2021届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教学案含解析新人教A版
第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(老教材选修2－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.
答案 B
3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等
4.(2020·成都诊断)已知命题p：∃x0∈R，x＋4x0＋6<0，则綈p为( )
A.∀x∈R，x2＋4x＋6≥0 B.∃x∈R，x2＋4x＋6>0
C.∀x∈R，x2＋4x＋6>0 D.∃x∈R，x2＋4x＋6≥0
解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.
答案 A
5.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是( )
A.綈p B.q
C.p∧q D.p∧(綈q)
解析 根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题.
答案 D
6.(2019·豫南五校联考)若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析 由x∈，∴1≤tan x＋2≤2＋.
∵“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧(綈q)
(2)(2020·济南调研)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.
綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.
(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p∧(綈q)为真命题.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与
p的真假相反”.
【训练1】 (1)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p∧q D.p∨q
解析 (1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题.
(2)当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；
若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，
所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，
所以p∨q是真命题.
答案 (1)D (2)D
考点二 全称量词与存在量词 多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】 (2020·河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为( )
A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A，|f(x)|∉B
C.∃f(x)∈A，|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B
解析 全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.
∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.
答案 C
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2－2】 (1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
(2)(2020·衡水检测)已知命题p：∀x∈N*，≥，命题q：∃x∈R，2x＋21－x＝2，则下列命题中是真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
(2)因为y＝xn(n∈N*)在(0，＋∞)上递增.
∴∀x∈N*，≥成立，p为真命题.
又2x＋21－x≥2＝2，
当且仅当2x＝21－x，即x＝时，上式取等号，
则q为真命题.因此p∧q为真命题.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.
【训练2】 (1)(角度1)命题“∃x0∈R，1
2
D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
(2)(角度2)(2020·株洲模拟)已知命题p：∀x>0，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题正确的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.
(2)令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，
f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1，命题p真；
令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，
所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，
∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，
因此綈q为真，故p∧(綈q)为真.
答案 (1)D (2)C
考点三 由命题的真假求参数 典例迁移
【例3】 (1)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________________.
(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.
解析 (1)若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e，4].
(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
答案 (1)[e，4] (2)
【迁移】 本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_________________________________________________.
解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
答案
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】 已知命题p：∀x∈R，2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析 因为綈p：∃x∈R，2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，所以綈p与q同时为真.
由2x≥3x，得≥1，所以x≤0.①
由x2＝2－x，得x＝1或x＝－2.②
由①②知x＝－2.
答案 D
逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”的问题
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解 由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”的问题
【例2】 已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.
解 由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
思维升华 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)1，x2－1>0”，则綈p为( )
A.∀x>1，x2－1≤0 B.∀x≤1，x2－1≤0
C.∃x0>1，x－1≤0 D.∃x0≤1，x－1≤0
解析 命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x－1≤0.
答案 C
2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定，选A.
答案 A
3.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0
D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0
解析 ∵全称命题的否定为特称命题，
∴该命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.
答案 D
4.已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a20恒成立，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a＝1，b＝－2时，满足a2x2，q：“ab>4”是“a>2，b>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 当x＝2时，2x＝x2，所以p是假命题；由a>2，b>2可以推出ab>4；反之不成立，例如a＝2，b＝4，所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以(綈p)∧(綈q)是真命题.
答案 D
6.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
解析 因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得00，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题.
答案 B
8.已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.(1，＋∞)
C. D.∪(1，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，
命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定：“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
答案 1
10.命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________________.
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
11.(2020·湖南百校大联考改编)下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2＋x＋1≤0；p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2＋x＋1.其中是真命题的为________.
解析 ∀x∈R，2x>0恒成立，p1是真命题.
又x2＋x＋1＝＋>0，∴p2是假命题.
由sin＝1>2－π，知p3是假命题.
取x＝－时，cos>cos＝，
但x2＋x＋1＝<，则p4为真.
综上，p1，p4为真命题，p2，p3是假命题.
答案 p1，p4
12.已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2－1.
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
B级 能力提升
13.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得nsin x，则命题p∨q为真
C.命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”
D.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题
解析 选项A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴A选项错误.
选项B，∵sin x0＝>1，∴命题p是假命题.命题q：当x＝0时，x＝sin x，∴命题q是假命题，则命题p∨q为假.∴B选项错误.
选项C，命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，∴C选项错误.
选项D，∵x＝y，∴sin x＝sin y，∴该命题的逆否命题为真命题.∴D选项正确.
答案 D
15.已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命题q：若m＝，则f[f(－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).
①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q).
解析 因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，
所以命题p为假命题；
当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，
所以f[f(－1)]＝f＝－＝0，
所以命题q为真命题；
逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题.
答案 ②
16.(2020·漳州八校联考)设p：函数f(x)＝的定义域为R，q：∃x∈(0，1)，使得不等式3x－9x－a<0成立.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________.
解析 若命题p为真，则ax2－x＋a≥0恒成立，
则解得a≥1.
设y＝3x－9x.令3x＝t，则y＝3x－9x＝t－t2，
当x∈(0，1)时，t∈(1，3)，
所以y＝3x－9x的值域为(－6，0).
若命题q为真，则a>－6.
由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可知p，q一真一假，
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，－6
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