
5．从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取 6 件，测得其直
径如下：(单位：cm)
甲：9.0，9.2，9.0，8.5，9.1，9.2；
乙：8.9，9.6，9.5，8.5，8.6，8.9.
据以上数据估计两人的技术的稳定性，结论是( )
A．甲优于乙 B．乙优于甲
C．两人没区别 D．无法判断
【解析】 x 甲＝1
6(9.0＋9.2＋9.0＋8.5＋9.1＋9.2)＝9.0，
x 乙＝1
6(8.9＋9.6＋9.5＋8.5＋8.6＋8.9)＝9.0；
s2甲＝1
6[(9.0－9.0)2＋(9.2－9.0)2＋(9.0－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(9.1－
9.0)2＋(9.2－9.0)2]＝0.34
6
，
s2乙＝1
6[(8.9－9.0)2＋(9.6－9.0)2＋(9.5－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(8.6－
9.0)2＋(8.9－9.0)2]＝1.04
6 .
因为 s2甲
3
C．x>5，s2<3 D．x>5，s2>3
【解析】 由平均数和方差的计算公式可得 x＝5，s2＝1
9(3×8＋
0)<3，故选 A.
【答案】 A
12．圆 O 内有一内接正三角形，向圆 O 内随机投一点，则该点落
在正三角形内的概率为( )
A.3 3
8π B．3 3
4π
C. 3
2π D． 3
π
【解析】 设圆 O 的半径为 r，则圆 O 内接正三角形的边长为 3r，
设向圆 O 内随机投一点，则该点落在其内接正三角形内的事件为 A，
则 P(A)＝S 正三角形
S 圆
＝
3
4
（ 3r）2
πr2
＝3 3
4π.故选 B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在
题中横线上)．
13．合肥市环保总站发布 2014 年 1 月 11 日到 1 月 20 日的空气质
量指数(AQI)，数据如下：153，203，268，166，157，164，268，407，
335，119，则这组数据的中位数是________．
【解析】 将这 10 个数按照由小到大的顺序排列为 119，153，157，
164，166，203，268，268，335，407，第 5 和第 6 个数的平均数是166＋203
2
＝184.5，即这组数据的中位数是 184.5.
【答案】 184.5
14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取 400 名同学的成绩，
成绩全部在 50 分至 100 分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，
成绩大于等于 50 分且小于 60 分；第二组，成绩大于等于 60 分且小于
70 分；……；第五组，成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分，据此绘
制了如图 4 所示的频率分布直方图．则 400 名同学中成绩优秀(大于等
于 80 分)的学生有________名．
图 4
【解析】 成绩优秀的频率为 1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝
0.25，所以成绩优秀的学生有 0.25×400＝100(名)．
【答案】 100
15．在由 1，2，3，4，5 组成可重复数字的二位数中任取一个数，
如 21，22 等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个
偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为________．
【解析】 由 1，2，3，4，5 可组成的二位数有 5×5＝25 个，其
中只有一个偶数数字的有 14 个，故只有一个偶数数字的概率为14
25.
【答案】 14
25
16．执行如图 5 所示的程序框图，输出的 a 值为________．
图 5
【解析】 由程序框图可知，第一次循环 i＝2，a＝－2；第二次
循环 i＝3，a＝－1
3
；第三次循环 i＝4，a＝1
2
；第四次循环 i＝5，a＝3；
第五次循环 i＝6，a＝－2，所以周期为 4，当 i＝11 时，循环结束，因
为 i＝11＝4×2＋3，所以输出 a 的值为－1
3.
【答案】 －1
3
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)已知算法如下所示：(这里 S1，S2，…分别
代表第一步，第二步，…)
(1)指出其功能；(用数学式子表达)
(2)画出该算法的算法框图．
S1 输入 x.
S2 若 x<－2，执行 S3；否则，执行 S6.
S3 y＝2x＋1.
S4 输出 y.
S5 执行 S12.
S6 若－2≤x<2，执行 S7；否则执行 S10.
S7 y＝x.
S8 输出 y.
S9 执行 S12.
S10 y＝2x－1.
S11 输出 y.
S12 结束．
【解】 (1)该算法的功能是：已知 x 时，
求函数 y＝
2x＋1，x<－2，
x，－2≤x<2，
2x－1，x≥2
的值．
(2)算法框图是：
18．(本小题满分 12 分)一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个
黑球，2 个白球，1 个绿球，从中随机取出 1 球，求：
(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率．
【解】 记事件 A1＝{任取 1 球为红球}，A2＝{任取 1 球为黑球}，
A3＝{任取 1 球为白球}，A4＝{任取 1 球为绿球}，则 P(A1)＝ 5
12
，P(A2)
＝ 4
12
，P(A3)＝ 2
12
，P(A4)＝ 1
12.由题意知，事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥．
(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝ 5
12
＋ 4
12
＝3
4.
(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝ 5
12
＋ 4
12
＋ 2
12
＝11
12.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－ 1
12
＝11
12.
19．(本小题满分 12 分)某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比
赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩
(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的
数据，解答下列问题：
组号 分组 频数 频率
第 1 组 [50，60) 5 0.05
第 2 组 [60，70) a 0.35
第 3 组 [70，80) 30 b
第 4 组 [80，90) 20 0.20
第 5 组 [90，100] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)求 a、b 的值；
(2)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参
加市汉字听写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1
人是第 4 组的概率．
【解】 (1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20
－0.10＝0.30.
(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名
学生中抽取 6 名学生，每组分别为，第 3 组： 6
60
×30＝3 人，第 4 组：
6
60
×20＝2 人，第 5 组： 6
60
×10＝1 人，所以第 3、4、5 组应分别抽取
3 人、2 人、1 人．
设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3，第 4 组的 2 位同学为 B1、B2，
第 5 组的 1 位同学为 C1，则从 6 位同学中抽 2 位同学有 15 种可能，如
下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，
B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，
C1)，(B2，C1)．其中第 4 组被入选的有 9 种，
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有 1 位同学入选的概率为 9
15
＝3
5.
20．(本题满分 12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目
观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表
所示：
文艺节目 新闻节目 总计
20 至 40 岁 40 18 58
大于 40 岁 15 27 42
总计 55 45 100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于
40 岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为
20 至 40 岁的概率. 【导学号：28750074】
【解】 (1)由于大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目，而
20 至 40 岁的 58 人中，只有 18 人收看新闻节目，故收看新闻节目的观
众与年龄有关．
(2)27× 5
45
＝3，所以大于 40 岁的观众应抽取 3 名．
(3)由题意知，设抽取的 5 名观众中，年龄在 20 岁至 40 岁的为 a1，
a2，大于 40 岁的为 b1，b2，b3，从中随机取 2 名，基本事件有：(a1，
a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，
b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共 10 个，设恰有一名观众年龄在 20 至 40 岁为
事件 A，则 A 中含有基本事件 6 个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，
b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，
所以 P(A)＝ 6
10
＝3
5.
21．(本小题满分 12 分)
图 6
某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间
进行了一次社会实践活动，且每个小组有 5 名同学，在实践活动结束
后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的 A，B 两个小
组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图 6 所示，其中 B 组一同学的
分数已被污损，但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分．
(1)若在 B 组学生中随机挑选 1 人，求其得分超过 85 分的概率；
(2)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学，设其分数分别为 m，
n，求|m－n|≤8 的概率．
【解】 (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋77
5
＝85(分)，∴
B 组学生平均分为 86 分．
设被污损的分数为 x，则91＋93＋83＋x＋75
5
＝86，解得 x＝88，
∴B 组学生的分数分别为 93，91，88，83，75，其中有 3 人的分
数超过 85 分．
∴在 B 组学生随机选 1 人，其所得分超过 85 分的概率为3
5.
(2)A 组学生的分数分别是 94，88，86，80，77，
在 A 组学生中随机抽取 2 名同学，其分数组成的基本事件(m，n)
有(94，88)，(94，86)，(94，80)，(94，77)，(88，86)，(88，80)，(88，
77)，(86，80)，(86，77)，(80，77)，共 10 个．
随机抽取 2 名同学的分数 m，n 满足|m－n|≤8 的基本事件有(94，
88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86，80)，(80，77)，共 6 个．
∴|m－n|≤8 的概率为 6
10
＝3
5.
22．(本小题满分 12 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表
是部分统计数据：
年份 2006 2008 2010 2012 2014
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y＝bx＋
a；
(2)利用(1) 中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需求量．
【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上
升，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2010 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得 x＝0，y＝3.2，
b＝
∴a＝-
y－b -
x＝3.2，
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y－257＝b(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2，
即 y＝6.5(x－2 010)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测 2016 年的粮食需求量为
6．5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
