2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

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2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

‎2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1.已知为非零实数,且,则下列命题成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 若ab2,A不成立;若B不成立;若a=1,b=2,则,所以D不成立 ,故选C.‎ ‎2.设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:,‎ ‎,若AB,则有或 ‎【考点】1.绝对值不等式解法;2.集合的子集关系 ‎3.已知函数,且,,集合,则下列结论中正确的是( )‎ A.任意,都有 B.任意,都有 C.存在,都有 D.存在,都有 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得 ,且,,为的一个零点,再由根与系数的关系可得,另一零点为.可得,,有 恒成立,从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:函数,且,,故有,且,‎ ‎,即,且,‎ 即,因此有,‎ 又,故为的一个零点,‎ 由根与系数的关系可得,另一零点为,所以有:,‎ 所以,,所以有恒成立,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质,一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想,属于中档题.‎ ‎4.设,,.记集合,,若、分别表示集合,的元素个数,则下列结论不可能的是( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】给a,b,c,d取特值,可排除A,B,C,再根据解析式关系,确定对应根的关系,即可判断D.‎ ‎【详解】‎ 当a=b=c=d=0时,f(x)=x3,g(x)=1,此时Crad(S)=1,Card(T)=0,排除A;‎ 当a=b=c=d=1时,f(x)=(x+1)(x3+x2+x+1)=(x+1)2(x2+1),‎ g(x)=x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1),此时Card(S)=1,Card(T)=1,排除B;‎ 当a=2,b=c=d=1时,f(x)(x+2)(x+1)(x2+1),‎ 此时Card(S)=2,g(x)=(2x+1)(x+1)(x2+1),此时Card(T)=2,排除C;‎ 当时 又当时,而,所以,因此结论不可能的是D.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式以及函数零点,考查综合分析判断能力,属中档题.‎ 二、填空题 ‎5.不等式的解集为________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据绝对值定义化简求解 ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎6.已知集合,,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据交集的定义即可写出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ 故填 ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集,需熟练掌握集合交集的定义,属于基础题。‎ ‎7.设,则是成立的________条件;‎ ‎【答案】充要 ‎【解析】根据不等式性质等价转化,即可判定充要关系.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:充要 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质以及充要关系判断,考查基本分析判断能力,属基础题.‎ ‎8.不等式的解集为________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分式不等式解法求解 ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式解法,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎9.已知集合,,若,则实数a的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可知,集合A与集合B没有公共元素,即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以集合A与集合B没有公共元素 则 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合之间的基本关系,属于基础题.‎ ‎10.已知,若,则或”是_______命题(填“真”或“假”).‎ ‎【答案】真 ‎【解析】判断原命题的逆否命题为真,从而得到原命题为真.‎ ‎【详解】‎ 原命题的逆否命题为:若且,则.‎ 由同向不等式可加性,所以逆否命题为真,‎ 所以原命题为真.‎ 故答案为:真.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查原命题与逆否命题的等价性,如果原命题真假性不好判断,可转化成判断其逆否命题.‎ ‎11.关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论和两种情况,求出关于x的不等式的解集为时,对应的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 当时,不等式化为恒成立,所以,‎ 当时,因为关于x的不等式的解集为, ‎ 得 综上:实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解集应用问题,是基础题.‎ ‎12.已知,,若,则实数的取值范围是________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先解不等式得集合A,再根据讨论B,最后根据求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时;当时;当时;‎ 因为,所以或或,即,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式以及根据集合包含关系求范围,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎13.已知关于的不等式有解,则实数的取值范围是________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据绝对值三角不等式得最大值,再根据不等式有解条件确定结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 又关于的不等式有解,所以 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎14.已知关于的方程的两个根,,且在区间上恰好有两个正整数解,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由方程与函数的相互转化得:设f(x)=x2﹣2ax+3﹣2a, ‎ 由二次函数区间根问题得:方程在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则,解得a的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 设f(x)=x2﹣2ax+3﹣2a,‎ 由已知有:,则1,‎ 则y=f(x)的对称轴方程为:x=a∈(1,],‎ 由在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,‎ 则,解得:,‎ 即实数a的取值范围是,‎ 故答案为:(,]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了方程与函数的相互转化及二次函数区间根问题,属中档题.‎ ‎15.定义区间,,,的长度均为,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如的长度,设,,其中表示不超过的最大整数,.若用表示不等式解集区间的长度,则当时,________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据解得取值范围,再得取值范围,最后根据定义得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义以及解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎16.对于集合,定义函数,对于两个集合,‎ ‎,定义集合.已知,,用表示有限集合中的元素个数,则对于任意集合,的最小值为________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据定义化简,,再确定,最小值取法,即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以 因此,‎ 从而当最大时,,最小 因为,所以当时+最小,为 故答案为:4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义以及集合交并补运算,考查综合分析求解能力,属难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知关于的不等式:.‎ ‎(1)当时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)当时,求此不等式的解集.‎ ‎【答案】(1);(2)答案不唯一,见解析 ‎【解析】(1)先移项,再结合不等式性质求解 ‎(2)先移项,再根据的值分类讨论,确定对应解集 ‎【详解】‎ ‎(1)当时,,即不等式的解集为;‎ ‎(2)‎ 当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解为;‎ 当时,不等式的解为;‎ 综上:当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含参数分式不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎18.命题甲:关于的方程有两个相异负根;命题乙:不等式对恒成立.‎ ‎(1)若这两个命题至少有一个成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若这两个命题有且仅有一个成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2);‎ ‎【解析】(1)先确定命题甲与乙成立时实数的取值范围;再求并集得结果;‎ ‎(2)先确定命题甲与乙成立时实数的取值范围;再分类讨论求解得结果.‎ ‎【详解】‎ 命题甲:因为关于的方程有两个相异负根;所以 命题乙:因为不等式对恒成立,所以不等式对恒成立,所以或 ‎(1)因为这两个命题至少有一个成立,所以或或,即 ‎(2)因为若这两个命题有且仅有一个成立,所以或 即 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立、一元二次方程实根分布以及根据命题真假求范围,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎19.若存在满足下列三个条件的集合,,,则称偶数为“萌数”:‎ ‎①集合,,为集合的个非空子集,,,两两之间的交集为空集,且;②集合中的所有数均为奇数,集合中的所有数均为偶数,所有的倍数都在集合中;③集合,,所有元素的和分别为,,,且.注:.‎ ‎(1)判断:是否为“萌数”?若为“萌数”,写出符合条件的集合,,,若不是“萌数”,说明理由.‎ ‎(2)证明:“”是“偶数为萌数”成立的必要条件.‎ ‎【答案】(1)是,,,;(2)证明见解析;‎ ‎【解析】(1)根据条件先确定,再根据和确定以及,最后确定C;‎ ‎(2)说明时不可能成立,即可证得结果 ‎【详解】‎ ‎(1) 因为所有的倍数都在集合中,所以 因为,即为“萌数”, ,,;‎ ‎(2)当时,因为所有的倍数都在集合中,所以 而,即时,偶数不为萌数;‎ 当时,因为,所以 时,偶数不为萌数;‎ 因此偶数为萌数时,,即“”是“偶数为萌数”成立的必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义、等差数列求和以及必要条件证明,考查综合分析求证能力,属较难题.‎ ‎20.已知集合,.‎ ‎(1)求集合;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若,求实数的取值范围;‎ ‎【答案】(1);(2);(3);‎ ‎【解析】(1)解一元二次不等式得集合A;‎ ‎(2)根据集合包含关系,结合二次函数图象列不等式,解得结果;‎ ‎(3))根据集合包含关系,讨论集合B解集,再结合二次函数图象列不等式,解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎(2)因为,,所以不等式在上恒成立,即 ‎(3)若,则,此时满足;‎ 若则;‎ 若则;此时满足;‎ 若或则由得;‎ 综上:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式以及根据集合包含关系求参数,考查综合分析求解能力,属较难题.‎ ‎21.已知是满足下列条件的集合:① ,;② 若,则 ‎;③ 若且,则.‎ ‎(1)判断是否正确,说明理由;‎ ‎(2)证明:“”是“”的充分条件;‎ ‎(3)证明:若,则.‎ ‎【答案】(1)正确,理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 ‎【解析】(1)由①②容易得到,所以由③得到;;‎ ‎(2),能得到,由已知条件知,所以只要证明任意的正整数即可得到任意的整数,可考虑用数学归纳法来证:1,,假设,则,所以根据数学归纳法对任意正整数,所以便得到是的充分条件;‎ ‎(3)先构造出,所以可先证明:若,,则,.先证明,设,,则得到,,,所以,所以,所以得到,由前面知,,,所以,,所以便可得到,,从而.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)正确;证明如下:‎ 由①,,由②知,‎ ‎,‎ 由③知;‎ ‎(2)证明:由②知,若,则,故只需证明任意正整数即可,‎ 由(1)知,,假设正整数,则,‎ 由数学归纳法知:任意正整数,‎ 即,是的充分条件;‎ ‎(3)先证:若,则,‎ 由②知,若,且,,则;‎ 由③知,,‎ 所以,所以,所以得到,‎ 再证:若,,则,‎ ‎,;‎ ‎,由③知,‎ 由前面知:、、、、,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对给出的新信息的运用,以及数学归纳法在证明正整数问题的运用,而想到是求解本题的关键.本题属于难题.‎
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