江苏省南通市2020届高三下学期第三次高考全真冲刺模拟数学试题 Word版含解析

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江苏省南通市2020届高三下学期第三次高考全真冲刺模拟数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷 数学试题 一、填空题 ‎1.设集合,,若,则______ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,所以,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,集合,,‎ 因为,所以,故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题,其中解答中熟记集合交集的概念,得到是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于容易题.‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位),则复数的模为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出z1﹣i,由此能求出复数z-i的模.‎ ‎【详解】∵复数z满足z•i=1+i(i是虚数单位),‎ ‎∴z1﹣i,‎ ‎∴复数z-i=1﹣2i, 故 的模为:.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的求法,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 - 28 -‎ ‎,如图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间的为一等品,在区间和的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图计算一等品和二等品的频率,求三等品的频率,根据频数=样本容量频率,计算样本中三等品的件数.‎ ‎【详解】由频率分布直方图可知一等品的频率是,二等品的频率是,所以样品中三等品的频率是,‎ 所以样品中三等品的件数是.‎ 故答案为:50‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中频率,频数的计算,属于基础题型.‎ ‎4.幂函数的单调增区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的性质可知函数在在是减函数,并且根据偶函数的性质可知单调递减区间.‎ ‎【详解】因为幂函数在是减函数,又因为函数是偶函数,所以函数在是增函数.‎ - 28 -‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质,偶函数与单调性的关系,属于基础题型.‎ ‎5.根据图中所示的伪代码,可知输出的结果S为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出S=3+4+5.‎ ‎【详解】模拟程序的运行过程如下,‎ S=0,I=2,满足条件;‎ I=3时,S=0+3=3,满足条件;‎ I=4时,S=3+4=7,满足条件;‎ I=5时,S=7+5=12,不满足条件;‎ ‎∴该程序运行后输出S=12.‎ 故答案为12.‎ ‎【点睛】本题考查了程序语言的应用问题,是基础题.‎ ‎6.设实数满足则的最大值为________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,则直线过点C时取最大值3‎ - 28 -‎ ‎ ‎ 考点:线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系,再根据焦点在上确定出的值,结合计算出即可得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】因为一条渐近线与平行,所以,‎ 又因为双曲线的焦点为,且直线过点,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 所以双曲线的方程为:.‎ - 28 -‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据的值求解双曲线的方程,难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时,此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.‎ ‎8.已知双曲线的左、右顶点为、,焦点在轴上的椭圆以、为顶点,且离心率为,过作斜率为的直线交双曲线于另一点,交椭圆于另一点,若,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由已知求得椭圆方程,设,利用中点坐标公式表示,将两点坐标分别代入椭圆和双曲线方程,求得的值,并表示斜率.‎ ‎【详解】对于椭圆,显然,,所以椭圆方程为,设,则由得.因为点在双曲线上,点在椭圆上,所以,,解得,,,‎ 所以 , ‎ 故直线的斜率.‎ 故答案为:‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查椭圆,双曲线方程,直线与椭圆和双曲线的位置关系,点与椭圆和双曲线的位置关系,属于基础题型.‎ ‎9.已知函数,若,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方法一:首先化简,由条件求出的值,然后利用诱导公式求值.‎ 方法二:首先化简函数,再根据条件求出,再将展开,计算求值.‎ ‎【详解】方法一 ‎ ,因为,所以,所以.‎ 方法二,‎ ‎ ‎ 因为,所以,‎ 所以.‎ - 28 -‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变形,重点考查转化与化归,变形,计算,属于基础题型.‎ ‎10.已知函数,,则的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先去掉绝对值,写成分段函数,并判断分段函数的单调性,根据函数的单调性,解抽象不等式.‎ ‎【详解】,‎ 所以在上单调递增,在上为常数函数,则,‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查函数绝对值函数,解抽象不等式,重点考查判断函数的单调性,属于中档题型.本题的关键是将函数写成分段函数,并判断函数的单调性.‎ ‎11.定义在上的函数的值恒非负,则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知恒成立,即,利用导数判断函数的单调性,再求函数的最小值.‎ ‎【详解】由题意可知,所以是减函数,‎ 所以函数的最小值是 ‎ 因为恒成立,所以,即 ,‎ - 28 -‎ 即,所以的最大值是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,最值,恒成立问题,属于中档题型,本题的关键是将恒成立问题转化为.‎ ‎12.在中,若,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设,利用向量数量积和余弦定理求得,再代入余弦定理求值.‎ ‎【详解】设,所以所以 即 所以 ‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积和余弦定理的综合应用,重点考查转化与化归的思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是将已知条件设为.‎ ‎13.若中,,45°,为所在平面内一点且满足 ‎ - 28 -‎ ‎,则长度的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,设,则,‎ 求得,令,解得,进而利用二次函数的性质,求得取得最小值.‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,由题意,,‎ 设,所以,‎ ‎ 所以,‎ 即,令,则,所以,‎ 所以 ‎ ‎,‎ 当且仅当时,取得最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用问题,其中建立适当的直角坐标系,利用向量的数量积的运算,得到,利用表示出关于的二次函数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,试题有一定的综合性,属于中档试题.‎ ‎14.已知偶函数满足,且在时,‎ - 28 -‎ ‎,若存在满足,且,则最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由条件可知函数的最小正周期为4的偶函数,并且函数的值域是,对任意都有,要使取得最小值,尽可能多让取得最高点,然后得到的最小值.‎ ‎【详解】因为偶函数满足,所以,所以函数是最小正周期为的偶函数,且在时,,所以函数的值域为,对任意都有,要使取得最小值,尽可能多让取得最值点,且,,,因为,且,根据,相应的的最小值为.‎ 故答案为:1009‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图形和性质,考查函数的周期性,有界性,考查了分析问题和解决问题的能力,考查转化与化归的思想,属于中档题型.‎ 二、解答题 ‎15.已知函数的最小值是-2,其图象经过点.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)已知,且,,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ - 28 -‎ 试题分析:(1)求三角函数解析式,一般是根据待定系数法求解:根据最小值是-2,确定A=2.根据图象经过点,可得,解得(2)由已知得,求,利用同角三角函数关系得,代入化简得的值 试题解析:(1)因为的最小值是-2,所以A=2.又由的图象经过点,可得,,所以或,又,所以,故,即.‎ ‎(2)由(1)知,又,,故,即,又因为,所以,所以.‎ 考点:三角函数解析式,给值求值 ‎16.如图,在四棱锥中,,,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若为的中点,求证:平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,,得平面,由此能证明平面平面;‎ ‎(2)取中点,连结,,推导出平面,平面,‎ - 28 -‎ 从而平面平面,由此能证明平面.‎ ‎【详解】(1),.,且平面,‎ 平面,‎ 平面,平面平面.‎ ‎(2)取中点,连结,,为的中点,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 四边形是平行四边形,,‎ ‎∵平面,平面,‎ 所以平面,同理平面 ‎,平面 ‎ 平面平面,‎ 平面,平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎17.有一块以点为圆心,半径为百米的圆形草坪,草坪内距离点百米的点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点修一条笔直小路交草坪圆周于两点,为了方便居民散步,同时修建小路,其中小路的宽度忽略不计.‎ - 28 -‎ ‎(1)若要使修建的小路的费用最省,试求小路的最短长度;‎ ‎(2)若要在区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞,试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和)‎ ‎【答案】(1)(百米).(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要使最短,只需要最小即可,根据弦长公式可知当时,弦最小;‎ ‎(2)当广场所在的圆与内切时,面积最大,由弦长公式可得,再由三角形面积公式表示半径,再通过构造函数,利用导数求函数的最值.‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则.‎ ‎(1)小路的长度为,因为长为定值,故只需要最小即可.‎ 作于,记,则,‎ - 28 -‎ 又,故,‎ 此时点为中点.‎ 故小路的最短长度为(百米).‎ ‎(2)显然,当广场所在的圆与内切时,‎ 面积最大,设的内切圆的半径为,‎ 则的面积为,‎ 由弦长公式可得,所以,‎ 设,则,‎ 所以,‎ 又因为,即,所以,‎ 所以,所以,‎ 即的内切圆的面积最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,函数的应用,重点考查数形结合分析问题的能力,抽象概括能力,以及计算能力,属于重点题型,第二问是本题的难点,需要表示三角形面积和弦长公式,转化求半径.‎ ‎18.如图,点分别为椭圆的左、右顶点和右焦点,过点的直线交椭圆于点.‎ - 28 -‎ ‎(1)若,点与椭圆左准线的距离为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线的斜率是直线斜率的倍.‎ ‎①求椭圆的离心率;‎ ‎②若椭圆的焦距为,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1).(2)①;②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给条件列出关于的式子,求出椭圆方程;(2)①方法一,首先利用点在椭圆上,求得,再利用直线方程与椭圆方程联立,求得,再利用的关系,求得椭圆离心率;方法二,利用的关系,分别设直线的方程为,直线的方程为,与椭圆方程联立,解出点的坐标,利用点三点共线,求得离心率.②首先求得椭圆方程,并表示面积,由①方法一,代入根与系数的关系,求面积的最大值.‎ ‎【详解】(1)∵,点与椭圆左准线的距离为,‎ ‎∴解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)①法一:显然,,,设,,‎ 则∵点在椭圆上,∴,‎ ‎∴(i),‎ - 28 -‎ 设直线,‎ 与椭圆联立方程组消去得:‎ ‎,其两根为,‎ ‎∴(*)‎ ‎∴‎ ‎,‎ 将(*)代入上式化简得:(ii)‎ 又(iii)‎ 由(i)(ii)(iii)得:,‎ ‎∴,即,解得或,‎ 又,∴,即椭圆的离心率为.‎ 法二:显然,,,‎ ‎∵,∴设直线的方程为,直线的方程为.‎ 由得,‎ 注意到其一根为,∴另一根为,‎ - 28 -‎ ‎∴,即,‎ 同理由得.‎ 由三点共线得,‎ ‎∴,‎ 化简得:,∴,‎ ‎∴,即椭圆的离心率为.‎ ‎②由①,又椭圆的焦距为,∴,∴,∴,‎ 由①方法一得 ‎∴面积 ‎,‎ 令,,则,,‎ ‎∵,∴在为减函数,‎ ‎∴,即时,,即面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系的综合应用,重点考查转化,变形,计算能力,属于中档题型,本题的关键是直线与椭圆方程联立,利用根与系数的关系转化坐标表示的几何关系,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎19.已知数列的首项,其前项和为,设.‎ ‎(1)若,,且数列是公差为的等差数列,求;‎ - 28 -‎ ‎(2)设数列的前项和为,满足.‎ ‎①求数列通项公式;‎ ‎②若对,且,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).(2)①;②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由条件知,即,从而判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列,且公差均为,利用公式,求和;‎ ‎(2)首先求得数列的通项公式,,再利用构造可得,求得数列为等比数列,且公比为,从而求得数列的通项公式;②‎ 不等式等价为,利用①的结果,讨论为奇数和为偶数两种情况,讨论求的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由条件知,即,‎ 所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列,且公差均为.‎ 由,,所以,即,‎ 所以,.‎ 所以.‎ ‎(2)①由,得,‎ 由于符合上式,所以,‎ 所以.‎ 所以,即,‎ - 28 -‎ 所以数列为等比数列,且公比为,‎ 因为,所以.‎ ‎②不等式即为,‎ 由于,所以不等式即为.‎ 当是奇数时,,,‎ 所以,‎ 即对,且恒成立,‎ 所以,解得.‎ 当为偶数时,,,‎ 由,得对,且恒成立,‎ 所以,解得,‎ 因为,所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查递推公式求通项公式,数列的函数关系,重点考查转化与化归,分类讨论的思想,函数与不等式的关系,属于难题.‎ ‎20.已知函数,.‎ ‎(1)当时,‎ ‎①若曲线与直线相切,求c的值;‎ ‎②若曲线与直线有公共点,求c的取值范围.‎ ‎(2)当时,不等式对于任意正实数x恒成立,当c取得最大值时,求a,b的值.‎ ‎【答案】(1),(2),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,,所以,①设切点为 - 28 -‎ ‎,列出方程组,即可求得,得到答案; ②由题意,得方程有正实数根,即方程有正实数根,记,利用导数求得函数的单调性与最小值,即可求解的取值范围;‎ ‎(2)由题意得,当时,对于任意正实数恒成立,即当时,对于任意正实数恒成立, 由(1)可得,进而得到,‎ ‎ ,得到时,,进而得到 对于任意正实数恒成立,再利用二次函数的性质,即可得到结论.‎ ‎【详解】(1)解:当时,,所以.‎ ‎ ①设切点为,则 ‎ 由②③得,‎ 由①得代入④得,‎ ‎ 所以. ‎ ‎ ②由题意,得方程有正实数根,‎ 即方程有正实数根,‎ ‎ 记,令,‎ ‎ 当时,;当时,;‎ ‎ 所以在上为减函数,在上为增函数;‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 若,则,不合;‎ ‎ 若,由①知适合;‎ ‎ 若,则,又,‎ - 28 -‎ 所以,由零点存在性定理知在上必有零点.‎ ‎ 综上,c的取值范围为. ‎ ‎(2)由题意得,当时,对于任意正实数x恒成立,‎ ‎ 所以当时,对于任意正实数x恒成立,‎ ‎ 由(1)知,,‎ ‎ 两边同时乘以x得,①, ‎ ‎ 两边同时加上得,②, ‎ ‎ 所以(*),当且仅当时取等号.‎ ‎ 对(*)式重复以上步骤①②可得,,‎ ‎ 进而可得,,,……,‎ 所以当,时,,当且仅当时取等号.‎ 所以. ‎ 当取最大值1时,对于任意正实数x恒成立,‎ 令上式中得, ,所以,‎ 所以对于任意正实数x恒成立,‎ 即对于任意正实数x恒成立,‎ 所以,所以函数的对称轴,‎ 所以,即,所以,. ‎ 又由,两边同乘以x2得,,‎ 所以当,时,也恒成立,‎ 综上,得,.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎21.已知,点在变换:作用后,再绕原点逆时针旋转,得到点.若点的坐标为,求点的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据伸缩变换以及旋转变换得,再根据对应点关系求结果.‎ ‎【详解】. ‎ 设,则由,得.‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】本题考查伸缩变换以及旋转变换,考查基本求解能力.‎ ‎22.在极坐标系中,设为曲线:上任意一点,求点到直线:的最大距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,转化为求圆上的点到直线距离的最大值,求出圆心到直线距离,即可求出结论.‎ ‎【详解】曲线:化直角坐标方程为表示圆,‎ ‎,‎ - 28 -‎ 化为直角坐标方程为,‎ 圆上点到直线距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎23.已知正数满足,求的最小值.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,待求式可化,根据柯西不等式即可求解.‎ ‎【详解】由于,所以 当且仅当,即时,等号成立. ‎ ‎ 所以最小值为27.‎ ‎【点睛】本题主要考查了柯西不等式,属于中档题.‎ ‎24.如图,在直三棱柱中,已知,,,.是线段的中点.‎ - 28 -‎ ‎(1)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(2)求二面角的大小的余弦值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用空间向量研究线面角,首先建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求面的法向量,最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值,也是线面角的正弦值(2)利用空间向量研究二面角,首先建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求两个平面的法向量,最后利用向量数量积求夹角余弦值,根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.‎ ‎【详解】因为在直三棱柱中,,所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 因为是的中点,所以,‎ ‎(1)因为,设平面的法向量,‎ 则,即,取,‎ 所以平面的法向量,而,‎ - 28 -‎ 所以,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为;‎ ‎(2),,设平面的法向量,‎ 则,即,取,平面的法向量,‎ 所以,‎ 二面角的大小的余弦值.‎ 考点:利用空间向量研究线面角、二面角 ‎25.(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)方法一,利用组合数公式计算,方法二,利用组合数阶乘公式计算;(2)首先按照公式化简求和和组合数公式,‎ 再根据(1)变形为,构造数列,令,得到数列是周期为6的数列,最后计算求值.‎ ‎【详解】由 - 28 -‎ ‎ ‎ 所以.‎ 法二:证明也可直接用组合数定义证明,如下:‎ ‎(2)‎ 由(1)得,,,依次取,‎ 则有,,,‎ 所以,……‎ 原式……‎ 构造数列,令 则 所以 所以,即,‎ 即,所以,即数列是周期为的数列.‎ - 28 -‎ 又因为,,,,,,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查组合数证明,构造数列,数列的函数性质,重点考查公式的灵活应用,转化与化归的能力,逻辑推理能力,属于难题.‎ ‎ ‎ - 28 -‎ - 28 -‎
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