2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案文北师大版

第9章 平面解析几何 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 高考在本章一般为2道小题和1道解答题,分值约占22分.‎ ‎2.考查内容 高考小题重点考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系及两种圆锥曲线的综合问题.解答题一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等问题,难度较大.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①求圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程问题;‎ ‎②圆锥曲线的几何性质及应用问题;‎ ‎③直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题;‎ ‎④圆锥曲线的定点、定值、最值、范围问题.‎ ‎(2)重视函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.‎ 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程 ‎[最新考纲] 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎(对应学生用书第143页)‎ ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行时,它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)倾斜角的范围为0°≤α<180°.‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=tan_α,当α - 8 -‎ ‎=90°时,直线斜率不存在.‎ ‎(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含直线x=x0‎ 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1.牢记倾斜角α与斜率k的关系 ‎(1)当α∈且由0增大到时,k的值由0增大到+∞.‎ ‎(2)当α∈时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由增大到π(α≠π)时,k的值由-∞趋近于0(k≠0).‎ ‎2.特殊直线的方程 ‎(1)直线过点P1(x1,y1),垂直于x轴的方程为x=x1;‎ ‎(2)直线过点P1(x1,y1),垂直于y轴的方程为y=y1;‎ ‎(3)y轴的方程为x=0;‎ ‎(4)x轴的方程为y=0.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. (  )‎ ‎(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大. (  )‎ ‎(3)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示. (  )‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )‎ A.1 B.4    ‎ - 8 -‎ C.1或3     D.1或4‎ A [由题意得=1,解得m=1.]‎ ‎2.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为(  )‎ A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0‎ C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0‎ A [由y-5=-(x+2)得3x+4y-14=0,故选A.]‎ ‎3.已知a,b,c是两两不等的实数,则经过点A(a,b),B(a,c)的直线的倾斜角为________,直线AB的方程为________.‎  x=a [由题意知,直线AB垂直于x轴,因此直线AB的倾斜角为,直线AB的方程为x=a.]‎ ‎4.在x轴,y轴上的截距分别是4,-3的直线方程为________.‎ ‎3x-4y-12=0 [由题意知,直线方程为+=1,即3x-4y-12=0.]‎ ‎(对应学生用书第144页)‎ ‎⊙考点1 直线的倾斜角和斜率 ‎ 斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定 函数图像法 根据正切函数图像,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可 ‎ 1.(2019·安庆模拟)直线x-(a2+2)y+1=0的倾斜角不可能为(  )‎ A.   B.   C.   D. D [设直线x-(a2+2)y+1=0的倾斜角为θ,θ∈[0,π),‎ 则tan θ=∈.‎ 又tan=,故θ不可能为.]‎ ‎2.若直线l的斜率k∈[-1,1],则直线l的倾斜角θ的范围是________.‎ ∪ [当-1≤k<0时,≤θ<π,‎ - 8 -‎ 当0≤k≤1时,0≤θ≤.‎ 因此θ的取值范围是∪.]‎ ‎3.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为__________.‎ ‎(-∞,-]∪[1,+∞) [如图,‎ ‎∵kAP==1,kBP==-,∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).]‎ ‎ 直线的倾斜角和斜率的范围互求时,要充分利用y=tan x的单调性.‎ ‎⊙考点2 直线方程 ‎ ‎ ‎1.求解直线方程的两种方法 直接法 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程 待定系数法 ‎①设所求直线方程的某种形式;‎ ‎②由条件建立所求参数的方程(组);‎ ‎③解这个方程(组)求出参数;‎ ‎④把参数的值代入所设直线方程 ‎2.谨防三种失误 ‎(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.‎ ‎(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.‎ ‎(3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.‎ ‎(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为________.‎ ‎(2)若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为________.‎ ‎(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为________.‎ ‎(1)x+2y+1=0或2x+5y=0 (2)x-y+6=0 (3)5x-2y-5=0 [(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=- - 8 -‎ ‎,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.‎ ‎②当横截距、纵截距都不为零时,‎ 设所求直线方程为+=1,‎ 将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.‎ 综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.‎ ‎(2)由x+y+1=0得此直线的斜率为-,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为.‎ 又直线过点A(-,3),所以所求直线方程为y-3=(x+),即x-y+6=0.‎ ‎(3)设C(x0,y0),则 M,N.‎ 因为点M在y轴上,所以=0,‎ 所以x0=-5.‎ 因为点N在x轴上,所以=0,‎ 所以y0=-3,即C(-5,-3),‎ 所以M,N(1,0),‎ 所以直线MN的方程为+=1,‎ 即5x-2y-5=0.]‎ ‎ 当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时,一般要分截距为零和不为零两种情况求解,当出现截距之和或横截距大于纵截距时,此时横、纵截距均不为零,可直接用待定系数法求解.‎ ‎ 1.经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.‎ ‎2x-3y=0或x+y-5=0 [设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),‎ ‎∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(3,2),∴+=1,‎ - 8 -‎ ‎∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,‎ 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.]‎ ‎2.过点(1,2),倾斜角的正弦值是的直线方程是________.‎ x-y+1=0或x+y-3=0 [由题意知,倾斜角为或,所以斜率为1或-1,直线方程为y-2=x-1或y-2=-(x-1),即x-y+1=0或x+y-3=0.]‎ ‎3.过点P(3,0)有一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,则直线l的方程为________.‎ ‎8x-y-24=0 [设直线l与l1,l2的交点分别为A,B,‎ 设A(x1,y1),则B(6-x1,-y1).‎ 由题意得解得 即A.‎ 直线l的方程为=,即8x-y-24=0.]‎ ‎⊙考点3 直线方程的综合应用 ‎ 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的性质或基本不等式求解.‎ ‎ 过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.‎ ‎(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.‎ ‎[解] 设直线l:+=1(a>0,b>0),‎ 因为直线l经过点P(4,1),所以+=1.‎ ‎(1)+=1≥2=,‎ 所以ab≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,‎ 所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,‎ 此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.‎ - 8 -‎ ‎(2)因为+=1,a>0,b>0,‎ 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=5++≥5+2=9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,‎ 所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为+=1,‎ 即x+2y-6=0.‎ ‎ 涉及与直线在x轴,y轴上的截距有关的问题,可设直线方程为截距式.‎ ‎[教师备选例题]‎ 如图,在两条互相垂直的道路l1,l2的一角,有一个电线杆,电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米,到道路l2的垂直距离为3米,现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道,使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小,则人行道的长度为________米.‎ ‎10 [如图建立平面直角坐标系,设人行道所在直线方程为y-4=k(x-3)(k<0),所以A,B(0,4-3k),‎ 所以△ABO的面积S=(4-3k) ‎=,因为k<0,‎ 所以-9k-≥2=24,当且仅当-9k=-,即k=-时取等号,此时,A(6,0),B(0,8),所以人行道的长度为10米.]‎ ‎ 1.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________.‎ x+2y-2=0或2x+y+2=0 [设所求直线的方程为+=1.‎ ‎∵A(-2,2)在直线上,∴-+=1. ①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,‎ ‎∴|a|·|b|=1. ②‎ - 8 -‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解.‎ 故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.]‎ ‎2.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.‎  [由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,‎ 所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)‎ ‎=a2-a+4=+,‎ 当a=时,四边形的面积最小,‎ 故实数a的值为.]‎ - 8 -‎
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