2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题2　三角函数与解三角形

2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题2　三角函数与解三角形

专题 透 析 2019 专题 2 三角函数与解三角形 02 05 06 目录 微专题 05 三角函数的图象与性质 微专题 06 三角恒等变换与解三角形 W 网络构建 WANGLUO GOUJIAN 点击 ▼ 出答案 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 　 　 1 . 正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么 ? 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 递增 区间 ,k∈Z [2kπ-π,2kπ], k∈Z ,k∈Z 递减 区间 ,k∈Z [2kπ,2kπ+π], k∈Z 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ,0),k∈Z , k∈Z ,k∈Z 对称轴 x=kπ+ , k∈Z x=kπ,k∈Z 无 周期性 2π 2π π 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 2 . 求函数 y=A sin( ωx+φ ) 的单调区间时应注意什么 ? (1) 注意 ω 的符号 , 不要把单调性或区间左右的值弄反 ; (2) 不要忘记写 “ + 2 k π” 或 “ +k π” 等 , 特别注意不要忘掉写 “ k ∈Z”; (3) 书写单调区间时 , 不要把弧度和角度混在一起 . 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 3 . 三角函数的常用结论有哪些 ? (1) 对于 y=A sin( ωx+φ ), 当 φ=k π( k ∈Z) 时 , 其为奇函数 ; 当 φ=k π + ( k ∈Z) 时 , 其为偶函数 ; 对称轴方程可由 ωx+φ=k π + ( k ∈Z) 求得 . (2) 对于 y=A cos( ωx+φ ), 当 φ=k π + ( k ∈Z) 时 , 其为奇函数 ; 当 φ=k π( k ∈Z) 时 , 其为偶函数 ; 对称轴方程可由 ωx+φ=k π( k ∈Z) 求得 . (3) 对于 y=A tan( ωx+φ ), 当 φ=k π( k ∈Z) 时 , 其为奇函数 . 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 4 . 三角函数图象的两种常见变换是什么 ? 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 1 . 同角关系公式有哪些 ? 如何记忆诱导公式 ? (1) 同角关系 :sin 2 α+ cos 2 α= 1, = tan α. (2) 诱导公式 , 对于 “ ±α , k ∈Z 的三角函数值 ” 与 “ 角 α 的三角函数值 ” 的关系可按下面口诀记忆 : 奇变偶不变 , 符号看象限 . 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 2 . 你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗 ? (1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 : sin( α±β ) = sin α cos β± cos α sin β ; cos( α±β ) = cos α cos β ∓sin α sin β ; tan( α±β ) = . (2) 二倍角公式 :sin 2 α= 2sin α cos α , cos 2 α= cos 2 α- sin 2 α= 2cos 2 α- 1 = 1 - 2sin 2 α. (3) 辅助角公式 : a sin x+b cos x= sin( x+φ ), 其中 tan φ= . 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 3 . 在三角恒等变换中 , 常见的拆角、拼角技巧有哪些 ? α= ( α+β ) -β , 2 α= ( α+β ) + ( α-β ), α= [( α+β ) + ( α-β )], α+ = ( α+β ) - , α= - . 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 4 . 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么 ? 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. (1) 正弦定理 : 在 △ ABC 中 , = = = 2 R ( R 为 △ ABC 的外接圆半径 ) . 变形 : a= 2 R sin A ,sin A= , a ∶ b ∶ c= sin A ∶sin B ∶sin C. (2) 余弦定理 : 在 △ ABC 中 , a 2 =b 2 +c 2 - 2 bc cos A. 变形 : b 2 +c 2 -a 2 = 2 bc cos A ,cos A= . (3) 三角形面积公式 : S △ ABC = ab sin C= bc sin A= ac sin B. 返 Z 知识整合 ZHISHI ZHENGHE 5 . 已知三角形两边及其一边的对角 , 用正弦定理解三角形时要注意什么 ? 若运用正弦定理 , 则务必注意可能有两解 , 要结合具体情况进行取舍 . 在 △ ABC 中 , A>B ⇔sin A> sin B. 返 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点 . 三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查 . 其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具 ,“ 角 ” 的变换是三角恒等变换的核心 . 解三角形多以解答题的形式考查 , 常与三角恒等变换结合 , 主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 一、选择题和填空题的命题特点 ( 一 ) 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点 , 考查主要从以下两个方面进行 : (1) 三角函数的图象 , 主要涉及图象变换以及由图象确定解析式 ;(2) 利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参数、最值、值域、单调区间等问题 . 命题特点 1 . (2018· 全国 Ⅰ 卷 · 文 T8 改编 ) 已知函数 f ( x ) = 2cos 2 2 x+ 5, 则 ( 　　 ) . A .f ( x ) 的最小正周期为 π, 最大值为 7 B .f ( x ) 的最小正周期为 2π, 最小值为 5 C .f ( x ) 的最小正周期为 2π, 最大值为 7 D .f ( x ) 的最小正周期为 , 最小值为 5 D 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 f ( x ) = cos2 2 2 x+ 5 = cos 4 x+ 6, 故 f ( x ) 的最小正周期为 , 最大值为 7, 最小值为 5 . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 2 . (2016· 全国 Ⅱ 卷 · 理 T7 改编 ) 若将函数 f ( x ) = sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度 , 得到函数 y=g ( x ) 的图象 , 则 y=g ( x ) 图象的一个对称中心是 ( 　　 ) . A . B . C . D . D 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 由题意可知函数 f ( x ) = sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度 , 得到函数 g ( x ) = sin = sin 的图象 . 令 2 x- =k π( k ∈Z), 得 x= + ( k ∈Z), 由此可得 y=g ( x ) 图象的一个对称中心是 , 故选 D . K 考向分析 KAOXIANG FENXI ( 二 ) 三角函数的化简与求值是高考的命题热点 , 其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具 , 三角恒等变换是利用三角恒等式 ( 两角和与差公式 , 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ) 进行变换 . “ 角 ” 的变换是三角恒等变换的核心 . 3 . (2018· 全国 Ⅱ 卷 · 理 T15 改编 ) 已知 sin α+ cos β= ,sin β- cos α= 1, 则 sin( α-β ) = ( 　　 ) . A .- B .- C . D . B 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 将 sin α+ cos β= 的等式两边平方得 sin 2 α cos+ 2 β+ 2sin α cos β= , 　 ① 将 sin β- cos α= 1 的等式两边平方得 sin 2 β+ cos 2 α- 2sin β cos α= 1 . 　 ② ①+② 得 sin( α-β ) =- , 故选 B . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 4 . (2018· 全国 Ⅲ 卷 · 文 T4 改编 ) 已知 tan θ= , 则 sin 2 θ- 2cos 2 θ= ( 　　 ) . A .- 1 B .- C . D .- B 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 sin 2 θ- cos2 2 θ= = = =- , 故选 B . K 考向分析 KAOXIANG FENXI ( 三 ) 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容 , 主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 5 . (2018· 全国 Ⅰ 卷 · 文 T16 改编 ) 在锐角 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 若 b sin C+ c sin B= 4 a sin B sin C , 且 2 b sin B+ 2 c sin C=bc+ a , 则 △ ABC 面积的最大值为 ( 　　 ) . A . B . C . D . C 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 根据题意 , 结合正弦定理可得 sin B sin C+ sin C sin B= 4sin A sin B sin C , 即 sin A= . ∵ 2 b sin B+ 2 c sin C=bc+ a , ∴b sin B+c sin C= bc+ a , ∴b sin B+c sin C= bc sin A+a sin A , 则 b 2 +c 2 = abc+a 2 . 由余弦定理可得 2 bc cos A= abc , 解得 a= 2 cos A= . 由 b 2 +c 2 =bc+ 3≥2 bc , 得 bc ≤3, 从而 S △ ABC = bc sin A ≤ , 故选 C . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 6 . (2018· 全国 Ⅲ 卷 · 文 T11 改编 ) 在 △ ABC 中 , 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 若 △ ABC 的面积为 S , 且 2 S= ( a+b ) 2 -c 2 , 则 tan C= ( 　　 ) . A .- B .- C . D . B 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 ∵ 2 S= ( a+b ) 2 -c 2 , ∴ab sin C= ( a+b ) 2 -c 2 =a 2 +b 2 -c 2 + 2 ab= 2 ab cos C+ 2 ab , ∴ sin C= 2cos C+ 2, ∴ sin 2 C= (2cos C+ 2) 2 = 1 - cos 2 C , 即 5cos 2 C+ 8cos C+ 3 = 0, ∴ cos C=- (cos C=- 1 舍去 ), ∴ sin C= ,tan C= =- , 故选 B . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 二、解答题的命题特点 高考全国卷中有关解三角形的解答题 , 主要涉及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算 , 两个定理与三角恒等变换的结合 . 这类试题一般要用到三角形的内角和定理 , 正、余弦定理及有关三角形的性质 . (2018· 全国 Ⅰ 卷 · 理 T17 改编 ) 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,cos∠ DAB=- , = , BD= 4, AB ⊥ BC. (1) 求 sin∠ ABD 的值 ; (2) 若 ∠ BCD= , 求 CD 的长 . 答案 解析 K 考向分析 KAOXIANG FENXI 解析 ▶ 　 (1) 因为 = , 所以设 AD= 2 k , AB= 3 k , 其中 k> 0 . 在 △ ABD 中 , 由余弦定理得 BD 2 =AB 2 +AD 2 - 2 AB · AD ·cos∠ DAB , 所以 16 = 9 k 2 + 4 k 2 - 2 × 3 k× 2 k× , 解得 k= 1, 则 AD= 2, 而 sin∠ DAB= = . 在 △ ABD 中 , 由正弦定理得 sin∠ ABD= sin∠ DAB= × = . (2) 由 (1) 可知 ,sin∠ ABD= , 而 AB ⊥ BC , 则 sin∠ CBD= sin = cos∠ ABD= = . 在 △ BCD 中 ,∠ BCD= , 由正弦定理得 CD= · BD= × 4 = . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 关于解三角形问题 , 一般要用到三角形的内角和定理 , 正、余弦定理及有关三角形的性质 , 常见的三角恒等变换方法和原则都适用 , 同时要注意 “ 三统一 ”, 即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” . K 考向分析 KAOXIANG FENXI 规律方法 1 . 已知角 α 的终边经过点 P ( - 5, - 12), 则 sin 的值等于 ( 　　 ) . A .- 　　　 B .- 　　　 C . 　　　 D . C 答案 解析 微专题 05 三角函数的图象与性质 数 返 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 　 因为角 α 的终边经过点 P ( - 5, - 12), 由三角函数的定义可知 cos α= = =- , 所以 sin =- cos α= . J 基础检测 JICHU JIANCE 2 . 已知函数 f ( x ) = sin( ωx+φ )( ω> 0), 满足 f ( x 1 ) =- 1, f ( x 2 ) = 0, 且 |x 1 -x 2 | 的最小值为 , 则 ω= ( 　　 ) . A . 2 B . 1 C . D . 4 A 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 　 由题意可知 |x 1 -x 2 | 的最小值为 , 所以 T= × 4 = π, 所以 ω= = 2, 故选 A . J 基础检测 JICHU JIANCE 3 . 将函数 y= cos 3 x 的图象向左平移 个单位长度 , 所得图象对应的函数解析式是 ( 　　 ) . A .y= cos B .y= cos C .y= cos D .y= cos D 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 由函数图象的平移规则可知 y= cos 3 x 的图象向左平移 个单位长度得到 y= cos 3 的图象 , 即所求函数解析式是 y= cos , 故选 D . J 基础检测 JICHU JIANCE 4 . 给出下列结论 : ① 函数 y= sin( k π -x )( k ∈Z) 为奇函数 ; ② 函数 y= tan 的图象关于点 对称 ; ③ 函数 y= cos 的图象的一条对称轴为直线 x=- ; ④ 若 tan(π -x ) = 2, 则 sin 2 x= . 其中正确结论的序号为 　　　　　 .  ①③ 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 y= sin( k π -x ) = ( - 1) k- 1 sin x 是奇函数 , 故 ① 正确 ; tan = , 故 ② 不正确 ; cos =- 1, 故 ③ 正确 ; tan(π -x ) =- tan x= 2,tan x=- 2,sin 2 x= = = , 故 ④ 不正确 . 综上 , 正确结论的序号为 ①③. J 基础检测 JICHU JIANCE 【例 1 】 　 已知函数 f ( x ) = 2 sin x cos x+ 2cos 2 x+m- 1 在 上的最小值为 - 2 . (1) 求 m 的值及 f ( x ) 图象的对称轴 ; (2) 求 f ( x ) 的单调递增区间 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 能力 1   ▶ 　 能运用三角函数的图象和性质解决问题 典型例题 解析 ▶ 　 (1) 由已知得 f ( x ) = sin 2 x+ cos 2 x+m= 2sin +m. ∵ 0≤ x ≤ , ∴ ≤2 x+ ≤ , ∴ 当 2 x+ = , 即 x= 时 , f ( x ) min = 2 × +m=- 2, ∴m=- 1, 此时 f ( x ) = 2sin - 1 . 由 2 x+ =k π + ( k ∈Z), 解得 x= + ( k ∈Z), ∴f ( x ) 图象的对称轴为直线 x= + ( k ∈Z) . (2) 由 - + 2 k π≤2 x+ ≤ + 2 k π( k ∈Z), 可得 - +k π≤ x ≤ +k π( k ∈Z), ∴f ( x ) 的单调递增区间为 ( k ∈Z) . K 考能探究 K AONENG TANJIU 　 有关函数 y=A sin( ωx+φ ) +B 的性质及应用问题的求解思路 : 第一步 , 先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=A sin( ωx+φ ) +B 的形式 ; 第二步 , 把 “ ωx+φ ” 视为一个整体 , 借助复合函数性质求解 y=A sin( ωx+φ ) +B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题 . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 已知函数 f ( x ) = sin , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) . A .f ( x ) 的图象关于直线 x= 对称 B .f ( x ) 的图象关于点 对称 C . 把 f ( x ) 的图象向左平移 个单位长度 , 得到一个偶函数的图象 D .f ( x ) 的最小正周期为 π, 且在 上为增函数 C 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　 把 x= 代入函数 f ( x ) 的解析式得 f = sin π = 0, 故 A 不正确 ; 把 x= 代入函数 f ( x ) 的解析式得 f = sin = cos = ≠0, 故 B 不正确 ; 函数 f ( x ) = sin 的图象向左平移 个单位长度 , 得到 g ( x ) = sin = sin = cos 2 x 的图象 , g ( x ) 是偶函数 , 故 C 正确 ; 由题意知函数 f ( x ) 的最小正周期为 π, 令 2 k π - ≤2 x+ ≤2 k π + ( k ∈Z), 解得 k π - ≤ x ≤ k π + ( k ∈Z), 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( k ∈Z) . 令 k= 0, 得 - ≤ x ≤ , 令 k= 1, 得 ≤ x ≤ , 所以函数 f ( x ) 在 上为增函数是错误的 , 故 D 不正确 . 故选 C . K 考能探究 K AONENG TANJIU 【例 2 】 　 已知函数 y=A sin( ωx+φ )( A> 0, ω> 0) 的部分图象如图所示 , 则该函数的解析式为 ( 　　 ) . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 能力 2   ▶ 　 会根据三角函数的图象求其解析式 典型例题 A .y= 2sin B .y= 2sin 　 C .y= 2sin D .y= 2sin 解析 ▶ 　 ( 法一 ) 由图象知 = - = , 故 T= π, 因此 ω= = 2 . 又图象的一个最高点的坐标为 , 所以 A= 2, 且 2 × +φ= 2 k π + ( k ∈Z), 故 φ= 2 k π - ( k ∈Z), 结合选项可 知 y= 2sin . ( 法二 ) 当 x= , y= 2 时 , 排除 B,C,D. 故选 A . K 考能探究 K AONENG TANJIU 　 已知图象求解析式 y=A sin( ωx+φ ) +B ( A> 0, ω> 0) 的方法 : (1) A= , B= . (2) 已知函数的周期 T , 则 ω= . (3) 求 φ 的常用方法 : ① 代入法 : 把图象上的一个已知点的坐标代入解析式 ( A , ω , B 已知 ) 求解 . ② 五点法 : 确定 φ 值时 , 一般以寻找 “ 五点法 ” 中的第一个零点作为突破口 . 具体如下 :“ 第一点 ” 满足 ωx+φ= 0;“ 第二点 ” 满足 ωx+φ= ;“ 第三点 ” 满足 ωx+φ= π;“ 第四点 ” 满足 ωx+φ= ;“ 第五点 ” 满足 ωx+φ= 2π . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 已知函数 f ( x ) =A sin( ωx+φ )( A> 0, ω> 0, |φ|< π) 的部分图象如图所示 , 则函数 g ( x ) =A cos( ωx+φ ) 图象的一个对称中心为 ( 　　 ) . A . 　　　　　　 B . C . D . B 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　 由函数 f ( x ) =A sin( ωx+φ ) 的部分图象知 , A= 1, T= 4 × = π, ∴ω= 2 . 由五点法画图知 , × 2 +φ= + 2 k π, k ∈Z, 解得 φ= + 2 k π( k ∈Z) . ∵|φ|< π, ∴φ= , ∴f ( x ) = sin , 则 g ( x ) = cos . 由 2 x+ = +k π( k ∈Z), 解得 x= + ( k ∈Z) . 当 k= 0 时 , 对称中心为 , 故选 B . K 考能探究 K AONENG TANJIU 【例 3 】 　 将函数 f ( x ) = sin 2 x cos φ+ cos 2 x sin φ 的图象向左平移 个单位长度后的图象关于原点对称 , 则函数 f ( x ) 在 上的最小值为 ( 　　 ) . A .- B . C .- D . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 能力 3   ▶ 　 能熟练进行三角函数图象的变换 典型例题 解析 ▶ 　 由已知 f ( x ) = sin(2 x+φ ) 的图象向左平移 个单位长度后 , 得到函数 y= sin = sin 的图象 , 再根据所得图象关于原点对称 , 可得 +φ=k π, k ∈Z, ∴φ= +k π( k ∈Z) . 由 |φ|< , 得 φ= , 故 f ( x ) = sin . ∵x ∈ , ∴ 2 x+ ∈ , 故当 2 x+ = 时 , f ( x ) = sin 取得最小值 , 最小值为 - , 故选 A . K 考能探究 K AONENG TANJIU 　 由 y= sin x 的图象变换得到 y= sin( ωx+φ )( ω> 0) 的图象一般有两个途径 : 途径一 , 先平移变换 , 再伸缩变换 . 先将 y= sin x 的图象向左 ( φ> 0) 或向右 ( φ< 0) 平移 |φ| 个单位长度 , 再将图象上各点的横坐标变为原来的 ( ω> 0) 倍 , 得到 y= sin( ωx+φ ) 的图象 . 途径二 , 先伸缩变换 , 再平移变换 . 先将 y= sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 ( ω> 0) 倍 , 再沿 x 轴向左 ( φ> 0) 或向右 ( φ< 0) 平移 个单位长度 , 得到 y= sin( ωx+φ ) 的图象 . 只有区分这两个途径 , 才能灵活进行图象变换 . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 已知函数 f ( x ) = cos(2 x-φ ) - sin(2 x-φ ) 的图象向右平移 个单位长度后关于 y 轴对称 , 则 φ 的值为 ( 　　 ) . A . B . C .- D . B 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　 由题意得函数 f ( x ) = cos(2 x-φ ) - sin(2 x-φ ) = 2cos , 所以函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度后 , 可得 y= 2cos = 2cos 的图象 . 由于所得图象关于 y 轴对称 , 故 -φ+ =k π, k ∈Z, 又因为 |φ|< , 所以 φ= , 故选 B . K 考能探究 K AONENG TANJIU 【例 4 】 　 已知函数 f ( x ) = sin x , 将函数 f ( x ) 图象上所有点的横坐标变为原来的 ( 纵坐标不变 ), 再将所得函数图象向左平移 个单位长度 , 得到函数 g ( x ) 的图象 . (1) 求 g ( x ) 的解析式 ; (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) +g ( x ) =m , x ∈(0,π) 有 4 个不同的根 , 求实数 m 的取值范围 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 能力 4   ▶ 　 会解三角函数的图象与性质的综合问题 典型例题 解析 ▶ 　 (1) g ( x ) = sin 2 = sin = cos 2 x , 即 g ( x ) 的解析式为 g ( x ) = cos 2 x. (2) f ( x ) +g ( x ) = sin x+ cos 2 x= sin x+ 1 - 2sin 2 x=m. 令 sin x=t ( x ∈(0,π)), 则 t ∈(0,1], 当 t= 1 是方程 2 t 2 -t+m- 1 = 0 的根时 , 原方程只有 1 个根 , 不符合题意 . 所以关于 x 的方程 f ( x ) +g ( x ) =m , x ∈(0,π) 有 4 个不同的根 , 等价于关于 t 的方程 2 t 2 -t+m- 1 = 0 在 (0,1) 上有 2 个不同的根 , 令 h ( t ) = 2 t 2 -t+m- 1, 则有 解得 1 a 且 2 a sin( A+B ) = c , 则角 A 等于 ( 　　 ) . A . B . 或 C . D . 或 A 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 由诱导公式可得 sin( A+B ) = sin(π -C ) = sin C , 利用正弦定理可得 2sin A sin C= sin C , 解得 sin A= , 即 A= 或 A= , 又 b>a , 所以 A= , 故选 A . J 基础检测 JICHU JIANCE 3 . 在 △ ABC 中 , a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边 , 若 a , b , c 成等比数列 , 且 a 2 -ab=c 2 -ac , 则 cos C 的值为 ( 　　 ) . A . B .- C . D .- A 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 　 由 a , b , c 成等比数列得 b 2 =ac , 代入 a 2 -ab=c 2 -ac , 得 a 2 +b 2 -c 2 =ab , 则 cos C= = = , 故选 A . J 基础检测 JICHU JIANCE 4 . 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 , 为了测量喷水柱的水柱的高度 , 某人在喷水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿 A 向北偏东 30° 方向前进 100 m 后到达 B 处 , 在 B 处测得水柱顶端的仰角为 30°, 则水柱的高度为 　　　　 .  50 m 答案 解析 J 基础检测 JICHU JIANCE 解析 ▶ 如图所示 , DC ⊥ 平面 ABC , AB= 100 m,∠ DBC= 30°,∠ DAC= 45°,∠ CAB= 60° . 设 CD=h m, 则 AC=h m, 同理可得 BC= h m . 在 △ ABC 中 , BC 2 =AC 2 +AB 2 - 2 AC · AB ·cos 60°, 则 ( h ) 2 =h 2 + 100 2 - 2 ×h× 100 × , 化为 h 2 + 50 h- 5000 = 0, 解得 h= 50, 因此水柱的高度是 50 m . J 基础检测 JICHU JIANCE 【例 1 】 　 (1) 设 α ∈ , β ∈ , 且 tan α= , 则 ( 　　 ) . A . 3 α-β= 　　　　 B . 3 α+β= C . 2 α-β= D . 2 α+β= (2) 已知 cos = , α ∈ ,cos β= , β ∈(0,π), 则 cos( α- 2 β ) 的值为 　　　　 .   答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 典型例题 能力 1   ▶ 　 能熟练进行三角恒等变换和求值 解析 ▶ 　 (1) 由 tan α= , 得 = , 即 sin α cos β= cos α+ sin β cos α , 所以 sin( α-β ) = cos α. 又 cos α= sin , 所以 sin( α-β ) = sin . 因为 α ∈ , β ∈ , 所以 - <α-β< ,0 < -α< . 所以 α-β= -α , 所以 2 α-β= . K 考能探究 K AONENG TANJIU 解析 ▶ 　 (2) 因为 α ∈ , 所以 α+ ∈ . 因为 cos = , 所以 sin = , 所以 sin α= sin = sin cos - cos sin = × - × = , 所以 cos α= . 因为 cos β= , β ∈(0,π), 所以 sin β= , 所以 sin 2 β= ,cos 2 β=- , 所以 cos( α- 2 β ) = cos α cos 2 β+ sin α sin 2 β= × + × = . K 考能探究 K AONENG TANJIU 　 三角恒等变换中的 “ 四大策略 ”: (1) 常值代换 : 特别是 “1” 的代换 , 如 1 = sin 2 θ+ cos 2 θ= tan 45° . (2) 项的分拆与角的配凑 :sin 2 α+ 2cos 2 α= (sin 2 α+ cos 2 α ) + cos 2 α , α= ( α-β ) +β 等 . (3) 降幂与升幂 : 正用和逆用二倍角公式 . (4) 弦、切互化 : 切化弦 , 弦化切 , 减少函数种类 . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 已知 α ∈ , 且 sin α= . (1) 求 sin 2 α 的值 ; (2) 若 sin( α+β ) =- , β ∈ , 求 sin β 的值 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　　 (1) ∵α ∈ , 且 sin α= , ∴ cos α=- , 故 sin 2 α= 2sin α cos α=- . (2) ∵α ∈ , β ∈ , ∴α+β ∈ . 由 sin( α+β ) =- 得 cos( α+β ) =- , 故 sin β= sin[( α+β ) -α ] = sin( α+β )cos α- cos( α+β )sin α = × - × = . K 考能探究 K AONENG TANJIU 【例 2 】 　 已知 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 = tan A+ tan B. (1) 求角 A 的大小 ; (2) 设 D 为 AC 边上的一点 , 且 BD= 5, DC= 3, a= 7, 求 c 的值 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 典型例题 能力 2   ▶ 　 正弦定理、余弦定理的简单应用 解析 ▶ 　 (1) 在 △ ABC 中 , ∵ = tan A+ tan B , ∴ = + , 即 = , ∴ = , 则 tan A= , ∴A= . (2) ∵BD= 5, DC= 3, a= 7, 由余弦定理可得 cos∠ BDC= =- , ∴ ∠ BDC= , 又 A= , ∴ △ ABD 为等边三角形 , ∴c= 5 . K 考能探究 K AONENG TANJIU 　 在解三角形中 , 利用已知条件进行化简变形 , 常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化 , 减少变量的数量 , 在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用 . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 已知 △ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 = 1 - . (1) 求角 C 的大小 ; (2) 若 S △ ABC = 2 , a+b= 6, 求边 c. 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　　 (1) = 1 - = . 由正弦定理得 = , 化简得 a 2 +b 2 -c 2 =ab , 由余弦定理得 cos C= = . ∵C ∈(0,π), ∴C= . (2) 由 (1) 知 C= , 又 S △ ABC = ab sin C= ab · = 2 , ∴ab= 8 . 由余弦定理得 c 2 =a 2 +b 2 - 2 ab · = ( a+b ) 2 - 3 ab= 12, ∴c= 2 . K 考能探究 K AONENG TANJIU 【例 3 】 　 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,△ ABC 的面积为 S , 且 4 S= ( a 2 +b 2 -c 2 ) . (1) 求角 C 的大小 ; (2) 若 f ( x ) = 4sin x cos + 1, 且当 x=A 时 , f ( x ) 取得最大值 b , 试求 S 的值 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 典型例题 能力 3   ▶ 　 会解三角形与三角函数的综合问题 解析 ▶ 　 (1) 由已知得 4 × ab sin C= ( a 2 +b 2 -c 2 ) = 2 ab cos C , 即 tan C= . 因为 C ∈(0,π), 所以 C= . (2) f ( x ) = 4sin x + 1 = 2 sin x cos x- 2sin 2 x+ 1 = sin 2 x+ cos 2 x= 2sin . 当 2 x+ = 2 k π + ( k ∈Z), 即 x=k π + ( k ∈Z) 时 , f ( x ) max = 2 . 因为 A ∈(0,π), 所以 A= , b= 2, 故 B= π -A-C= , a=b sin A= 1, c=b sin C= , 所以 S= ac sin B= . K 考能探究 K AONENG TANJIU 求解有关解三角形与三角函数的综合问题 , 要注意三角形内角的范围 , 一般是先定角 , 再定范围 , 最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化 . 方法归纳 K 考能探究 K AONENG TANJIU 设函数 f ( x ) = sin + sin 2 x- cos 2 x. (1) 求 f ( x ) 的单调递增区间 ; (2) 若角 A 满足 f ( A ) = 1, a= ,△ ABC 的面积为 , 求 b+c 的值 . 答案 解析 K 考能探究 K AONENG TANJIU 变式训练 解析 ▶ 　　 (1) f ( x ) = sin 2 x+ cos 2 x- cos 2 x= sin 2 x- cos 2 x= sin . 令 - + 2 k π≤2 x- ≤ + 2 k π, k ∈Z, 得 - +k π≤ x ≤ +k π, k ∈Z . ∴f ( x ) 的单调递增区间为 , k ∈Z . (2) 由题意知 f ( A ) = sin = 1, ∵ 0

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