2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案文北师大版

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案文北师大版

第9章 平面解析几何 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 高考在本章一般为2道小题和1道解答题，分值约占22分.‎ ‎2.考查内容 高考小题重点考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系及两种圆锥曲线的综合问题．解答题一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等问题，难度较大.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①求圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程问题；‎ ‎②圆锥曲线的几何性质及应用问题；‎ ‎③直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题；‎ ‎④圆锥曲线的定点、定值、最值、范围问题.‎ ‎(2)重视函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.‎ 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 ‎[最新考纲]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第143页)‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)倾斜角的范围为0°≤α＜180°.‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α，当α - 8 -‎ ‎＝90°时，直线斜率不存在．‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1．牢记倾斜角α与斜率k的关系 ‎(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.‎ ‎(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．‎ ‎2．特殊直线的方程 ‎(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；‎ ‎(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；‎ ‎(3)y轴的方程为x＝0；‎ ‎(4)x轴的方程为y＝0.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　　)‎ ‎(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)‎ ‎(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1 B．4　　　　‎ - 8 -‎ C．1或3　　　　 D．1或4‎ A　[由题意得＝1，解得m＝1.]‎ ‎2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0‎ C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0‎ A　[由y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0，故选A.]‎ ‎3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点A(a，b)，B(a，c)的直线的倾斜角为________，直线AB的方程为________．‎ 　x＝a　[由题意知，直线AB垂直于x轴，因此直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为x＝a.]‎ ‎4．在x轴，y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为________．‎ ‎3x－4y－12＝0　[由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]‎ ‎(对应学生用书第144页)‎ ‎⊙考点1　直线的倾斜角和斜率 ‎　斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图像法 根据正切函数图像，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 ‎　1.(2019·安庆模拟)直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角不可能为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. D　[设直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，‎ 则tan θ＝∈.‎ 又tan＝，故θ不可能为.]‎ ‎2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．‎ ∪　[当－1≤k＜0时，≤θ＜π，‎ - 8 -‎ 当0≤k≤1时，0≤θ≤.‎ 因此θ的取值范围是∪.]‎ ‎3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．‎ ‎(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，‎ ‎∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]‎ ‎　直线的倾斜角和斜率的范围互求时，要充分利用y＝tan x的单调性．‎ ‎⊙考点2　直线方程 ‎　‎ ‎1．求解直线方程的两种方法 直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程 待定系数法 ‎①设所求直线方程的某种形式；‎ ‎②由条件建立所求参数的方程(组)；‎ ‎③解这个方程(组)求出参数；‎ ‎④把参数的值代入所设直线方程 ‎2.谨防三种失误 ‎(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．‎ ‎(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.‎ ‎(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.‎ ‎(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．‎ ‎(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．‎ ‎(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________．‎ ‎(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0　[(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－ - 8 -‎ ‎，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.‎ ‎②当横截距、纵截距都不为零时，‎ 设所求直线方程为＋＝1，‎ 将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.‎ 综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.‎ ‎(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.‎ 又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.‎ ‎(3)设C(x0，y0)，则 M，N.‎ 因为点M在y轴上，所以＝0，‎ 所以x0＝－5.‎ 因为点N在x轴上，所以＝0，‎ 所以y0＝－3，即C(－5，－3)，‎ 所以M，N(1,0)，‎ 所以直线MN的方程为＋＝1，‎ 即5x－2y－5＝0.]‎ ‎　当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．‎ ‎　1.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．‎ ‎2x－3y＝0或x＋y－5＝0　[设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ - 8 -‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]‎ ‎2．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________．‎ x－y＋1＝0或x＋y－3＝0　[由题意知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]‎ ‎3．过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．‎ ‎8x－y－24＝0　[设直线l与l1，l2的交点分别为A，B，‎ 设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．‎ 由题意得解得 即A.‎ 直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.]‎ ‎⊙考点3　直线方程的综合应用 ‎　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．‎ ‎　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，‎ 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，‎ 此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.‎ - 8 -‎ ‎(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，‎ 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，‎ 即x＋2y－6＝0.‎ ‎　涉及与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式．‎ ‎[教师备选例题]‎ 如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．‎ ‎10　[如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k＜0)，所以A，B(0,4－3k)，‎ 所以△ABO的面积S＝(4－3k) ‎＝，因为k＜0，‎ 所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号，此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为10米．]‎ ‎　1.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．‎ x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[设所求直线的方程为＋＝1.‎ ‎∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1. ①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，‎ ‎∴|a|·|b|＝1. ②‎ - 8 -‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．‎ 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]‎ ‎2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.‎ 　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，‎ 所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)‎ ‎＝a2－a＋4＝＋，‎ 当a＝时，四边形的面积最小，‎ 故实数a的值为.]‎ - 8 -‎