高考一轮复习数学理新课标 第一篇 集合与常用逻辑用语 2 命题及其关系充分条件与必要条件

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高考一轮复习数学理新课标 第一篇 集合与常用逻辑用语 2 命题及其关系充分条件与必要条件

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1.考查四种命题的意义及相互关系.‎ ‎2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解.‎ ‎3.考查题型主要以选择题、填空题形式出现,常与集合、几何等知识结合命题.‎ ‎【复习指导】‎ 复习时一定要紧扣概念,联系具体数学实例,理清命题之间的相互关系,重点解决:(1)命题的概念及命题构成;(2)四种命题及四种命题间的相互关系;(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定.  ‎ 基础梳理 ‎1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.‎ ‎2.四种命题及其关系 ‎(1)四种命题 命 题 表述形式 原命题 若p,则q 逆命题 若q,则p 否命题 若綈p,则綈q 逆否命题 若綈q,则綈p ‎(2)四种命题间的逆否关系 ‎(3)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;‎ ‎(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.‎ 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.‎ 两条规律 ‎(1)逆命题与否命题互为逆否命题;‎ ‎(2)互为逆否命题的两个命题同真假.‎ 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 ‎(1)定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.‎ ‎(2)等价法:利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.‎ ‎(3)集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.‎ 双基自测 ‎1.(人教A版教材习题改编)以下三个命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②‎ ‎“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.其中真命题的序号是________.‎ 解析 ①由2>-3⇒/ 22>(-3)2知,该命题为假;‎ ‎②a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|,该命题为真;‎ ‎③a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b;‎ ‎∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题.‎ 答案 ②③‎ ‎2.(2011·陕西)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(  ).‎ ‎A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b|‎ C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b 解析 “若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=-b”.‎ 答案 D ‎3.(2011·山东)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的(  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),‎ ‎∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,‎ ‎∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数,故选B.‎ 答案 B ‎4.(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(  ).‎ A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析 原命题是全称命题,则其否定是特称命题,故选D.‎ 答案 D ‎5.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 .‎ 答案 若a≤b,则有2a≤2b-1‎ 考向一 命题正误的判断 ‎【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B,有下列四个命题:‎ ‎①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B;‎ ‎②A⃘B⇔A∩B=∅;‎ ‎③A⃘B⇔B⃘A;‎ ‎④A⃘B⇔存在x∈A,使得x∉B.‎ 其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上).‎ ‎[审题视点] 对于假命题,举出恰当的反例是一难点.‎ 解析 ①不正确,如A={1,2,3},B={2,3,4},有A⃘B但2∈A且2∈B.‎ ‎②不正确,如A={1,2},B={2,3},有A⃘B而A∩B={2}.‎ ‎③不正确,如A={1,2},B={2},有A⃘B但B⊆A.‎ ‎④正确.‎ 答案 ④‎ ‎ 正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要.‎ ‎【训练1】 给出如下三个命题:‎ ‎①四个非零实数a,b,c,d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;‎ ‎②设a,b∈R,且ab≠0,若<1,则>1;‎ ‎③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.‎ 其中不正确命题的序号是(  ).‎ A.①②③ B.①②‎ C.②③ D.①③‎ 解析 对于①,可举反例:如a,b,c,d依次取值为1,4,2,8,故①错;对于②‎ ‎,可举反例:如a、b异号,虽然<1,但<0,故②错;对于③,y=f(|x|)=log2|x|,显然为偶函数,故选B.‎ 答案 B 考向二 四种命题的真假判断 ‎【例2】►已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是(  ).‎ A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 ‎[审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键.‎ 解析 f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤ex在(0,+∞)上恒成立,故m≤1,这说明原命题正确,反之若m≤1,则f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选D.‎ 答案 D ‎ 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先判断其逆否命题的真假.‎ ‎【训练2】 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上,h(x)=f(x)·g(x),如果f(x)、g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是(  ).‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析 由f(x)、g(x)均为奇函数,可得h(x)=f(x)·g(x)为偶函数,反之则不成立,如h(x)=x2是偶函数,但函数f(x)=,g(x)=ex 都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也不正确,即只有原命题和逆否命题正确.‎ 答案 C 考向三 充要条件的判断 ‎【例3】►指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).‎ ‎(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B;‎ ‎(2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;‎ ‎(3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;‎ ‎(4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,‎ q:(x-1)(y-2)=0.‎ ‎[审题视点] 结合充分条件,必要条件的定义判断所给命题间的关系.‎ 解 (1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.‎ ‎(2)易知,綈p:x+y=8,綈q:x=2且y=6,显然綈q⇒綈p,但綈p⇒/ 綈q,即綈q是綈p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.‎ ‎(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.‎ ‎(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,‎ 所以p⇒q但q⇒/ p,故p是q的充分不必要条件.‎ ‎ 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.‎ ‎【训练3】 (2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a1<a2且a1>0,则a1(1-q)<0,a1>0且q>1,则数列{an ‎}递增;反之亦然.‎ 答案:C 难点突破2——高考中充要条件的求解 从近几年课改区高考试题可以看出,高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查,一般难度不大,属中档题,常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查.考查形式主要有两种:一是判断指定的条件与结论之间的关系;二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件.‎ 判断充分、必要条件要从两方面考虑:一是必须明确哪个是条件,哪个是结论;二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立,该类问题虽然属于容易题,但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分.‎ 一、充要条件与不等式的解题策略 ‎【示例】►(2011·天津)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、充要条件与方程结合的解题策略 ‎【示例】► (2011·陕西)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.‎ 三、充要条件与数列结合的解题策略 ‎【示例】► (2010·山东)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四、充要条件与向量结合的解题策略 ‎【示例】►(2010·福建)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的(  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 五、充要条件与三角函数结合的解题策略 ‎【示例】► (2010·上海)“x=2kπ+(k∈Z)”是“tan x=1”成立的(  ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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