2019届二轮复习溯源回扣六 平面解析几何学案(全国通用)

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2019届二轮复习溯源回扣六 平面解析几何学案(全国通用)

溯源回扣六 平面解析几何 ‎1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系,导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.‎ ‎[回扣问题1] 直线xcos θ+y-2=0的倾斜角的范围是________.‎ 解析 tan α=k=-,知-≤k≤,‎ ‎∴0≤α≤或≤α<π.‎ 答案 ∪ ‎2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时,忽视截距为0的情况.‎ ‎[回扣问题2] 已知直线过点P(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________.‎ 解析 当截距为0,则直线方程为y=5x,当截距不是0时,设直线方程为x+y=a,将P(1,5)坐标代入方程,得a=6.∴所求方程为5x-y=0或x+y-6=0.‎ 答案 5x-y=0或x+y-6=0‎ ‎3.求两条平行线之间的距离时,易忽视两直线x,y的系数相等的条件,而直接代入公式d=,导致错误.‎ ‎[回扣问题3] 直线3x+4y+5=0与6x+8y-7=0的距离为________.‎ 解析 将3x+4y+5=0化为6x+8y+10=0,∴两平行线间的距离d==.‎ 答案  ‎4.与圆有关的参数问题,易忽视参数的影响.‎ ‎[回扣问题4] 已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________.‎ 解析 由方程表示圆,则a2=a+2,解得a=-1或a=2.‎ 当a=-1时,方程化为(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4).‎ 但a=2时,x2+y2+x+2y+=0不表示圆.‎ 答案 (-2,-4)‎ ‎5.求圆的切线方程时,易忽视斜率不存在的情形.‎ ‎[回扣问题5] 已知点P(1,2)与圆C:x2+y2=1,则过点P作圆C的切线l,则切线l的方程为________________.‎ 解析 当直线l的斜率不存在时,切线l的方程为x=1.‎ 若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0.‎ 依题意,得=1,解得k=.‎ 此时切线l的方程为y=x+.‎ 答案 x=1或y=x+ ‎6.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定,在两圆相切的关系中,误认为相切为两圆外切,忽视相内切的情形.‎ ‎[回扣问题6] 双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两圆的位置关系为________.‎ 解析 设线段PF1的中点为P0,双曲线的右焦点为F2,则|OP0|=|PF2|,‎ 由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a,‎ ‎∴|OP0|=|PF1|-a=R-r,因此两圆内切.‎ 答案 内切 ‎7.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,导致计算错误.‎ ‎[回扣问题7] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析 ∵e==,F2(5,0),‎ ‎∴c=5,a=4,b2=c2-a2=9,‎ ‎∴双曲线C的标准方程为-=1.‎ 答案 C ‎8.由圆锥曲线方程讨论几何性质时,易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.‎ ‎[回扣问题8] 已知椭圆+=1(m>0)的离心率等于,则m=________.‎ 解析 当焦点在x轴上,则a=2,c=,‎ ‎∴=,则m=1.‎ 当焦点在y轴上,则a=,c=,‎ ‎∴=,则m=16.‎ 答案 1或16‎ ‎9.利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.‎ ‎[问题回扣9] 已知平面内两点A(0,1),B(0,-1),动点M到A,B两点的距离之差为1,则动点M的轨迹方程是________________.‎ 解析 依题意|MA|-|MB|=1<|AB|,‎ 所以点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支.‎ 由a=,c=1,则b2=,‎ 所以点M的轨迹方程是4y2-=1(y<0).‎ 答案 4y2-=1(y<0)‎ ‎10.在抛物线中,点到焦点距离与到准线距离的转化是解决抛物线问题的突破口,注意定义的活用.‎ ‎[问题回扣10] (2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.‎ 解析 如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.‎ 由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.‎ ‎∵点M为FN的中点,PM∥OF,‎ ‎∴|MP|=|FO|=1.‎ 又|BP|=|AO|=2,‎ ‎∴|MB|=|MP|+|BP|=3.‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.‎ 答案 6‎ ‎11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零,判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”;在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.‎ ‎[回扣问题11] (2018·西安调研)已知椭圆W:+=1(a>b>0)的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为-1,O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆W的方程;‎ ‎(2)设斜率为k的直线l与W相交于A,B两点,记△AOB面积的最大值为Sk,证明:S1=S2.‎ ‎(1)解 由题意,得W的半焦距c=1,右焦点F(1,0),上顶点M(0,b).‎ ‎∴直线MF的斜率kMF==-1,解得b=1.‎ 由a2=b2+c2,得a2=2.‎ ‎∴椭圆W的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明 设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由方程组 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,‎ ‎∴Δ=16k2-8m2+8>0.①‎ 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∴|AB|= ‎=,‎ ‎∵原点O到直线y=kx+m的距离d=,‎ ‎∴S△AOB=|AB|d=,‎ 当k=1时,S△AOB=,‎ ‎∴当m2=时,S△AOB有最大值S1=,验证满足①式,‎ 当k=2时,S△AOB=,‎ ‎∴当m2=时,S△AOB的最大值S2=,验证①式成立.因此S1=S2.‎
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