江苏省南通市启东市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com ‎2019～2020学年第一学期期中考试 高一数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接在集合中找到大于1的元素即可.‎ ‎【详解】,只有2满足大于1,故. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,易得 ,求解即可.‎ ‎【详解】由题, ,故定义域为, 故选：C.‎ ‎【点睛】常见定义域：‎ ‎(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.‎ ‎3.已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可设幂函数表达式,再代入点求解参数即可算出表达式,再计算即可.‎ ‎【详解】设,因为函数过,故,所以,‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】已知幂函数可设,仅含一个参数,故代入一个点即可求得参数.‎ ‎4.下列函数中，值域为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接对每个选项进行值域分析即可.‎ ‎【详解】对A：,函数单调递增,值域为； 对B：指数函数单调递增,值域为； 对C：对数函数值域为； 对D：,值域为； 故选：A.‎ ‎【点睛】指数函数定义域为,值域为,对数函数定义域为,值域为.幂函数需要根据指数的值来判定值域.‎ ‎5.已知函数的图象如图，则（ ）‎ A. －6 B. －8 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图得, 过和,代入求解算出即可.‎ ‎【详解】过和,故 ,因为且,所以,故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.‎ ‎6.二次函数在上最大值为3，则实数＝（ ）‎ A. B. C. 2 D. 2或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值.‎ ‎【详解】对称轴,判断对称轴与区间的位置关系,‎ 当时,在区间上单调递减, ,‎ 此时,不满足；‎ 当时,,此时,又所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】求二次函数最值问题,需要分析开口方向与对称轴和区间的位置关系,从而得到最大最小值处的取值,同时分类讨论需要注意大前提与得出的结论需要取交集.‎ ‎7.已知函数，若，则（ ）‎ A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. a＜c＜b ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于为增函数,故只需判断中自变量的大小关系即可.‎ ‎【详解】由题,为增函数,且,,故,所以,故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当为增函数时,自变量越大则函数值越大.‎ ‎8.已知函数满足，则的值是（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况和解出的值,并注意判断是否满足分段的标准即可.‎ ‎【详解】当时,令,不满足；‎ 当时,令,满足.所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.‎ ‎9.函数的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由得函数的定义域为 ‎,再根据复合函数的单调性可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为.‎ 考点：复合函数的定义域，单调区间。‎ 点评：复合函数单调性的判断方法可以同则增，异则减的原则来判断。同是指内外函数的单调性相同，异是指内外函数的单调性相反。在求单调区间时要注意在定义域内进行。‎ ‎10.已知定义在R上的奇函数，当时，，若对任意实数x有成立，则正数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于中带有绝对值,故考虑分情况和两种情况讨论函数,再根据奇函数画出的图像,再根据可以考虑用平移的思想去数形结合做.‎ ‎【详解】由题得, 当时,,故写成分段函数,化简得,又为奇函数,故可画出图像：‎ 又可看出往右平移个单位可得,若恒成立,则,即,又为正数,故解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题有一定的难度,主要考查绝对值函数对分段函数的转换,同时可以看成往右平移个单位所得,画图进行分析即可.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11.计算：____．‎ ‎【答案】0；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将计算中的27和8分别写作,再根据指对数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题用到的指对数运算：,,.‎ 在求解指对数函数时,把能够写成指数形式的数写成对应的指数形式方便计算.‎ ‎12.已知，则______．‎ ‎【答案】6；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可将中看成整体去表示,再代入求.‎ ‎【详解】由题,,故,故.‎ ‎【点睛】本题用到换元求函数表达式的方法.常见的形式如 ‎；‎ ‎13.已知函数是R上的奇函数，且当x＜0时，则当x＞0时____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知奇函数一半的表达式求另一半,直接根据求解即可.‎ ‎【详解】当x＜0时,故当时, ,此时,‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】若为奇函数,且当时,,则当时, .‎ ‎14.正数满足，则的值为______．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由可因式分解得出的关系,再代入求解即可.‎ ‎【详解】由题,可得,又正数,故,即,所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查二元函数的因式分解问题,属于基本技能题型.‎ ‎15.某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有______个．‎ ‎【答案】120；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两筐椰子原来共有个,根据题目条件列出关于的方程求解即可.‎ ‎【详解】设两筐椰子原来共有个,则一共卖出个,其中每个买入成本价为,则售价为,故共卖得元,又赚得78元,所以,化简得,即,两边同乘得 ‎,因式分解,又,所以.‎ 故答案为：120.‎ ‎【点睛】本题属于一元方程列式求解问题,设所求量为,再根据题目条件列出的方程求解即可.‎ ‎16.已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数中包含分段的一次函数与二次函数,故先讨论对应的零点,再一同分析.逐步缩小参数的分析范围即可.‎ ‎【详解】由题意,中当时, ,易得零点为,‎ 又时函数为二次函数且开口向上,故二次函数至少有一根,否则最多仅有一个零点,所以中判别式,即. 当时,,此时的零点为满足题意.‎ 当时, 令得,,且,‎ 又 ,故才能满足在定义域内有一根,‎ 即.‎ 综上所述.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题,可先分析每段函数的零点,再根据定义域思考每段的零点是否存在,最后根据每段定义域内存在的零点进行列不等式运算即可,属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，．‎ ‎（1）求集合B；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,代入算出的范围即可. (2)由可得,再根据区间端点的位置关系列式计算即可.‎ ‎【详解】（1）因为,所以,所以,‎ 所以．‎ ‎（2）因为,所以,‎ 因为A＝{x|a≤x≤a＋2}．‎ 所以 所以0≤a≤1,所以实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了基本的集合运算,同时也考查了根据集合之间的关系进行参数范围求解的问题,主要注意区间端点的相对大小列式.‎ ‎18.已知函数为奇函数．‎ ‎（1）求a值，并证明是R上的增函数；‎ ‎（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1），证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由奇函数在0处有定义时计算可得.证明在上为增函数时,设,再计算,化简证明即可. (2)先根据奇偶性化简为,因为函数单调递增,所以若解集非空,则有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为定义在R上的奇函数,所以,得.‎ 此时,,‎ ‎,所以是奇函数,‎ 所以．‎ 任取R,且,则,因为 所以 所以是R上的增函数.‎ ‎（2）因为为奇函数,f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,‎ 所以的解集非空,‎ 又在R上单调递增,‎ 所以的解集非空,‎ 即在R上有解,所以得.‎ ‎【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算,‎ 若,则为增函数；若,则为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断的正负.‎ ‎(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,‎ 若在区间上是增函数,则,求解出交集即可.‎ 若在区间上是减函数,则,求解出交集即可.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）若时，，求的值；‎ ‎（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可直接代入,因为中有绝对值,且绝对值内不相等,故即可求得. (2)由中有绝对值,故考虑分,和三种情况考虑,分别去绝对值进行分析即可.‎ ‎【详解】（1）因为,所以 所以,‎ 所以或,‎ 因为,所以．‎ ‎（2）当时,在上单调递减,‎ 因为函数的定义域与值域均为,‎ 所以,两式相减得不合,舍去．‎ ‎ 当时,在上单调递增,‎ 因为函数定义域与值域均为,‎ 所以,无实数解.‎ ‎ 当时,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增．‎ 因为函数的定义域与值域均为,‎ 所以,．‎ 综合所述,,．‎ ‎【点睛】(1)关于绝对值的不等式一般分情况进行绝对值内正负的讨论,从而写成分段函数进行求解.‎ ‎(2)分段函数注意定义域的问题.‎ ‎20.设函数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数，的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接代入即可算得. (2)注意到,故可用换元进行求解运算.‎ ‎【详解】（1）因为,,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 因为,所以．‎ ‎（2）,‎ 记,‎ 则 当时,,‎ 当时,2,‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题主要考查换元法与常用化简：‎ ‎21.某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数随时刻(时)变化的规律满足表达式，，其中为空气治理调节参数，且．‎ ‎（1）令，求的取值范围；‎ ‎（2）若规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得,直接根据定义域,求解的范围即可. (2)由且的最大值作为当天的空气污染指数,所以直接根据的范围简化表达式,故有,再根据绝对值分段讨论的方法分析函数单调性计算污染指数不超过5时参数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为,所以．‎ ‎（2）因为 所以在上单调递减,在单调递增.‎ 所以 所以得．‎ ‎【点睛】(1) 本题属于实际应用问题,重点需要读懂题,理清自变量和函数之间的关系.‎ ‎(2) 关于绝对值的不等式一般分情况进行绝对值内正负的讨论,从而写成分段函数进行求解,分段函数注意定义域的问题.‎ ‎22.已知函数的最小值为0．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ,中包含对勾函数的结构,故考虑根据的正负分析单调性,从而确定在处取得最小值 (2)由题目所给形式,故考虑设作为复合函数进行分析,再根据复合函数的零点问题进行分析即可.‎ ‎【详解】（1）当时,f(x)在上单调递增,所以f(x)没有最小值,不合题意；‎ 当时,在上任意上任取且,‎ 则,‎ 当时,‎ 在是减函数；‎ 当时,‎ 在是增函数．‎ 所以．‎ ‎（2）令,则在是减函数,在是增函数,‎ 则有个不同根,得有个不同根,‎ 一根,另一根,‎ 记,‎ 则得.‎ ‎【点睛】(1) 单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数。计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负.‎ ‎(2)复合二次函数的根的个数问题,先根据的函数图像,判定两根与,其中为二次函数的两根.再根据根的分布问题列式即可.‎ ‎ ‎ ‎ ‎