人教A版数学必修二2-1-3空间中直线与平面之间的位置关系

人教A版数学必修二2-1-3空间中直线与平面之间的位置关系

§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 一、教材分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的， 要求学生在公理 1 的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点 正确判定直线与平面的位置关系. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路 2.(事例导入) 观察长方体（图 1），你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？ 图 1 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①什么叫做直线在平面内？ ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤ 直线在平面内 a  α 直线与平面相交 a∩α=A 直线与平面平行 a∥α （三）应用示例 思路 1 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图 2, 图 2 我们借助长方体模型，棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外，但棱 AA1 所在直线 与平面 ABCD 相交，所以命题①不正确； A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，A1B1 显然不平行于 BD，所以命题②不正确； A1B1∥AB,A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB  平面 ABCD,所以命题③不正 确； l 与平面α平行,则 l 与α无公共点,l 与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B 变式训练 请讨论下列问题： 若直线 l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线 l 与平面α的位置关系. 图 3 解：直线 l 与平面α的位置关系有两种情况（如图 3），直线与平面平行或直线与平面相 交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问 题要全面. 例 2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线 a∥b∥c，直线 l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C. 求证：l 与 a、b、c 共面. 证明：如图 4,∵a∥b, 图 4 ∴a、b 确定一个平面，设为α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴AB  α，即 l  α. 同理 b、c 确定一个平面β，l  β, ∴平面α与β都过两相交直线 b 与 l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故 l 与 a、b、c 共面. 变式训练 已知 a α,b  α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a， 求证：PQ  α. 证明：∵PQ∥a，∴PQ、a 确定一个平面，设为β. ∴P∈β，a  β，Pa.又 P∈α，a  α，Pa, 由推论 1：过 P、a 有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ  α. 点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路 2 例 1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图 5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交. 图 5 用符号语言表示为：若 a∩b=A,b α,则 a  α或 a∩α=A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图 6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图 6 用符号语言表示为：若 a 与 b 异面,a  α,则 b∥α或 b∩α=A. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问 题要全面. 例 2 若直线 a 不平行于平面α,且 a  α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与 a 异面 B.α内的直线与 a 都相交 C.α内存在唯一的直线与 a 平行 D.α内不存在与 a 平行的直线 分析：如图 7,若直线 a 不平行于平面α,且 a  α,则 a 与平面α相交. 图 7 例如直线 A′B 与平面 ABCD 相交，直线 AB、CD 在平面 ABCD 内，直线 AB 与直线 A′B 相交，直线 CD 与直线 A′B 异面，所以 A、B 都不正确；平面 ABCD 内不存在与 a 平行的 直线，所以应选 D. 答案：D 变式训练 不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面α的距离相等，且 Aα,给出以下三个命题： ①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可 能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________. 分析：如图 8,三点 A、B、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧， 图 8 其中真命题是①. 答案：① 变式训练 若直线 a  α,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α内的所有直线与 a 异面 (2)α内的直线与 a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与 a 平行 (4)α内不存在与 a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线 a  α,∴a∥α或 a∩α=A. 如图 9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A. 图 9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考 虑问题要全面即注意发散思维. （四）知能训练 已知α∩β=l,a  α且 a  β,b  β且 b  α,又 a∩b=P. 求证：a 与β相交,b 与α相交. 证明：如图 10,∵a∩b=P, 图 10 ∴P∈a,P∈b. 又 b  β,∴P∈β. ∴a 与β有公共点 P,即 a 与β相交. 同理可证,b 与α相交. （五）拓展提升 过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？ 解：(1)如图 11, C′D′与 BD 是异面直线，可以过 P 点作一个平面与两异面直线 C′D′、BD 都平行. 如图 12, 图 11 图 12 图 13 显然，平面 PQ 是符合要求的平面. (2)如图 13,当点 P 与直线 C′D′确定的平面和直线 BD 平行时，不存在过 P 点的平面与两 异面直线 C′D′、BD 都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考 虑问题要全面即注意发散思维. （六）课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. （七）作业 课本习题 2.1 A 组 7、8.