湖南省株洲市七校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题

湖南省株洲市七校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题

株洲市 7 校 2019-2020 学年第一学期期末高一联考 数学试题 班级： 姓名： 准考证号： ‎ ‎（总分：150 分 时量：120 分钟；考试时间：2020 年 1 月 6 日）‎ 由市一中·市四中·市八中·市十三中·市九方中学·渌口五中·渌口一中 联合命题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N＝{﹣2，2}，则下列结论成立的是（　　）[‎ A．M⊆N B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}‎ ‎2．函数的定义域为（　　）‎ A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．（﹣1，2）∪（2，+∞） ‎ C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞）‎ ‎3．倾斜角为45°的直线l经过两点（m，2）和（‎2m+2，‎3m），则m的值是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎4．已知函数y＝f（x）的对应关系如表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，0），则f[g（1）]的值为（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．1 D．3‎ ‎5．圆C1：x2+y2＝4和C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝49的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎6．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．logx3＜logxy ‎7．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）‎ A．y＝1﹣x2 B．y＝x‎3 ‎C．y＝|x|+1 D．y＝lnx ‎8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）‎ A．AB∥CD B．AB与CD相交 ‎ C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°‎ ‎9．函数的零点所在区间为（　　）‎ A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）‎ ‎10．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo），周四丈八尺，高一丈﹣尺，文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是（　　）立方尺．（取π＝3，1丈＝10尺）‎ A．2112 B．‎2111 ‎C．4224 D．4222‎ ‎11．在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，已知AB⊥AC，AA1＝BC＝5．M是BC中点，则直线A‎1M与平面ABC所成角的正切值为（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．3‎ ‎12．已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）‎ A．（5，10） B．（5，8） C．（6，8） D．（8，10）‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．计算log23+log26﹣log29＝　 　．‎ ‎14．若直线x+2y+1＝0与直线ax+y﹣1＝0互相平行，则实数a的值为　 　．‎ ‎15．已知f（x）＝2x+2﹣x，若f（a）＝3，则f（‎2a）＝　 　．‎ ‎16．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为　 　．‎ 三、解答题（共6个小题，第17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．已知两条直线l1：x+2y﹣6＝0和l2：x﹣2y+2＝0的交点为P．求：‎ ‎（1）过点P与Q（1，4）的直线方程；‎ ‎（2）过点P且与直线x﹣3y﹣1＝0垂直的直线方程．‎ ‎18．已知函数（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性．‎ ‎19．已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎20．在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）求证：平面EAC⊥平面PAB．‎ ‎21．中美贸易争端一直不断，2003年至2005年末，由美国单方面挑起的一系列贸易摩擦给中美贸易关系蒙上了浓重的阴影，贸易大战似乎一触即发，中美两国进入了前所未有的贸易摩擦期．2018年，特朗普政府不顾中方劝阻，执意发动贸易战，掀起了又一轮的中美贸易争端．我国某种出口商品定价为每件60美元，美国不加收关税时每年大约出口80万件，中美经贸摩擦后，美国政府执意要加收进口关税，每进口100美元商品要征税P美元，因此每年出口量将减少万件．‎ ‎（1）如果美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于128万美元，那么税率应怎样确定？‎ ‎（2）在美国政府计划每年对该商品加征关税金额不少于128万美元的前提下，如何确定税率，才会使得我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额．‎ ‎22．定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数，．‎ ‎（1）求函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合；‎ ‎（2）若函数g（x）在 [0，+∞）上是以7为上界的有界函数，求实数a的取值范围．‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．D ‎2．B ‎3．C ‎4．A ‎5．C ‎6．D ‎7．C ‎8．D ‎9．B ‎10．A ‎11．B ‎12．D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．1．‎ ‎14． ．‎ ‎15． 7．‎ ‎16．由题意得正方体上底面到水面的高为4﹣3＝1，设球体的半径为R，‎ 由题意如图所示：三角形OAA'为Rt△，A为球与正方体的交点，‎ 则OA'＝R﹣1，AA'2，OA＝R，‎ 所以：R2＝（R﹣1）2+22，解得R，‎ 所以球的表面积S＝4πR2＝25π，‎ 三、解答题（共6个小题，第17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．设过直线l1：x+2y﹣6＝0和l2： x﹣2y+2＝0交点的直线方程为 x+2y﹣6+m（x﹣2y+2）＝0，‎ 即（m+1）x+（2﹣‎2m）y+（‎2m﹣6）＝0（*）；‎ ‎（1）把点Q（1，4）代入方程（*），化简得3﹣‎5m＝0，解得m；‎ 所以过两直线交点P与Q的直线方程为xy0，‎ 即2x+y+6＝0；‎ ‎（2）由直线（*）与直线x﹣3y﹣1＝0垂直，则 ‎（m+1）﹣3（2﹣‎2m）＝0，解得m，‎ 所以所求直线的方程为xy0，‎ 即3x+y﹣8＝0．‎ ‎18．（1）由奇函数的性质f（x）+f（﹣x）＝0，得，解得a＝1‎ ‎（2）函数y＝2x单调递增，易判断f（x）在定义域R上单调递增，证明如下：‎ 任取x1＜x2∈R，，∵x1＜x2∈R ‎∴‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0‎ ‎∴f（x）在定义域R上单调递增 ‎19．（1）圆心C（1，1）到直线x+y﹣4＝0的距离d．‎ ‎∵直线x+y﹣4＝0与圆C相切，∴r＝d．‎ ‎∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．‎ ‎（3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y﹣3＝k（x﹣2），‎ 即：kx﹣y+3﹣2k＝0，d，又d2+1＝2，∴d＝1．‎ 解得：k．‎ ‎∴直线l的方程为：3x﹣4y+6＝0．‎ ‎②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：（y﹣1）2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．‎ 故l的方程为：3x﹣4y+6＝0或x＝2．‎ ‎20．证明：（1）如图所示，‎ 连接BD交AC于F，连接EF，‎ 在△DPB中，EF为中位线，‎ ‎∴EF∥PB；‎ 又PB⊄平面EAC，EF⊂平面EAC，‎ ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（2）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AC；‎ 又AB⊥AC，PA∩AB＝A，‎ ‎∴AC⊥平面PAB；‎ 又AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PAB．‎ ‎21．（1）总出口量为（80）件，商品总价格为：单价×总出口量＝60×（80），‎ 加征关税为：总价格×关税率＝60×（80）•128，化简得P2﹣12P+32≤0，解之得4≤P≤8，‎ 故美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于128万美元，税率为4≤P≤8．‎ ‎（2）商品总价格为：单价×总出口量＝60×（80），‎ 每进口100美元商品美国要征税P美元，即每进口100美元商品中国浇水后剩余100﹣P美元，税后出口额为60×（80）（1）＝P2﹣448P+4800 万美元，‎ 因为4≤P≤8，‎ 所以当P＝4时，我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额．‎ ‎22．（1），‎ 由复合函数的单调性法则易知，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴函数在区间上单调递增，‎ ‎∴函数f（x）在区间上的值域为[﹣3，﹣1]，‎ ‎∴|f（x）|≤3，‎ ‎∴函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合为[3，+∞）；‎ ‎（2）由题意知，|g（x）|≤7在[0，+∞）上恒成立，即﹣7≤g（x）≤7，则，‎ ‎∴在[0，+∞）上恒成立，‎ 设2x＝t（t≥1），，‎ 易知，q（t）在[1，+∞）上为增函数，故q（t）min＝q（1）＝5；‎ 由知，当t∈[1，+∞）时，p′（t）＜0，p（t）为减函数，故p（t）max＝p（1）＝﹣9，‎ 综上，实数a的取值范围为[﹣9，5]．‎