高中数学新人教版选修2-2课时作业:第二章 推理与证明2.2.2 反证法

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高中数学新人教版选修2-2课时作业:第二章 推理与证明2.2.2 反证法

2.2.2 反证法 明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学 问题. 1.定义:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已 知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 情境导学] 王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友 一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问 王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而 这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.” 这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述,运用的方法即是本节课所要学的方法—— 反证法. 探究点一 反证法的概念 思考 1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么? 答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即“李子苦”),(2)以此为条件,经过正确 的推理,最后得出一个结论(“早被路人摘光了”),(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”) 矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法. 思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况? 答 (1)与原题中的条件矛盾; (2)与定义、公理、定理、公式等矛盾; (3)与假设矛盾. 思考 3 反证法主要适用于什么情形? 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或 很少的几种情形. 探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a,b 和平面α,如果 a⊄ α,b⊂α,且 a∥b,求证:a∥α. 证明 因为 a∥b, 所以经过直线 a,b 确定一个平面β. 因为 a⊄ α,而 a⊂β,所以α与β是两个不同的平面. 因为 b⊂α,且 b⊂β,所以α∩β=b. 下面用反证法证明直线 a 与平面α没有公共点. 假设直线 a 与平面α有公共点 P,如图所示, 则 P∈α∩β=b,即点 P 是直线 a 与 b 的公共点, 这与 a∥b 矛盾.所以 a∥α. 反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法 极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直 接证明时,可考虑用反证法. 跟踪训练 1 如图,已知 a∥b,a∩平面α=A. 求证:直线 b 与平面α必相交. 证明 假设 b 与平面α不相交,即 b⊂α或 b∥α. ①若 b⊂α,因为 b∥a,a⊄ α,所以 a∥α, 这与 a∩α=A 相矛盾; ②如图所示,如果 b∥α, 则 a,b 确定平面β. 显然α与β相交, 设α∩β=c,因为 b∥α, 所以 b∥c.又 a∥b, 从而 a∥c,且 a⊄ α,c⊂α, 则 a∥α,这与 a∩α=A 相矛盾. 由①②知,假设不成立, 故直线 b 与平面α必相交. 探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证: 2不是有理数. 证明 假设 2是有理数.于是, 存在互质的正整数 m,n, 使得 2=m n ,从而有 m= 2n,因此 m2=2n2, 所以 m 为偶数.于是可设 m=2k(k 是正整数),从而有 4k2=2n2,即 n2=2k2, 所以 n 也为偶数.这与 m,n 互质矛盾. 由上述矛盾可知假设错误,从而 2不是有理数. 反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时, 由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法. 跟踪训练 2 已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, b, c不成等 差数列. 证明 假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b, 而 b2=ac,即 b= ac,∴a+c+2 ac=4 ac, ∴( a- c)2=0.即 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列. 探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明 例 3 若函数 f(x)在区间 a,b]上是增函数,那么方程 f(x)=0 在区间 a,b]上至多有一个实 根. 证明 假设方程 f(x)=0 在区间 a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根.因为 α≠β ,不妨设α<β,又因为函数 f(x)在 a,b]上是增函数,所以 f(α)0,这与 a+b+c≤0 矛盾, 故 a、b、c 中至少有一个大于 0. 1.证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B 2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”,应先假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于 60° B.每一个内角都小于 60° C.有一个内角大于 60° D.每一个内角都大于 60° 答案 B 3.“ab C.a=b D.a=b 或 a>b 答案 D 4.用反证法证明“在同一平面内,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b”时,应假设( ) A.a 不垂直于 c B.a,b 都不垂直于 c C.a⊥b D.a 与 b 相交 答案 D 5.已知 a≠0,证明:关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根. 证明 由于 a≠0,因此方程至少有一个根 x=b a . 如果方程不止一个根,不妨设 x1,x2 是它的两个不同的根,即 ax1=b, ① ax2=b. ② ①-②,得 a(x1-x2)=0. 因为 x1≠x2,所以 x1-x2≠0,所以应有 a=0,这与已知矛盾,故假设错误. 所以,当 a≠0 时,方程 ax=b 有且只有一个根. 呈重点、现规律] 1.反证法证明的基本步骤是什么? (1)假设命题结论的反面是正确的;(反设) (2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事 实矛盾;(推缪) (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的.(结论) 2.反证法证题与“逆否命题法”是否相同? 反证法的理论基础是逆否命题的等价性,但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反 证法在否定结论后,只要找到矛盾即可,可以与题设矛盾,也可以与假设矛盾,与定义、定 理、公式、事实矛盾.因此,反证法与证明逆否命题是不同的. 一、基础过关 1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( ) ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾 A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④ 答案 D 2.否定:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A.a,b,c 都是偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D 解析 自然数 a,b,c 的奇偶性共有四种情形:3 个都是奇数,1 个偶数 2 个奇数,2 个偶数 1 个奇数,3 个都是偶数,所以否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a, b,c”中都是奇数或至少有两个偶数. 3.有下列叙述:①“a>b”的反面是“ay 或 x0,x1≠1 且 xn+1=xn·x2 n+3 3x2 n+1 (n=1,2,…),试证:“数列{xn}对任意的正整数 n 都满足 xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为( ) A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn+1 D.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 答案 D 解析 “任意”的反语是“存在一个”. 9.设 a,b,c 都是正数,则三个数 a+1 b ,b+1 c ,c+1 a ( ) A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 答案 C 解析 假设 a+1 b <2,b+1 c <2,c+1 a <2, 则(a+1 b )+(b+1 c )+(c+1 a )<6. 又(a+1 b )+(b+1 c )+(c+1 a )=(a+1 a )+(b+1 b )+(c+1 c )≥2+2+2=6,这与假设得到的不等 式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于 2. 10.若下列两个方程 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,则实数 a 的取值范围是________. 答案 a≤-2 或 a≥-1 解析 若两方程均无实根,则Δ1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1)<0,∴a<-1 或 a>1 3 .Δ2= (2a)2+8a=4a(a+2)<0,∴-20,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0. 证明 用反证法: 假设 a,b,c 不都是正数,由 abc>0 可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数, 不妨设 a<0,b<0,c>0,则由 a+b+c>0, 可得 c>-(a+b), 又 a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b), ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab, 即 ab+bc+ca<-a2-ab-b2, ∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即 ab+bc+ca<0, 这与已知 ab+bc+ca>0 矛盾,所以假设不成立. 因此 a>0,b>0,c>0 成立. 12.已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能都大于1 4 . 证明 假设三个式子同时大于1 4 , 即(1-a)b>1 4 ,(1-b)c>1 4 ,(1-c)a>1 4 , 三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>1 43,① 又因为 0
查看更多