【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-5三角函数的图象与性质学案

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文档介绍

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-5三角函数的图象与性质学案

第5讲 三角函数的图象与性质 ‎1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x≠kπ+,k∈Z}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 函数的最值 最大值1,当且 仅当x=2kπ ‎+,k∈Z 最小值-1,当 且仅当x=‎ ‎2kπ-,k∈Z 最大值1,当且 仅当x=2kπ,‎ k∈Z    ‎ 最小值-1,当且 仅当x=2kπ-π,‎ k∈Z 无最大值和最小值 单调性 增区间[k·2π-,k·2π+(k∈Z)]‎ 减区间[k·2π+,k·2π+](k∈Z)‎ 增区间[k·2π-π,k·2π](k∈Z)‎ 减区间[k·2π,k·2π+π](k∈Z)‎ 增区间(k·π-,k·π+)(k∈Z)‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π 周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为π 对称性 对称中心 ‎(kπ,0),k∈Z ,k∈Z ,k∈Z 对称轴 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z 无对称轴 零点 kπ,k∈Z kπ+,k∈Z kπ,k∈Z ‎2.周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期;函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均为T=;函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=.‎ ‎3.对称与周期 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)y=cos x在第一、二象限内是减函数.(  )‎ ‎(2)若y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值是k+1.(  )‎ ‎(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(  )‎ ‎(4)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).(  )‎ ‎(5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×‎ ‎ 函数y=tan 3x的定义域为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由3x≠+kπ(k∈Z),得x≠+,k∈Z.故选D.‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是(  )‎ A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减 解析:选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=时,x+=3π,所以cos=-1,所以B正确;f(x+π)=cos=cos,当x=时,x+=,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos在上单调递减,在上单调递增,故D不正确.所以选D.‎ ‎ 函数y=3-2cos的最大值为__________,此时x=________.‎ 解析:函数y=3-2cos的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z).‎ 答案:5 +2kπ(k∈Z)‎ ‎ 函数f(x)=sin,x∈[0,π]的减区间为________.‎ 解析:当2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 即2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z时,函数f(x)是减函数.‎ 又x∈[0,π],所以f(x)的单调递减区间为.‎ 答案: ‎      三角函数的定义域和值域 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________.‎ ‎(2)函数y=lg(2sin x-1)+的定义域是________.‎ ‎【解析】 (1)依题意,f(x)=sin2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-+1,因为x∈,所以cos x∈[0,1],因此当cos x=时,f(x)max=1.‎ ‎(2)要使函数y=lg(2sin x-1)+有意义,‎ 则即 解得2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.‎ 即函数的定义域为,k∈Z.‎ ‎【答案】 (1)1 (2),k∈Z ‎(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求.‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.‎ ‎③(换元法)把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域.‎ ‎④(换元法)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.函数f(x)=3sin在区间上的值域为(  )‎ A.        B. C. D. 解析:选B.当x∈时,2x-∈,‎ sin∈,‎ 故3sin∈,‎ 即此时函数f(x)的值域是.‎ ‎2.函数y=lg sin x+的定义域为________.‎ 解析:要使函数有意义,则有 即 解得(k∈Z),‎ 所以2kπ0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是________.‎ ‎【解析】 因为ω>0,由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,‎ 得f(x)的增区间是,k∈Z.‎ 因为f(x)在上单调递增,‎ 所以⊆.‎ 所以-≥-且≤+,所以ω∈.‎ ‎【答案】  角度三 利用三角函数的单调性比较大小 ‎ 已知函数f(x)=2sin,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a0时,由题意知-ω≤-,‎ 即ω≥;‎ 当ω<0时,由题意知ω≤-,所以ω≤-2.‎ 综上可知,ω的取值范围是∪.‎ ‎3.已知函数g(x)=-cos,则g(x)的单调递增区间为________.‎ 解析:g(x)=-cos=-cos,‎ 欲求函数g(x)的单调递增区间,‎ 只需求y=cos的单调递减区间.‎ 由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,‎ 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所给函数的单调递增区间为 (k∈Z).‎ 因为x∈,‎ 所以函数g(x)的单调递增区间是 ,.‎ 答案:, ‎      三角函数的奇偶性、周期性及对 称性(高频考点) ‎ 三角函数的奇偶性、周期性及对称性是每年高考命题的热点,题型既有选择题也有填空题,或在解答题某一问出现,难度为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下三个命题角度:‎ ‎(1)三角函数的周期性与奇偶性;‎ ‎(2)三角函数的对称轴或对称中心;‎ ‎(3)三角函数的奇偶性与单调性.‎ ‎[典例引领]‎ 角度一 三角函数的周期性与奇偶性 ‎ (2018·贵阳市监测考试)下列函数中,以为最小正周期的奇函数是(  )‎ A.y=sin 2x+cos 2x     B.y=sin C.y=sin 2xcos 2x D.y=sin22x-cos22x ‎【解析】 A中,y=sin 2x+cos 2x=sin,为非奇非偶函数,故A错;B中,y=sin=cos 4x,为偶函数,故B错;C中,y=sin 2xcos 2x=sin 4x,最小正周期为且为奇函数,故C正确;D中,y=sin22x-cos22x=-cos 4x,为偶函数,故D错.‎ ‎【答案】 C 角度二 三角函数的对称轴或对称中心 ‎ 函数y=sin的图象与函数y=cos的图象(  )‎ A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 ‎【解析】 由2x-=kπ+,k∈Z,可解得函数y=sin的对称轴为x=+,k∈Z.由x-=kπ,k∈Z,可解得函数y=cos的对称轴为x=kπ+,k∈Z.当k=0时,函数有相同的对称轴.由2x-=kπ,k∈Z,可解得函数y=sin的对称中心为,k∈‎ Z.由x-=kπ+,k∈Z,可解得函数y=cos的对称中心为,k∈Z.‎ 故两个函数没有相同的对称中心,故选A.‎ ‎【答案】 A 角度三 三角函数的奇偶性与单调性 ‎ (2018·广州市综合测试(一))已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则(  )‎ A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递增 ‎【解析】 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,因为0<φ<π且f(x)为奇函数,所以φ=,即f(x)=-sin ωx,又直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,所以函数f(x)的最小正周期为,由=,可得ω=4,故f(x)=-sin 4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此时f(x)在上单调递增.‎ ‎【答案】 D 三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 ‎(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.‎ ‎(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解.‎ ‎(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.‎ ‎[提醒] 对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,‎ 对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,则φ的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.f(x)=2sin,‎ y=f(x+φ)=2sin的图象关于x=0对称,‎ 即f(x+φ)为偶函数.‎ 所以+φ=+kπ,k∈Z,‎ 即φ=kπ+,k∈Z,‎ 又因为|φ|≤,所以φ=,故选D.‎ ‎2.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象(  )‎ A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 解析:选B.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期是4π,而T==4π,所以ω=,‎ 即f(x)=2sin.函数f(x)的对称轴为+=+kπ,解得x=π+2kπ(k∈Z);‎ 函数f(x)的对称中心的横坐标为+=kπ,解得x=2kπ-π(k∈Z).‎ 所以f(x)的对称中心为.‎ ‎3.(2018·揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=lg(x+1),则f+lg 18=________.‎ 解析:因为当x∈[0,1)时,f(x)=lg(x+1),‎ f=lg,‎ 又因为函数f(x)是周期为2的奇函数,‎ 所以f=f=-f=-lg,‎ 所以f+lg 18=lg 18-lg=lg 10=1.‎ 答案:1‎ ‎ 奇偶性 对于y=Asin(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z).对于y=Acos(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则φ=+kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).对于y=Atan(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则φ=π(k∈Z).‎ ‎ 函数图象的对称中心、对称轴 ‎(1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数图象的对称轴或对称中心时,都是先把“ωx+φ”看作一个整体,然后根据y=sin x和y=cos x图象的对称轴或对称中心进行求解.‎ ‎(2)在判断对称轴或对称中心时,用以下结论可快速解题:设y=f(x)=Asin(ωx+φ),g(x)=Acos(ωx+φ),x=x0是对称轴方程⇔f(x0)=±A,g(x0)=±A;(x0,0)是对称中心⇔f(x0)=0,g(x0)=0.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.‎ ‎(2)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时的情况,避免出现增减区间的混淆.                                         ‎ ‎1.f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)=(  )‎ A.0     B.3‎ C.-1 D.-2‎ 解析:选A.因为f(b)=tan b+sin b+1=2,‎ 即tan b+sin b=1.‎ 所以f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1‎ ‎=-(tan b+sin b)+1=0.‎ ‎2.(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的周期为π,若f(α)=1,则f=(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ 解析:选B.因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,‎ ‎0<φ<)的周期为π,所以T==π,得ω=2,‎ 从而由f(α)=1,得Asin(2α+φ)=1,f ‎=Asin=Asin ‎=-Asin(2α+φ)=-1.‎ ‎3.最小正周期为π且图象关于直线x=对称的函数是(  )‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:选B.由函数的最小正周期为π,可排除C.由函数图象关于直线x=对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点,对于A,因为sin=sin π=0,所以选项A不正确.对于D,sin=sin=,所以D不正确,对于B,sin=sin=1,所以选项B正确,故选B.‎ ‎4.(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为(  )‎ A. B.1‎ C. D. 解析:选A.因为cos(x-)=cos[(x+)-]=sin(x+),所以f(x)=sin(x+),于是f(x)的最大值为,故选A.‎ ‎5.(2018·石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin,f′(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f′(x)的一个单调递减区间是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.由题意,得f′(x)=2cos,所以y=2f(x)+f′(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以y=2f(x)+f′(x)的一个单调递减区间为,故选A.‎ ‎6.比较大小:sin________sin.‎ 解析:因为y=sin x在上为增函数且->-,故sin>sin.‎ 答案:>‎ ‎7.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,T∈(1,3),则正整数ω的最大值为________.‎ 解析:因为T=,T∈(1,3),‎ 所以1<<3,即<ω<2π.‎ 所以正整数ω的最大值为6.‎ 答案:6‎ ‎8.已知f(x)=sin 2x-cos 2x,若对任意实数x∈,都有|f(x)|0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解:(1)因为f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ ‎(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.‎ ‎1.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(  )‎ A.f(x)的周期是 B.f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0}‎ C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)的单调递减区间是,k∈Z 解析:选D.函数f(x)=的周期为T==2π,故A错误;函数f(x)=的值域为[0,+∞),故B错误;当x=时,x-=≠,k∈Z,‎ 即x=不是f(x)的对称轴,故C错误;‎ 令kπ-0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为(  )‎ A. B.2‎ C. D. 解析:选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,‎ 所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,‎ 所以ω2=+2kπ,k∈Z,又ω-(-ω)≤·,ω>0,‎ 即ω2≤,即ω2=,所以ω=.‎ ‎4.(2018·湖南省湘中名校联考)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是(  )‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析:选C.因为f(x)≤对x∈R恒成立,即==1,所以φ=kπ+(k∈Z).因为f>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),‎ 即sin φ<0,所以φ=-π+2kπ(k∈Z),所以f(x)=sin(2x-π),所以由三角函数的单调性知2x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),得x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)即为f(x)的单调递增区间,故选C.‎ ‎5.已知f(x)=sin.‎ ‎(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ 解:(1)f(x)=sin,‎ 令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.‎ 所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.‎ ‎(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(3)当x∈时,≤2x+≤,‎ 所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.‎ ‎6.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.‎ 解:(1)因为x∈,所以2x+∈.‎ 所以sin∈,‎ 所以-2asin∈[-2a,a].‎ 所以f(x)∈[b,3a+b],‎ 又因为-5≤f(x)≤1,‎ 所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.‎ ‎(2)由(1)得,‎ f(x)=-4sin-1,‎ g(x)=f=-4sin-1‎ ‎=4sin-1,‎ 又由lg g(x)>0,得g(x)>1,‎ 所以4sin-1>1,所以sin>,‎ 所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,‎ 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ
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