【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试59随机事件的概率作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试59随机事件的概率作业

考点测试59　随机事件的概率 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别 ‎2．了解两个互斥事件的概率加法公式 一、基础小题 ‎1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是(　　)‎ ‎①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．‎ A．①② B．①③ C．③④ D．①④‎ 答案　D 解析　根据互斥事件概念可知选D．‎ ‎2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0．65，P(B)＝0．2，P(C)＝0．1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)‎ A．0．7 B．0．‎65 C．0．35 D．0．3‎ 答案　C 解析　事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝‎ ‎0．65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0．65＝0．35．选C．‎ ‎3．甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为，乙同学获胜的概率为，则甲同学不输的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 答案　D 解析　因为乙获胜的概率为，所以甲不输的概率为1－＝．故选D．‎ ‎4．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是(　　)‎ A．事件A发生的概率等于 B．事件A发生的概率等于 C．事件A是不可能事件 D．事件A是必然事件 答案　D 解析　根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，所以A是必然事件．故选D．‎ ‎5．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝‎1”‎，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要条件．‎ ‎6．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数”，事件B表示“向上的一面出现的数字不超过‎3”‎，事件C表示“向上的一面出现的数字不小于‎4”‎，则(　　)‎ A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 答案　D 解析　A∩B＝{出现数字1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．故选D．‎ ‎7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．‎ 答案　A与B，A与C，B与C，B与D　B与D 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．‎ 二、高考小题 ‎8．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为(　　)‎ A．0．3 B．0．‎4 C．0．6 D．0．7‎ 答案　B 解析　设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0．45，P(C)＝0．15，所以P(B)＝0．4．故选B．‎ ‎9．(经典全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　D 解析　解法一：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有24＝16(种)结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，CA＝8(种)；②每天二人，有C＝6(种)，所以P＝＝．故选D．‎ 解法二(间接法)：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P＝1－＝．故选D．‎ 三、模拟小题 ‎10．(2018·山西四校联考)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两个数之和为偶数的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意知所有的基本事件有C共6个，和为偶数的基本事件有(1，3)，(2，4)，共2个，故所求概率为＝．‎ ‎11．(2018·河南新乡二模)已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝，某人猜测事件∩发生，则此人猜测正确的概率为(　　)‎ A．1 B． C． D．0‎ 答案　C 解析　∵事件∩与事件A∪B是对立事件，∴事件∩发生的概率为P(∩)＝1－P(A∪B)＝1－＝，则此人猜测正确的概率为．故选C．‎ ‎12．(2018·河南濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　C 解析　灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开．∴灯泡不亮的概率是×××＋×××＋×××＝，∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－＝．故选C．‎ ‎13．(2018·福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，∴这三个人获得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是．故选B．‎ ‎14．(2018·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．‎ 答案　 解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝．‎ 一、高考大题 ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出 险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0．‎‎85a a ‎1．‎‎25a ‎1．‎‎5a ‎1．‎‎75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ 解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．‎ 由所给数据知一年内出险次数小于2的频率为＝0．55，故P(A)的估计值为0．55．‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0．3，故P(B)的估计值为0．3．‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0．‎‎85a a ‎1．‎‎25a ‎1．‎‎5a ‎1．‎‎75a ‎2a 频率 ‎0．30‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎0．‎85a×0．30＋a×0．25＋1．‎25a×0．15＋1．‎5a×0．15＋1．‎75a×0．10＋‎2a×0．05＝1．‎1925a．‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1．‎1925a．‎ 二、模拟大题 ‎2．(2018·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过‎1 kg的包裹收费10元；质量超过‎1 kg的包裹，除‎1 kg收费10元之外，超过‎1 kg的部分，每‎1 kg(不足‎1 kg，按‎1 kg计算)需再收5元．‎ 该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 包裹件数范围 ‎0～‎ ‎100‎ ‎101～‎ ‎200‎ ‎201～‎ ‎300‎ ‎301～‎ ‎400‎ ‎401～‎ ‎500‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎(1)某人打算将A(0．‎3 kg)，B(1．‎8 kg)，C(1．‎5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；‎ ‎(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？‎ 解　(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：‎ 所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为．‎ ‎(2)由题目中的天数得出频率，如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～‎ ‎100‎ ‎101～‎ ‎200‎ ‎201～‎ ‎300‎ ‎301～‎ ‎400‎ ‎401～‎ ‎500‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 频率 ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．5‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．5‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ 平均揽件数 ‎50×0．1＋150×0．1＋250×0．5＋350×0．2＋450×0．1＝260‎ 故公司每日利润为260×5－3×100＝1000(元)；‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．5‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ 平均揽件数 ‎50×0．1＋150×0．1＋250×0．5＋300×0．2＋300×0．1＝235‎ 故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．‎ 综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．‎