2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.1.2 　弧　度　制 必备知识 · 自主学习 导思 1. 物体质量可以用千克、磅等不同的单位制，那么角除了角度制外还有没有别的度量方法？ 2. 角度制与弧度制怎样互化？ 1. 弧度制 (1) 弧度制 ①定义：以 _____ 为单位来度量角的单位制 . ②1 弧度的角：长度等于 _______ 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . ③ 表示方法： 1 弧度记作 1 rad. (2) 角的弧度数的计算 在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 α rad ，那么， |α|= . 弧度 半径长 (3) 本质：角的两种不同的度量模式，适用情况不同，而且弧度制是表示角的默认形式 . (4) 应用：角度制更容易理解和运算，与小学、初中知识更容易衔接；弧度制表示角应用更广泛，与实数一一对应 . 【 思考 】 初中学习的角度制是怎样定义的？ 1° 角是多少？ 提示： 定义：用度为单位来度量角的单位制； 1 度的角：周角的 为 1 度角，记作 1°. 2. 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=____ rad 2π rad= ______ 180°=___ rad π rad= ______ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= °≈57.30° 度数 × = 弧度数 弧度数 × °= 度数 2π 360° π 180° 【 思考 】 角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示： 计算时，我们要特别注意 π rad=180° ，用这个公式进行互化即可 . 3. 扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R ，弧长为 l ， α(0<α<π) 为其圆心角，则 (1) 弧长公式： l=____. (2) 扇形面积公式： S= = . αR 【 思考 】 初中学过的半径为 r ，圆心角为 n° 的扇形弧长、面积公式分别是什么？ 　 提示： 半径为 r ，圆心角为 n° 的扇形弧长公式为 l= ，扇形面积公式为 S 扇 = . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)1 弧度就是 1° 的圆心角所对的弧 . ( 　　 ) (2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关 . ( 　　 ) (3) 1 弧度的角是周角的 . ( 　　 ) 提示： (1)×.1 弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角 . (2)×.“1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，当半径变大时，弧也变大，弧长与半径比值是一个定值，所以与所在圆的半径大小无关 . (3)×.1 弧度的角是周角的 . 2.( 教材二次开发：例题改编 ) 将角 1 080° 化为弧度制等于 ( 　　 ) A.1 080 　　　　 B. C. D.6π 【 解析 】 选 D.1 080°=180°×6 ，所以 1 080° 化为弧度制是 6π. 3. 半径为 2 ，圆心角为 的扇形的面积是 _______.  【 解析 】 由已知得 S 扇 = . 答案： 关键能力 · 合作学习 类型一　弧度与角度的互化 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 角 化为角度是 _______.  2. 角 105° 的弧度数是 _______.  3. 已知 α=15° ， β= ， γ=1 ， θ=105° ， φ= ，试比较 α ， β ， γ ， θ ， φ 的大小 . 【 解析 】 1. = × °=252°. 答案： 252° 2.105°=105× rad= rad. 答案： rad 3. 方法一 ( 化为弧度 ) ： α=15°=15× = ， θ=105°=105× = . 显然 < <1< ，故 α<β<γ<θ=φ. 方法二 ( 化为角度 ) ： β= = × °=18° ， γ=1≈57.30° ， φ= × °=105°. 显然， 15°<18°<57.30°<105° ， 故 α<β<γ<θ=φ. 【 解题策略 】 角度制与弧度制互化的关键与方法 (1) 关键：抓住互化公式 π rad=180°. (2) 方法：度数 × = 弧度数；弧度数 × °= 度数 . (3) 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度 . 【 补偿训练 】 将下列角度与弧度进行互化： (1) =_______ ； (2)- =_______ ；   (3)10°=_______ ； (4)-855°= _______.  【 解析 】 (1) = ×180°=15 330°. (2)- =- ×180°=-105°. (3)10°=10× = . (4)-855°=-855× =- . 答案： (1)15 330° 　 (2)-105° 　 (3) 　 (4)- 类型二　利用弧度制表示角 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1. 在 0 到 2π 范围内，与角 - 终边相同的角是 ( 　　 ) A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 2. 用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内 ( 包括边界 ) 的角 θ 的集合 . 【 思路导引 】 1. 先根据终边相同的角的关系写出集合，再在 0 到 2π 上找到符合题意的角即可 . 2. 先在 0 ～ π 内找到边界表示的角，加上 kπ 即可，注意边界的实虚线的不同表示方法 . 【 解析 】 1. 选 C. 与角 - 终边相同的角是 2kπ+ ， k∈Z ，令 k=1 ，可得与角 - 终边相同的角是 . 2. 因为 30°= rad ， 210°= rad ， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 α=kπ+ ， k∈Z ，而终边在 y 轴上的角为 β=kπ+ ， k∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为 【 解题策略 】 1. 弧度制下与角 α 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为 {β|β=2kπ+α ， k∈Z} ，即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍 . 2. 根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1) 仔细观察图形 . (2) 写出区域边界作为终边时角的表示 . (3) 用不等式表示区域范围内的角 . 【 跟踪训练 】 1. 下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是 ( 　　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+ (k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z) 2. 用弧度表示终边落在阴影部分内 ( 不包括边界 ) 的角的集合 . 【 解析 】 1. 选 C.A ， B 中弧度与角度混用，不正确； π=2π+ ，所以 π 与 终边相同 .-315°=-360°+45° ，所以 -315° 也与 45° 终边相同 . D 中 kπ+ π(k∈Z) ，当 k=1 时， kπ+ π= π ，但当 k=0 时， kπ+ π= π 与 π 终边不同 . 2.330° 角的终边与 -30° 角的终边相同，将 -30° 化为弧度，即 - ， 而 75°=75× = ， 所以终边落在阴影部分内 ( 不包括边界 ) 的角的集合为 类型三　扇形的弧长公式及面积公式 ( 数学运算 ) 　角度 1 　利用公式求弧长和面积  【 典例 】 已知扇形圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于 ( 　　 ) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 【 思路导引 】 利用扇形面积计算公式求出扇形的半径，再用弧长公式求弧长即可 . 【 解析 】 选 C. 设圆的半径为 r ，则 × ·r 2 = ，解得 r=2( 负值舍去 ). 所以扇形的弧长 =2× = . 【 变式探究 】 一个扇形的弧长与面积的数值都是 6 ，则这个扇形的圆心角是 ( 　　 ) A.1 　　　　 B.2 　　　　 C.3 　　　　 D.4 【 解析 】 选 C. 设扇形的圆心角的弧度数为 θ ，半径为 R ，由题意， 得 解得 θ=3. 角度 2 　利用公式求扇形面积的最值  【 典例 】 已知扇形的周长是 40 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【 思路导引 】 设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，根据扇形的周长为 40 ，用半径 r 表示弧长 l ，把面积 S 写成半径 r 的二次函数，求最值即可 . 【 解析 】 设扇形的半径为 r ，面积为 S ，弧长为 l ，圆心角为 α(0<α<2π) ， 则 l+2r=40 ，故 l=40-2r ， 又因为 S= lr= (40-2r)r=-r 2 +20r =-(r-10) 2 +100(0

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