2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-8函数与方程
第8讲 函数与方程、函数的应用
最新考纲 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
知 识 梳 理
1．函数的零点
(1)函数的零点的概念
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
与x轴的交点
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)．
4．指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案 B
3．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点．
答案 A
4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B．200只
C．300只 D．400只
解析 由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.
答案 B
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1,1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x
＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【训练1】 已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析 ∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，
f(2)＝ln 2－0＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.
故f(x)的零点x0∈(2,3)．
答案 C
考点二 函数零点个数的判断
【例2】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍)．所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)
令f(x)＝2x|log0,5x|－1＝0，得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像(如图)．由图像知，两函数的图像有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．
答案 (1)2 (2)B
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；
(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数．
【训练2】 (2015·湖北卷)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
解析
f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图像的交点，如图所示，两图像有2个交点，则函数有2个零点．
答案 2
考点三 函数零点的应用
【例3】 (2017·昆明调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
解 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.
又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，
因此函数y＝f(x)的图像关于x＝2对称．又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根．
由函数的图像(如图)，必须有即解之得0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图像．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
答案 (1)D (2)(3，＋∞)
考点四 构建函数模型解决实际问题(易错警示)
【例4】 (1)(2016·四川卷)
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
(2)(2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
①求k的值及f(x)的表达式；
②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
(1)解析 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.
依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3
∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
答案 B
(2)解 ①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．
②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5,35]，
则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，
当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；
当200，y＝2t＋－10为增函数．
∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，
因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
规律方法 (1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
③构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
【训练4】 (1)(2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
(1)解析 由已知条件，得192＝eb
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2
∴e11k＝＝＝，
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
答案 24
(2)解 ①当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．
②第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
(ⅰ)当1≤x≤6，且x∈N＋时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，
当50，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1,0)内有零点．
答案 D
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以01时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
答案 D
12．(2017·合肥质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
答案 B
13．(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示．
则当00)．
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当0
查看更多
