【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第2章第9节函数与方程学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第2章第9节函数与方程学案

第九节 函数与方程 ‎[最新考纲] 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.‎ ‎1.函数的零点 ‎(1)定义:函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.‎ ‎(3)零点存在性定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.‎ ‎(4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.‎ ‎2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数 y=ax2+bx+c ‎(a>0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0),(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 有关函数零点的3个结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.‎ ‎(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.‎ ‎(3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(  )‎ ‎(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)·f(b)<0.(  )‎ ‎(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(  )‎ ‎(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-‎4ac<0时没有零点.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎124.4‎ ‎33‎ ‎-74‎ ‎24.5‎ ‎-36.7‎ ‎-123.6‎ 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(  )‎ A.2个    B.3个   ‎ C.4个    D.5个 B [∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点.]‎ ‎2.函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) ‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ C [由题意得f(1)=ln 1+2-6=-4<0,f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,‎ f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,‎ f(4)=ln 4+8-6=ln 4+2>0,‎ ‎∴f(x)的零点所在的区间为(2,3).]‎ ‎3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是________.‎ ‎1 [由已知得f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.]‎ ‎4.函数f(x)=x-x的零点个数为________.‎ ‎1 [作函数y1=x和y2=x的图像如图所示.‎ 由图像知函数f(x)有1个零点.]‎ 考点1 函数零点所在区间的判定 ‎ 判断函数零点所在区间的方法 ‎(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程.‎ ‎(2)零点存在性定理.‎ ‎(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.‎ ‎ 1.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为(  )‎ A.(0,1)        B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ B [由题意知函数f(x)是增函数,因为f(1)<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.]‎ ‎2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(  )‎ A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 A [∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,‎ 由函数零点存在性判定定理可知:在区间(a,b)(b,c)内分别存在一个零点;‎ 又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,‎ 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.]‎ ‎3.已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点在(k∈Z)内,那么k=________.‎ ‎5 [∵f′(x)=+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,且 f =ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零点在内,则整数k=5.]‎ ‎ (1)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.‎ ‎(2)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.‎ 考点2 函数零点个数的判断 ‎ 函数零点个数的讨论,基本解法有 ‎(1)直接法,令f(x)=0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点.‎ ‎(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.‎ ‎(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.‎ ‎ (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(  )‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎(2)函数f(x)=的零点个数为(  )‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎(1)B (2)D (3)C [(1)由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x·(1-cos x)=0得sin x=0或cos x=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B.‎ ‎(2)依题意,在考虑x>0时可以画出函数y=ln x与y=x2-2x的图像(如图),可知两个函数的图像有两个交点,当x≤0时,函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点,综上,函数f(x)有3个零点.故选D.‎ ‎(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即x=0是函数f(x)的1个零点.‎ 当x>0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3的图像,如图所示,两函数图像有1个交点,所以函数f(x)有1个零点.‎ 根据对称性知,当x<0时,函数f(x)也有1个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.]‎ ‎ (1)利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.‎ ‎(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像.在画函数的图像时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.‎ ‎ 1.函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ B [令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,‎ 可得|log0.5x|=x.‎ 设g(x)=|log0.5x|,h(x)=x.‎ 在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图像,可以发现两个函数图像一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.故选B.]‎ ‎2.已知函数f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为________.‎ ‎3 [依题意得由此解得 由g(x)=0得f(x)+x=0,‎ 该方程等价于 ①‎ 或 ②‎ 解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.]‎ 考点3 函数零点的应用 ‎ 根据函数零点的情况求参数的3种常用方法 ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.‎ ‎(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后数形结合求解.‎ ‎ 根据函数零点个数求参数 ‎ 已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(0,1)∪(9,+∞) [设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|,在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图像如图所示.‎ 由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,‎ 所以 有两组不同解,‎ 消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根,‎ 所以Δ=(3-a)2-‎4a>0,即a2-‎10a+9>0,‎ 解得a<1或a>9.‎ 又由图像得a>0,∴0<a<1或a>9.]‎ ‎ 由函数的零点个数求参数的值或范围的策略 已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.‎ ‎ 根据函数有无零点求参数 ‎ 已知函数f(x)=则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是________.‎ ‎(-∞,0]∪(1,+∞) [函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x=的大致图像(图略).‎ 观察它与直线y=m的交点,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.]‎ ‎ 函数有无零点问题⇔函数图像与x轴有无公共点问题.‎ ‎ 根据零点的范围求参数 ‎ 若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(‎2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.‎  [依题意,结合函数f(x)的图像分析可知m需满足 即 解得<m<.]‎ ‎ 此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解.‎ ‎ 1.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,3)    B.(1,2)   ‎ C.(0,3)    D.(0,2)‎ C [因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3,故选C.]‎ ‎2.方程log(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为________.‎ ‎1 [若方程log(a-2x)=2+x有解,则2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,因为x+2x≥1,故a的最小值为1.]‎ ‎3.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是________.‎ ‎(-1,0) [关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,等价于函数y1=f(x)与函数y2=k的图像有三个不同的交点,作出函数的图像如图所示,由图可知实数k的取值范围是(-1,0).]‎
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