第2课时《一次函数》(2)

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第2课时《一次函数》(2)

第2课时《一次函数》(2)‎ ‎——正比例函数与一次函数 ‎【知识点拨】‎ 一、正比例函数与一次函数的概念:‎ 一般地,形如(为常数,且)的函数叫做正比例函数;其中叫做比例系数。‎ 一般地,形如 (,为常数,且)的函数叫做一次函数. ‎ 当时, 即为,所以正比例函是一次函数的特例.‎ ‎[例题1]1、下列函数中,是的一次函数的是( ) ‎ ‎,,,,,‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.2个 ‎2、函数是一次函数,则满足的条件是 ,若此函数是正比例函数,则的值为 ‎ ‎[答案]1、B 2、,‎ 二、正比例函数的图象与性质:‎ ‎1、图象:正比例函数(为常数,且)的图象是经过原点的一条直线,我们称它为直线。‎ ‎2、性质:当时,直线经过第一,三象限,从左向右上升,即随着的增大也增大;当时,直线经过第二,四象限,从左向右下降,即随着的增大反而减小。‎ ‎[例题2] 1、若正比例函数的图像经过点(-1,2),则这个图像必经过点( )‎ A.(1,2) B.(-1,-2) C.(2,-1) D.(1,-2)‎ ‎2、已知正比例函数的图像上两点(,),(,),当<时,有>,那么的取值范围是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎[答案]‎ ‎1、D 设,把点(-1,2)代入得,所以,所以 ‎2、A 由题意知随的增大而减小,所以小于0‎ 10‎ 三、一次函数与正比例函数的图象与性质 一  次  函  数 概 念 如果 (,为常数,且),那么叫的一次函数.当时,一次函数()也叫正比例函数.‎ 图 像 一条直线 性 质 ‎>0时,随的增大(或减小)而增大(或减小);‎ ‎<0时,随的增大(或减小)而减小(或增大).‎ 直线()的位置与、符号之间的关系.‎ ‎(1)当>0,>0时,图像经过第_________象限;‎ ‎(2)当>0,<0时,图像经过第_________象限;‎ ‎(3)当>0,=0时,图像经过第_________象限;‎ ‎(4)当<0,>0时,图像经过第_________象限;‎ ‎(5)当<0,<0时,图像经过第_________象限;‎ ‎(6)当<0,=0时,图像经过第_________象限;‎ 一次函数表达式的确定 求一次函数 (,为常数,且)时,需要由两个点来确定;求正比例函数()时,只需一个点即可.‎ ‎[例题3]‎ ‎1、在同一直角坐标系中,把直线向 平移 单位,就得到了的图像.‎ ‎2、已知一次函数,则随的增大而_______________(填“增大”或“减小”).‎ ‎3、一次函数的图像如图所示,则下面结论中正确的是( ) ‎ A.,   B.,‎ C.,   D.,‎ ‎[答案]1、A 2、上,3 3、增大 四、求函数解析式的方法:‎ 待定系数法:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。‎ 步骤——设,代,求,写 ‎[例题4] 1、已知与成正比例,有时,。‎ 10‎ ‎(1)写出与之间的函数关系式。‎ ‎(2)计算时,的值。‎ ‎(3)计算时,的值。‎ ‎[答案]解:(1)设y-3=kx,把x=2,y=7代入,得k=2,所以y=2x+3‎ ‎(2)把x=4代入y=2x+3,得y=11‎ ‎(3)把y=4代入y=2x+3,得x=0.5‎ ‎2、某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.求票价提高到每张20元时,门票收入为多少?‎ ‎[答案]解:设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b ‎ 由题意得 票价(元)‎ 人数 ‎(人)‎ ‎5  10 15 20‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ ‎5000‎ ‎6000‎ ‎7000‎ ‎ 解得 ‎ ∴y=-500x+12000‎ 把x=20代入,y=2000,故票价为20元时,门票收入为2000元。‎ 五、求一次函数与轴与轴的交点坐标 一次函数 (,为常数,且)与轴的交点坐标是(0,);‎ 与轴的交点坐标是(,0)‎ ‎[例题5] 1、已知一次函数的图象过点与,则该函数的图象与轴交点的坐标为______ . ‎ ‎2、已知直线与,这两条直线与轴交点间的距离是___________。‎ ‎[答案]1、 2、距离是5‎ ‎【教材解读】‎ ‎1、下列函数中,正比例函数是( ) ‎ 10‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、下列说法不正确的是( )‎ A.一次函不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C.正比例函数是特殊的一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 ‎3、下列函数中,是的一次函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、已知等腰三角形的周长为20,将底边()表示成腰长()的函数关系式是,则其自变量的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.一切实数 ‎5、一次函数的大致图像为 ( )‎ A B C D B A ‎6、如图,把直线向上平移后得到直线AB,直线AB经过点,且,则直线AB的解析式是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7、一次函数满足时,;时,,则这个一次函数是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、已知一次函数的图象与轴交于(0,3),且随值的增大而增大,则的值为( )‎ ‎ A.2 B.-4 C.-2或-4 D.2或-4‎ ‎9、已知一次函数过原点,则的值为( )‎ ‎ A. B. C. D.不能确定 ‎10、下列关系:①面积一定的长方形的长与宽;②圆的周长与半径;③正方形的面积与边长;④速度一定时行驶的路程与行驶时间.其中是的正比例函数的有( )‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10‎ ‎11、下列一次函数中,随值的增大而减小的( )‎ ‎ A. B. C. D.(‎ ‎12、一次函数的图象不经过( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎13、如图所示的计算程序中,与之间的函数关系所对应的图取相反数 ‎×2‎ ‎+4‎ 输入x 输出y 象应为( )‎ O y x ‎-2‎ ‎- 4‎ A D C B O ‎4‎ ‎2‎ y O ‎2‎ ‎- 4‎ y x O ‎4‎ ‎- 2‎ y x x ‎14、一次函数的图象只经过第一、二、三象限,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎15、一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线平行,则此函数的解析式为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎16、已知一次函数,当时,,且它的图象与轴交点的纵坐标是3,则此函数的解 析式为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎17、,是正比例函数图象上的两点,则下列判断正确的是( )‎ A. B. C.当时, D.当时,‎ ‎18、已知点(,)、(,)都在直线上,且,则与的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎19、已知自变量为的一次函数的图象经过第二、三、四象限,则( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎20、正比例函数的图像过点(,),则的值为 ( ) ‎ 10‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎21、已知函数,当_____时,它是一次函数,当_____时,它是正比例函数.‎ ‎22、如果一次函数是正比例函数,则的值为_________.‎ ‎23、若正比例函数的图象经过点(2,-5),则随的增大而 。‎ ‎24、一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线平行,则此函数解析式为 ‎ ‎25、在同一坐标系中,对于函数①,②,③,④的图象,通过点(-1,0)的是________,相互平行的是_______,交点在轴上的是_____.(填写序号)‎ ‎26、已知一次函数的图象经过点A(1,4)、B(4,2),则这个一次函数的解析式为___________.‎ 第27题图 第28题图 ‎27、如图,该直线是某个一次函数的图象,则此函数的解析式为___________。‎ ‎ ‎ ‎28、如图,线段AB的解析式为____________.‎ ‎29、已知与成正比例,且时,,则与的函数关系式是______;当时, ___.‎ ‎30、已知梯形的高是10,下底长比上底长4,如果设上底长,则梯形面积与的函数关系式是_______,其中自变量的取值范围是____________。‎ ‎31、一个弹簧,不挂物体时,长6,挂上重物后,所挂物体质量每增加1,弹簧就伸长0.25 ,‎ 但质量不得超过10,则弹簧总长()与所挂物体质量()之间的函数关系式是__________。其中自变量的取值范围是___________。‎ ‎32、一次函数的图像与轴交于点__________,与轴交于点___________。‎ ‎33、当满足_____________时,一次函数的图像与轴交于负半轴。‎ ‎34、当满足_____________时,一次函数中,随的增大而增大。‎ ‎35、一条平行于直线的直线交轴于点(2,0),则该直线与轴的交点是_________.‎ ‎36、已知一次函数 ‎①写出它与两坐标轴的交点坐标;②写出这条直线与坐标轴围成的三角形面积。‎ 10‎ ‎37、已知一次函数,根据系列条件,请你写出,的取值范围。‎ ‎(1)随的增大而增大;(2)直线与轴的交点在轴下方;(3)图像经过第二、三、四象限。‎ ‎38、某音像出租店,出租影片的收费标准是两天之内还租金1.5元,超过两天之后,多一天多收1元(不足一天按一天计)。请列出租金(元)与出租天数之间的关系式。‎ ‎39、为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据:‎ ‎ 档次 高度 第一档 第二档 第三档 第四档 凳高(cm)‎ ‎37.0‎ ‎40.0‎ ‎42.0‎ ‎45.0‎ 桌高(cm)‎ ‎70.0‎ ‎74.8‎ ‎78.0‎ ‎82.8‎ ‎⑴ 小明经过对数据探究,发现:桌高是凳高的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式;(不要求写出的取值范围)‎ ‎⑵ 小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为 77 cm,凳于的高度为43.5cm.请你判断它们是否配套?说明理由.‎ ‎【中考演练】‎ ‎1、( 2011重庆江津)直线的图像经过象限是( )‎ A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 第2题图 ‎【答案】D ‎2、(2011山东泰安)已知一次函数的图像如图所示,‎ 则、的取值范围是( )‎ A. >0,<2 B. >0,>2 ‎ 10‎ C. <0,<2 D. <0,>2‎ ‎【答案】D ‎ ‎3、(2011台湾全区)坐标平面上,若点(, )在方程式的图形上,则值为何?‎ A.-1 B. 2 C.3 D. 9‎ ‎【答案】A ‎4、(2011江西)已知一次函数的图像经过一、二、三象限,则的值可以是( ).‎ A. -2 B. -1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎5、(2011安徽芜湖)已知直线经过点和,则的值为( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎6、(2011湖南益阳)如图,小红居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小红由A处径直走到B处,她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是( )‎ 第6题图 A B C D ‎【答案】C ‎7、(2011广东)直线l过A、B两点,A(,),B(,),则直线l的解析式为 .‎ ‎【答案】y=x-1‎ ‎8、(2011湖南怀化)一次函数中,的值随值增大而___________.(填“增大”或“减小”)‎ ‎【答案】减小 ‎9、(2011江苏镇江)已知关于的一次函数(),若其图象经过原点,则 _____;若的值随值增大而减小,则的取值范围是________.‎ 第10题图 ‎2‎ ‎【答案】,k<0‎ ‎10、(2011湖南衡阳)如图,一次函数的图象与轴的交点坐标为 ‎(2,0),则下列说法:①随的增大而减小;②>0;③关于的方程 10‎ 的解为.其中说法正确的有 (把你认为说法正确的 序号都填上).‎ ‎【答案】 ①②③‎ ‎【能力拓展】‎ ‎1、若函数是正比例函数,则= ‎ ‎2、如图所示的图象中,不可能是关于的一次函数的图象的是( )‎ ‎3、(CJKT40浙江竞赛)若,则一次函数的图像必定经过的象限是( )‎ A.第一、二象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第三、四象限 ‎4、(CJKT45)设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(=1,2,…,2000),则的值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎5、(CJKT39)已知,且,则关于自变量的一次函数图像一定经过第___________象限。‎ ‎6、(CJKT45)已知函数,当自变量的取值范围为时,既能取到大于5的值,又能取到小于3的值,则实数的取值范围为__________________。‎ ‎7、(CJKT45全国初中数学竞赛)如图,在平面直角坐标系中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O ‎(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多 边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 .‎ 10‎ 解:‎ 如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N.‎ 由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,‎ 过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.‎ 于是,直线即为所求的直线.‎ 设直线的函数表达式为,则 解得 ,故所求直线的函数表达式为.‎ ‎8、函数是一次函数,求的值。‎ 分析:可能出现以下错误解法 错解:∵函数是一次函数 ‎∴ 2k-1=1‎ ‎∴ k=1‎ ‎∴当k=1时函数是一次函数 错因: 当k=1时,与合并后得y=5.不是函数 解:令的系数为0,变为 ‎ ∴k=-3‎ 10‎
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