2006年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2006年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2006年江苏省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|‎,x∈R为奇函数,则a=(‎ ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎-1‎ D.‎‎±1‎ ‎2. 圆‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎1‎的切线方程中有一个是( )‎ A.x-y=‎0‎ B.x+y=‎0‎ C.x=‎0‎ D.y=‎‎0‎ ‎3. 某人‎5‎次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,‎10‎,‎11‎,‎9‎.已知这组数据的平均数为‎10‎,方差为‎2‎,则‎|x-y|‎的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎4. 为了得到函数y=2sin(‎1‎‎3‎x+π‎6‎)‎,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(        )‎ A.向左平移π‎6‎个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎3‎倍(纵坐标不变)‎ B.向右平移π‎6‎个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎3‎倍(纵坐标不变)‎ C.向左平移π‎6‎个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的‎3‎倍(纵坐标不变)‎ D.向右平移π‎6‎个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的‎3‎倍(纵坐标不变)‎ ‎5. ‎(x-‎‎1‎‎3x‎)‎‎10‎的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )‎ A.‎0‎ B.‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎6‎ ‎6. 已知两点M(-2, 0)‎,N(2, 0)‎,点P为坐标平面内的动点,满足‎|MN‎→‎|⋅|MP‎→‎|+MN‎→‎⋅NP‎→‎=0‎,则动点P(x, y)‎的轨迹方程为(        )‎ A.y‎2‎‎=8x B.y‎2‎‎=-8x C.y‎2‎‎=4x D.‎y‎2‎‎=-4x ‎7. 若A,B,C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有‎(‎         ‎‎)‎ A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.‎A=⌀‎ ‎8. 设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( )‎ A.‎|a-b|≤|a-c|+|b-c|‎ B.‎a‎2‎‎+‎1‎a‎2‎≥a+‎‎1‎a C.‎|a-b|+‎1‎a-b≥2‎ D.‎a+3‎‎-a+1‎≤a+2‎-‎a ‎9. 两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体,可放棱长为‎1‎的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.无穷多个 ‎10. 图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )‎ A.‎4‎‎45‎ B.‎1‎‎36‎ C.‎4‎‎15‎ D.‎‎8‎‎15‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎11. 在‎△ABC中,已知BC=12‎,A=‎‎60‎‎∘‎,B=‎‎45‎‎∘‎,则AC=‎________.‎ ‎12. 设变量x、y满足约束条件‎2x-y≤2‎x-y≥-1‎x+y≥1‎‎ ‎,则z=‎2x+3y的最大值为________.‎ ‎13. 今有‎2‎个红球、‎3‎个黄球、‎4‎个白球,同色球不加以区分,将这‎9‎个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答).‎ ‎14. cot‎20‎‎∘‎cos‎10‎‎∘‎+‎3‎sin‎10‎‎∘‎tan‎70‎‎∘‎-2cos‎40‎‎∘‎=‎________.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎15. 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)‎在x=2‎处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列‎{ann+1‎}‎的前n项和的公式是________.‎ ‎16. 不等式log‎2‎‎(x+‎1‎x+6)≤3‎的解集为________.‎ 三、解答题(共5小题,满分70)‎ ‎17. 已知三点P(5, 2)‎、F‎1‎‎(-6, 0)‎、F‎2‎‎(6, 0)‎.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求以F‎1‎、F‎2‎为焦点且过点P的椭圆标准方程;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设点P、F‎1‎、F‎2‎关于直线y=x的对称点分别为P'‎、F‎1‎‎'‎、F‎2‎‎'‎,求以F‎1‎‎'‎、F‎2‎‎'‎为焦点且过点P'‎的双曲线的标准方程.‎ ‎18. 请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为‎1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为‎3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O‎1‎的距离为多少时,帐篷的体积最大?‎ ‎19. 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2‎(如图‎1‎).将‎△AEF沿EF折起到‎△A‎1‎EF的位置,使二面角A‎1‎‎-EF-B成直二面角,连接A‎1‎B、A‎1‎P(如图‎2‎)‎ ‎(I)‎求证:A‎1‎E⊥‎平面BEP;‎ ‎(II)‎求直线A‎1‎E与平面A‎1‎BP所成角的大小;‎ ‎(III)‎求二面角B-A‎1‎P-F的大小(用反三角函数表示).‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 设a为实数,设函数f(x)=a‎1-‎x‎2‎+‎1+x+‎‎1-x的最大值为g(a)‎.‎ ‎(I)设t=‎1+x+‎‎1-x,求t的取值范围,并把f(x)‎表示为t的函数m(t)‎;‎ ‎(II)求g(a)‎;‎ ‎(III)试求满足g(a)=g(‎1‎a)‎的所有实数a.‎ ‎21. 设数列‎{an}‎、‎{bn}‎、‎{cn}‎满足:bn‎=an-‎an+2‎,cn‎=an+2an+1‎+3an+2‎(n=1, 2, 3‎,…‎)‎,‎ 证明:‎{an}‎为等差数列的充分必要条件是‎{cn}‎为等差数列且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,…‎‎)‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年江苏省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.D ‎4.C ‎5.B ‎6.B ‎7.A ‎8.C ‎9.D ‎10.D 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎11.‎‎4‎‎6‎ ‎12.‎‎18‎ ‎13.‎‎1260‎ ‎14.‎‎2‎ ‎15.‎‎2‎n+1‎‎-2‎ ‎16.‎‎{x|-3-2‎2‎b>0)‎‎,‎ 其半焦距c=‎‎6‎ ‎2a=|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=‎11‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=6‎‎5‎ ‎∴ a=3‎‎5‎,b‎2‎=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎9‎.‎ 所以所求椭圆的标准方程为x‎2‎‎45‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎ ‎(2)点P(5, 2)‎、F‎1‎‎(-6, 0)‎、‎F‎2‎‎(6, 0)‎ 关于直线y=x的对称点分别为点P'(2, 5)‎、F‎1‎‎'(0, -6)‎、F‎2‎‎'(0, 6)‎.‎ 设所求双曲线的标准方程为y‎2‎a‎1‎‎2‎‎-x‎2‎b‎1‎‎2‎=1(a‎1‎>0,b‎1‎>0)‎ 由题意知,半焦距 c‎1‎‎=‎6‎,‎‎2a‎1‎=||P‎'‎F‎1‎‎​‎‎'‎|-|P‎'‎F‎2‎‎​‎‎'‎||=|‎11‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎|=4‎‎5‎ a‎1‎‎=2‎‎5‎‎,‎ b‎1‎‎2‎‎=c‎1‎‎2‎‎-‎a‎1‎‎2‎=‎36-20‎=‎16‎.‎ 所以所求双曲线的标准方程为y‎2‎‎20‎‎-x‎2‎‎16‎=1‎.‎ ‎18.解:设OO‎1‎为xm,‎(10‎,V(x)‎为增函数;‎ 当‎20‎时,函数y=m(t)‎,t∈[‎2‎,2]‎的图象是开口向上的抛物线的一段,‎ 由t=-‎1‎a<0‎知m(t)‎在‎[‎2‎,2]‎.上单调递增,‎ ‎∴ ‎g(a)=m(2)=a+2‎ ‎(2)当a=0‎时,m(t)=t,t∈[‎2‎,2]‎,‎ ‎∴ g(a)=2‎.‎ ‎(3)当a<0‎时,函数y=m(t)‎,t∈[‎2‎,2]‎的图象是开口向下的抛物线的一段,‎ 若t=-‎1‎a∈[0,‎2‎]‎,即a≤-‎‎2‎‎2‎则g(a)=m(‎2‎)=‎‎2‎ 若t=-‎1‎a∈(‎2‎,2]‎,即‎-‎2‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎‎-a-‎1‎‎2a-‎2‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 此时g(a)=‎‎2‎,‎g(‎1‎a)=‎1‎a+2‎ 由‎2+‎1‎a=‎2‎解得a=-1-‎‎2‎‎2‎,与a<-2‎矛盾.‎ 情形‎2‎:当‎-2≤a<-‎‎2‎,‎-‎2‎‎2‎<‎1‎a≤-‎‎1‎‎2‎时,‎ 此时g(a)=‎‎2‎,‎g(‎1‎a)=-‎1‎a-a‎2‎‎2‎=-‎1‎a-‎a‎2‎ 解得,a=-‎‎2‎与a<-‎‎2‎矛盾.‎ 情形‎3‎:当‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎,‎-‎2‎≤‎1‎a≤-‎‎2‎‎2‎时,‎ 此时g(a)=‎2‎=g(‎1‎a)‎ 所以‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎,‎ 情形‎4‎:当‎-‎2‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎矛盾.‎ 情形‎5‎:当‎-‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎矛盾.‎ 情形‎6‎:当a>0‎时,‎1‎a‎>0‎,‎ 此时g(a)=a+2‎,‎g(‎1‎a)=‎1‎a+2‎ 由a+2=‎1‎a+2解得a=±1‎,由a>0‎得a=1‎.‎ ‎ 7 / 7‎ 综上知,满足g(a)=g(‎1‎a)‎的所有实数a为:‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎,或a=1‎ ‎21.证明:(必要性)‎ 设是‎{an}‎公差为d‎1‎的等差数列,则 bn+1‎‎-bn=(an+1‎-an+3‎)-(an-an+2‎)=(an+1‎-an)-(an+3‎-an+2‎)=d‎1‎-d‎1‎=0‎ 所以bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,‎)‎成立.‎ 又cn+1‎‎-cn=(an+1‎-an)+2(an+2‎-an+1‎)+3(an+3‎-an+2‎)=d‎1‎+2d‎1‎+3d‎1‎=6‎d‎1‎(常数)‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 所以数列‎{cn}‎为等差数列.‎ ‎(充分性)‎ 设数列‎{cn}‎是公差为d‎2‎的等差数列,且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ ‎∵ cn‎=an+2an+1‎+3‎an+2‎①‎ ‎∴ cn+2‎‎=an+2‎+2an+3‎+3‎an+4‎②‎ ‎①-②得cn‎-cn+2‎=(an-an+2‎)+2(an+1‎-an+3‎)+3(an+2‎-an+4‎)=bn+2bn+1‎+3‎bn+2‎ ‎∵ ‎cn‎-cn+2=(‎cn-cn+1‎)+(cn+1‎-cn+2‎)=-2‎d‎2‎ ‎∴ bn‎+2bn+1‎+3bn+2‎=-2‎d‎2‎③‎ 从而有bn+1‎‎+2bn+2‎+3bn+3‎=-2‎d‎2‎④‎ ‎④-③得‎(bn+1‎-bn)+2(bn+2‎-bn+1‎)+3(bn+3‎-bn+2‎)=0‎⑤‎ ‎∵ bn+1‎‎-bn≥0‎,bn+2‎‎-bn+1‎≥0‎,bn+3‎‎-bn+2‎≥0‎,‎ ‎∴ 由⑤得bn+1‎‎-bn=0(n=1, 2, 3‎,‎)‎,‎ 由此不妨设bn‎=d‎3‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 则an‎-an+2‎=‎d‎3‎(常数).‎ 由此cn‎=an+2an+1‎+3an+2=‎cn=4an+2an+1‎-3‎d‎3‎ 从而cn+1‎‎=4an+1‎+2an+2‎-5‎d‎3‎,‎ 两式相减得cn+1‎‎-cn=‎‎2‎‎(‎an+1‎-an)-2‎d‎3‎ 因此an+1‎‎-an=‎1‎‎2‎(cc+1‎-cc)+d‎3‎=‎1‎‎2‎d‎2‎+‎d‎3‎(常数)‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 所以数列‎{an}‎公差等差数列.‎ 综上所述::‎{an}‎为等差数列的充分必要条件是‎{cn}‎为等差数列且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,…‎‎)‎ ‎ 7 / 7‎
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