湖南省株洲市2020届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题 Word版含解析

湖南省株洲市2020届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 株洲市2020届高二年级教学质量统一检测（一）理科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.‎ ‎1.已知全集，集合，,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A与B的并集，再根据补集的定义即可求出．‎ ‎【详解】∵全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{5，3}，‎ ‎∴A∪B＝{1,3,5}，‎ ‎∴ {7}，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎2.复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为的形式即可得出结果.‎ ‎【详解】,所以虚部为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易.‎ - 22 -‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助指数和对数的性质即可判断与0和1直接的大小关系,即可得出结果.‎ ‎【详解】,且,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查对数值和指数值大小比较,是基础题,解题时要注意认真审题,注意对数函数和指数函数性质的灵活运用.‎ ‎4.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据，社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量，是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标.如图所示为我国2010-2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图.根据统计图分析，下列说法错误的是（ ）‎ ‎ ‎ A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升 B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元 - 22 -‎ C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大 D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】由图可知，选项A、B、C都正确,对于D, 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率,先上升后下降,所以错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了统计图的应用,从图表中准确获取信息是关键,属于简单题.‎ ‎5.函数的图像大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ - 22 -‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎6.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为（ ）‎ A. 152 B. 134 C. 128 D. 102‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数据找出规律,依次写出来即可.‎ ‎【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,‎ 偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: .‎ 所以该数列第16项为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎7.二项式的展开式中含的项的系数是（ ）‎ A. B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于,及展开式的通项可知,只需满足则,即可计算出结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】二项式展开式的通项为,‎ ‎,,‎ ‎,只需即可.‎ 二项式的展开式中含的项的系数.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式及指定项的系数的性质,熟练掌握公式是解题的关键,属于基础题.‎ ‎8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中P表示的近似值）”.若输入，输出的结果P可以表示为（ ）‎ A. B. ‎ - 22 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.‎ ‎【详解】第1次循环:;‎ 第2次循环:；‎ 第3次循环: ;‎ ‎…‎ 第8次循环: ,‎ 此时满足判定条件,输出结果.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题 ‎9.已知椭圆的离心率为，两点、.若椭圆W上存在点C，使得为正三角形，则椭圆W方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知为正三角形求出点C坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出,得出结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】由点、且为正三角形解得,因为点C在椭圆上,代入可得:‎ 因为,,所以,代入即可解得,故椭圆方程为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆性质,考查已知离心率求椭圆标准方程,难度一般.‎ ‎10.对任意闭区间Ⅰ，用表示函数在I上的最大值，若正数满足，则的值为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分在不同的区间进行讨论,得出符合条件的的值即可.‎ ‎【详解】由题意得: ‎ 当可得 ,;‎ 当可得,,‎ 当,不满足;‎ 当不满足.‎ 所以的值为或.‎ 故选:D - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦函数的性质,分类讨论是解题的关键,难度较难.‎ ‎11.在中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是　　‎ A 5 B. C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC边的中点O，由向量加法的三角形法则，把数量积转化为，再由条件求得，则可求，把•转化为|AO|2﹣|OM|2，再由已知求得，则答案可求．‎ ‎【详解】如图，‎ 设BC的中点为O，由，‎ 得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，由此可得：，‎ 而|AO|2﹣|OM|2，‎ 由已知，‎ ‎∴|AO|2﹣|OM|2，‎ ‎∴6．‎ 故选C．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎12.在长方体中，，，，M为线段AD（不含端点）上的动点，过B、M、的平面截长方体所得截面记为，设在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S，则S可能的值为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 12 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由截面性质可知截面即为平行四边形平面,设,依次求出在六个面的投影,即可得出结果.‎ ‎【详解】由面面平行的性质可知,过B、M、的平面截长方体所得截面即为平面,则,,设 平面在面的正投影面积为,同理在面的正投影面积为,‎ 平面在面的正投影面积为,同理在面的正投影面积为,‎ 平面在面的正投影面积为,同理在面的正投影面积为,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的性质,考查正投影定义,考查面积公式,难度一般.‎ - 22 -‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.记为等比数列的前n项和，若，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为,由,化简可得.又.可解得,代入求和公式即可得出结果.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,由,得.‎ 又.且.‎ ‎.由等比数列求和公式可知.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,考查学生的运算求解能力,属于基础题.‎ ‎14.曲线在点处的切线经过原点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得,则斜率为,写出切线方程,切线经过原点代入化简即可得出结果.‎ ‎【详解】,所以切线斜率为,所以切线方程为,切线经过原点代入切线方程得, 即,解得.‎ 故答案为:.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算及其几何意义,意在考查考生的运算求解能力.‎ ‎15.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1篇稿件被录用分为两种情况:（1）稿件通过了两位初审专家；（2）稿件通过了一位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即可。‎ ‎【详解】记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用,则 ‎，‎ 所以.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题主要考查事件概率的计算,考查互斥事件和相互独立事件在求解概率中的应用,难度一般.‎ ‎16.在双曲线，为左焦点，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，且，若，则该双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,由双曲线的定义可知及余弦定理列出方程,,化简即可求得结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解:依题意如图所示,设,,有对称性可知四边形为平行四边形,则.由双曲线定义可知.平方即有①.‎ 在中,,在中,,解得,,代入①化简得: ,即,所以离心率.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率问题,考查双曲线的定义及余弦定理在处理三角形问题中的应用,考查学生分析问题的能力,难度一般.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知三角形中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求三角形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的正弦公式与二倍角公式即可求；‎ ‎（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果.‎ ‎【详解】（1）三角形中，角、、所对的边分别为、、，，‎ 由正弦定理可知，可得，‎ ‎，‎ ‎，，可得，因此，；‎ ‎（2）根据正弦定理得，得，.‎ 因为，所以.‎ 由余弦定理得，得.‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中等题.‎ ‎18.如图，在三棱柱中，，O为AC的中点，且，连接.‎ ‎（1）求证：面面ABC；‎ ‎（2）若，连接，求与面所成角的正弦值.‎ - 22 -‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)已知可证得,由,即可证得面进而证得结论;‎ ‎(2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,可求得平面的一个法向量为,代入计算求得,即为线面成角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)O为AC的中点，且,‎ ‎,又,O为在底面的射影,即面.‎ 面,面面.‎ ‎(2) 如图,以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设,‎ ‎,则,,.则 ‎,则有,设平面的一个法向量为则有,令,则,,所以,‎ ‎.‎ 所以与面所成角的正弦值为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理,考查向量法解决线面成角问题,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.‎ ‎19.已知F为抛物线焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB.‎ ‎（1）证明：点M在一条定直线上；‎ ‎（2）记点M所在定直线为l，与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设,求导可得切线斜率,即可求出切线方程,得出点坐标,求出的中点为,由又为的中点可得,即证得结论;‎ ‎(2) 由(1)可求得直线MF的方程: ,及与抛物线方程联立,借助韦达定理,弦长公式及点到直线的距离公式即可求得面积.‎ - 22 -‎ ‎【详解】(1)证明:设,则在处的切线斜率为.‎ 所以切线方程为:,令得即.‎ 记的中点为,则.又,因为四边形为平行四边形,即又为的中点,所以,即点在定值线 ‎(2) 由（1）可知直线的方程: ,设联立,化简得,‎ ‎,则,点到直线的距离为,所以面积为,即面积取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查动点在定直线的证明,考查直线和抛物线关系中的面积取值范围问题,难度一般.‎ ‎20.某银行推销甲、乙两种理财产品（每种产品限购30万）.每一件产品根据订单金额不同划分为：订单金额不低于20万为大额订单，低于20万为普通订单.银监部门随机调取购买这两种产品的客户各100户，对他们的订单进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：‎ - 22 -‎ 将此样本的频率估计视为总体的概率.购买一件甲产品，若是大额订单可盈利2万元，若是普通订单则亏损1万元，购买一件乙产品，若是大额订单可盈利1.5万元，若是普通订单则亏损0.5万元.‎ ‎（1）记X为购买1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的数学期望；‎ ‎（2）假设购买4件甲产品和4件乙产品所获得的利润相等.‎ ‎（i）这4件甲产品和4件乙产品中各有大额订单多少件?‎ ‎（ⅱ）这4件甲产品和4件乙产品中大额订单的概率哪个大?‎ ‎【答案】(1)0.8万元;(2)(i) 甲产品中大额订单有2件,乙产品中大额订单有2件;(ii) 甲产品中大额订单的概率大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率分布直方图可知甲产品为大额订单概率为0.5,乙产品的大额定单的概率为0.4.列出X的取值,根据概率公式求得分布列,即可求得期望;‎ ‎(2)(i)设4件甲产品中大额订单有m件,4件乙产品中大额订单有n件.所获得的利润相等可知,因为,即可求得;‎ ‎(ii) 分别计算4件产品中大额订单有2件的概率通过数据分析即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)由频率分布直方图可得:甲产品为大额订单概率为0.5,乙产品的大额定单的概率为0.4. X的取值为:3.5,1.5,0.5,-1.5.‎ ‎,,,,‎ 所以(万元)‎ ‎(2)(i)设4件甲产品中大额订单有m件，4件乙产品中大额订单有n件.‎ 由题意可得,‎ 即,因为,所以,所以甲产品中大额订单有2件,乙产品中大额订单有2件.‎ ‎(ii)4件甲产品中大额订单有2件的概率为,‎ ‎4件乙产品中大额订单有2件的概率为,‎ - 22 -‎ 甲产品中大额订单的概率大.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图求概率,考查离散型随机变量的分布列及期望,考查二项分布中的概率求法,难度一般.‎ ‎21.已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，是否存在实数M，使得对于任意的实数x，都有成立？并说明理由.‎ ‎【答案】(1) 单调减区间为,无单调增区间(2)存在符合题意.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,求得定义域为,求导得,化简即可判断出函数在定义内为减函数,即可求出单调区间;‎ ‎(2) 化简通过放缩法可知,由,即可推理出存在符合条件的实数.‎ ‎【详解】(1)解:当,的定义域为,.‎ ‎,即.‎ - 22 -‎ 所以在上单调递减.无单调增区间.‎ ‎(2)‎ 又（当且仅当时，取等号）‎ ‎,取,恒成立. ‎ 所以,当时,存在实数M,使得对于任意的实数x,都有恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查借助导数求单调区间,考查函数不等式恒成立问题,考查放缩法在证明不等式问题中的应用,难度较难.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系xOy中直线的参数方程为（u为参数）；以平面直角坐标系的原点О为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.设圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆C直角坐标方程；‎ ‎（2）过直线上一点M作一条倾斜角为的直线与圆C交于A.B两点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式.直接得到结果.‎ ‎(2) 设,根据已知写出直线的参数方程与圆C联立,借助参数的的几何意义可知 - 22 -‎ 化简后借助二次函数的图象即可求出最小值.‎ ‎【详解】(1) 设圆C上的点的坐标为,则其直角坐标方程为：.‎ ‎(2) 设,则直线的参数方程可设为代入方程得: .‎ ‎.‎ 当时, 取得最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的转化,考查直线参数方程中参数的几何意义,难度一般.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集；‎ ‎（2）画出时函数的图象，结合图象求出时不等式恒成立的、满足条件，从而求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）函数，‎ 当时，不等式可化为，解得，此时；‎ 当时，不等式可化为，解得，此时；‎ - 22 -‎ 当时，不等式可化为，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎②当时，画出函数的图象如图所示，‎ 则的图象与轴的交点纵坐标为，各部分所在直线的斜率的最大值为，‎ 所以当且仅当且时，满足，不等式恒成立，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎