2021高考数学大一轮复习考点规范练59二项式定理理新人教A版

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考点规范练59　二项式定理 ‎　考点规范练A册第42页　 ‎ 基础巩固 ‎1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为(　　)‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ 答案:C 解析:因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为Tk+1=C‎6‎kxk,所以x(1+x)6的展开式中x3的项为C‎6‎‎2‎x3=15x3,所以系数为15.‎ ‎2.设n为正整数,x-‎‎1‎xx‎2n展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为(　　)‎ A.16 B.10 C.4 D.2‎ 答案:B 解析:‎∵‎x-‎‎1‎xx‎2n展开式的通项公式为Tk+1=C‎2nkx2n-k‎·‎-‎‎1‎xxk=‎C‎2nk(-1)kx‎4n-5k‎2‎,令‎4n-5k‎2‎=0,得k=‎4n‎5‎,‎ ‎∴n可取10.‎ ‎3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A.-20 B.-15 C.15 D.20‎ 答案:C 解析:设展开式中的常数项是第(k+1)项,则Tk+1=C‎6‎k‎·‎(4x)6-k·(-2-x)k=C‎6‎k‎·‎(-1)k·212x-2kx·2-kx=C‎6‎k‎·‎(-1)k·212x-3kx.‎ 令12x-3kx=0,解得k=4,‎ 故常数项为T5=C‎6‎‎4‎‎·‎(-1)4=15.‎ ‎4‎.‎x‎2‎‎+‎‎2‎x‎5‎的展开式中x4的系数为(　　)‎ A.10 B.20 C.40 D.80‎ 答案:C 5‎ 解析:x‎2‎‎+‎‎2‎x‎5‎的展开式的通项公式为Tr+1=C‎5‎r‎·‎(x2)5-r‎·‎2‎xr=C‎5‎r·‎2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.‎ 故展开式中x4的系数为C‎5‎‎2‎‎·‎22=40.‎ ‎5.(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为(　　)‎ A.7 B.-7 C.42 D.-42‎ 答案:B 解析:将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为C‎7‎‎6‎‎×‎(-1)=-7.‎ ‎6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是(　　)‎ A.74 B.121 C.-74 D.-121‎ 答案:D 解析:展开式中含x3项的系数为C‎5‎‎3‎(-1)3+C‎6‎‎3‎(-1)3+C‎7‎‎3‎(-1)3+C‎8‎‎3‎(-1)3=-121.‎ ‎7.使‎3x+‎‎1‎xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案:B 解析:Tr+1=Cnr(3x)n-r‎1‎xxr‎=‎Cnr3n-r‎·‎xn-‎5‎‎2‎r,当Tr+1是常数项时,有n-‎5‎‎2‎r=0,故选B.‎ ‎8.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是单调递增数列,则k的最大值是(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.5‎ 答案:A 解析:由二项式定理知an=C‎10‎n-1‎(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,故a6=C‎10‎‎5‎,则k的最大值为6.‎ ‎9.(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是　　　　　.(用数字作答) ‎ 答案:-160‎ 解析:(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数为C‎6‎‎3‎‎·‎(2x)3(-1)3=-160.‎ ‎10.(2019广东广州高三二模)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是　　　　　. ‎ 5‎ 答案:2‎ 解析:二项展开式的通项Tr+1=C‎5‎r(ax)5-r(-1)r=(-1)ra5-r‎·‎C‎5‎rx5-r,令5-r=3可得r=2,∴a3C‎5‎‎2‎=80,∴a=2.‎ ‎11.设二项式x-‎ax‎6‎的展开式中x2的系数为A,常数项为B.若B=4A,则实数a=　　　　　. ‎ 答案:-3‎ 解析:Tr+1=C‎6‎rx6-r‎·‎‎-‎axr=(-a)rC‎6‎rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2C‎6‎‎2‎=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3C‎6‎‎3‎=-20a3,代入B=4A得a=-3.‎ ‎12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为5,则实数a=　　　　　. ‎ 答案:-‎‎1‎‎2‎ 解析:∵(1+x)5=1+C‎5‎‎1‎x+C‎5‎‎2‎x2+C‎5‎‎3‎x3+C‎5‎‎4‎x4+C‎5‎‎5‎x5,‎ ‎∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为a‎·C‎5‎‎2‎+‎C‎5‎‎3‎=5,‎ 即10a+10=5,解得a=-‎‎1‎‎2‎‎.‎ 能力提升 ‎13.若x+‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)‎ A.-40 B.-20 C.20 D.40‎ 答案:D 解析:在x+‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.‎ 原式=x‎·‎2x-‎‎1‎x‎5‎+‎‎1‎x‎2x-‎‎1‎x‎5‎,‎ 故常数项为x‎·‎C‎5‎‎3‎(2x)2‎-‎‎1‎x‎3‎‎+‎1‎x·‎C‎5‎‎2‎(2x)3‎-‎‎1‎x‎2‎=-40+80=40.‎ ‎14.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=(　　)‎ A.256 B.364 C.296 D.513‎ 答案:B 解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①‎ 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②‎ 5‎ 由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=‎‎3‎‎6‎‎+1‎‎2‎‎.‎ 令x=0,则a0=1,故a2+a4+…+a12=‎3‎‎6‎‎+1‎‎2‎-1=364.‎ ‎15.记(2-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7,则a0+a1+a2+…+a6的值为(　　)‎ A.1 B.2 ‎ C.129 D.2 188‎ 答案:C 解析:(2-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7中,令x=0,得27=a0+a1+…+a7=128.‎ ‎∵(2-x)7展开式中含x7项的系数为C‎7‎‎7‎20(-1)7=-1,‎ ‎∴a7=-1.‎ ‎∴a0+a1+…+a6=128-a7=129.‎ ‎16.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　　,a5=　　　　　. ‎ 答案:16　4‎ 解析:由二项式展开式可得通项公式为C‎3‎rx3-rC‎2‎mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.‎ ‎17.若x-‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含x4项的系数为　　　　　. ‎ 答案:-48‎ 解析:令x=1,可得x-‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎的展开式中各项系数的和为1-a=2,得a=-1,x+‎‎1‎x‎2x-‎‎1‎x‎5‎展开式中x4的系数,即是‎2x-‎‎1‎x‎5‎展开式中的x3与x5系数的和,‎2x-‎‎1‎x‎5‎展开式的通项为Tr+1=C‎5‎r(-1)r·25-rx5-2r,‎ 令5-2r=3,得r=1,令5-2r=5,得r=0,将r=1与r=0分别代入通项,可得x3与x5的系数分别为-80与32,‎ ‎∴原展开式中含x4项的系数为-80+32=-48.‎ 高考预测 ‎18.(x2+2)‎1‎x‎-1‎‎5‎展开式中的常数项是(　　)‎ 5‎ A.12 B.-12 C.8 D.-8‎ 答案:B 解析:由‎1‎x‎-1‎‎5‎展开式的第r+1项Tr+1=C‎5‎r‎1‎x‎5-r(-1)r=(-1)rC‎5‎rxr-5,得(x2+2)‎1‎x‎-1‎‎5‎展开式的通项为x2·(-1)rC‎5‎rxr-5=(-1)rC‎5‎rxr-3或2(-1)rC‎5‎rxr-5,则当r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5时,为展开式的常数项,即(-1)3C‎5‎‎3‎+2(-1)5C‎5‎‎5‎=-12.故选B.‎ 5‎