高考数学（理）一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第1节平面向量的概念及线性运算

高考数学（理）一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第1节平面向量的概念及线性运算

第1节　平面向量的概念及线性运算 最新考纲　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向 量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算， 并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量 共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫 做向量的 . (2)零向量： 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 的向量. (4)平行向量：方向 或 的非零向量.平行向量又叫 .规定：0与任一向量 . (5)相等向量：长度 且方向 的向量. (6)相反向量：长度 且方向 的向量. 知 识 梳 理大小 方向 长度（或模） 长度为0 1个单位 相同 相反 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (1)交换律：a＋b＝________. (2)结合律： (a＋b)＋c＝___________ 减法 求a与b的相 反向量－b的 和的运算叫 做a与b的差 a－b＝a＋(－b) b＋a a＋(b＋c) 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 . 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa|＝_______； (2)当λ＞0时，λa的方向 与a的方向______；当λ ＜0时，λa的方向与a的 方向______；当λ＝0时， λa＝_____ λ(μa)＝_____； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝_________ |λ||a| 相同 相反 0 λμa λa＋μa λa＋λb b＝λa 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一 定在一条直线上. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 诊 断 自 测 答案　A 答案　A 答案　b－a　－a－b 5.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ ____________. 考点一　平面向量的概念 【例1】 给出下列四个命题： 解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相 等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b| 且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案　A 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有 向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两 向量方向不一定相同或相反； ③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数， 可以比较大小. 答案　③ 考点二　平面向量的线性运算 规律方法　1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运 用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果. 考点三　共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. (2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 规律方法　1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线 与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共 线. 2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立. 解析　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]. 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 答案　B