高考第一轮复习数学5.2 向量的数量积

高考第一轮复习数学5.2 向量的数量积

‎5.2 向量的数量积 ‎●知识梳理 ‎1.数量积的概念：‎ ‎（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.‎ ‎（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.‎ ‎（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.‎ ‎2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.‎ ‎（1）e·a=a·e=|a|cosθ.‎ ‎（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=.‎ ‎（3）a⊥ba·b=0.‎ ‎（4）cosθ=.‎ ‎（5）|a·b|≤|a||b|.‎ ‎3.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.‎ ‎4.向量数量积的坐标运算：‎ 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ‎（1）a·b=x1x2+y1y2；‎ ‎（2）|a|=；‎ ‎（3）cos〈a，b〉=；‎ ‎（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.‎ 思考讨论 ‎（a·b）c与a（b·c）是否相等?‎ ‎●点击双基 ‎1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于 A. B. C. D.4‎ 解析：|a+3b|====.‎ 答案：C ‎2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是 A.2 B‎.4 ‎ C.6 D.12‎ 解析：（a+2b）·（a－3b）=|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0.∴（|a|－6）·（|a|+4）=0.∴|a|=6.‎ 答案：C ‎3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 A.λ＞ B.λ≥ C.λ＜ D.λ≤ 解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.‎ ‎∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.‎ 答案：A ‎4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为____________.‎ 解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.‎ ‎∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.‎ ‎∴||==2，∴λ=2.‎ 则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），‎ ‎∴∵∴ ‎∴B点坐标为（5，4）.‎ 答案：（5，4）‎ ‎（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=‎3a，则点B的坐标为____________.‎ 解析：设B点坐标为（xB，yB），‎ 则=（xB+1，yB+5）=‎3a=（6，9），‎ ‎∴∴ ‎∴B（5，4）.‎ 答案：（5，4）‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 判断下列各命题正确与否：‎ ‎（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；‎ ‎（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；‎ ‎（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；‎ ‎（4）对任一向量a，有a2=|a|2.‎ 剖析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a·a=|a|2可判断.‎ 解：（1）a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）.∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ.‎ ‎∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴（1）不正确.‎ ‎（2）若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）.‎ ‎∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.‎ ‎∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.‎ 当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等.‎ ‎∴（2）不正确.‎ ‎（3）（a·b）c=（|a||b|cosα）c，‎ a（b·c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）.‎ ‎（a·b）c是与c共线的向量，‎ a（b·c）是与a共线的向量.‎ ‎∴（3）不正确.（4）正确.‎ 评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.‎ ‎【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.‎ ‎（1）当·取最小值时，求的坐标；‎ ‎（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.‎ 剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.‎ 解：（1）设=（x，y），‎ ‎∵点X在直线OP上，∴向量与共线.‎ 又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.‎ ‎∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），‎ ‎∴=（1－2y，7－y）.‎ 同样=－=（5－2y，1－y）.‎ 于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8.‎ ‎∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）.‎ ‎（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）.‎ ‎∴||=，||=.‎ ‎∴cos∠AXB==－.‎ 评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而（2）中即为数量积定义的应用.‎ ‎【例3】 已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1.‎ 求证：△P1P2P3是正三角形.‎ 剖析：由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心，要证△P1P2P3是正三角形，只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可，即需求与，与，与的夹角.由++=0变形可出现数量积，进而求夹角.‎ 证明：∵++=0，∴+=－.∴|+|=|－|.‎ ‎∴||2+||2+2·=||2.‎ 又∵||=||=||=1，‎ ‎∴·=－.‎ ‎∴｜｜||cos∠P1OP2=－，‎ 即∠P1OP2=120°.‎ 同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°.‎ ‎∴△P1P2P3为等边三角形.‎ 评述：解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积，进而求夹角.‎ 深化拓展 本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），‎ 则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.‎ 由++=0，‎ 得∴ 由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.‎ ‎∴2+2（x1x2+y1y2）=1.‎ ‎∴||= ‎= ‎==.‎ 同理||=，||=.‎ ‎∴△P1P2P3为正三角形.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为 A. B. C. D. 解析：a在b方向上的投影为===.‎ 答案：C ‎2.已知|a|=10，|b|=12，且（‎3a）·（b）=－36，则a与b的夹角是 A.60° B.120° C.135° D.150°‎ 解析：由（‎3a）·（b）=－36得a·b=－60.‎ ‎∴cos〈a，b〉==－.‎ 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.‎ 答案：B ‎3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb（λ、μ∈R，且λμ≠0），则 A.c∥d B.c⊥d C.c不平行于d，也不垂直于d D.以上三种情况均有可能 解析：∵c⊥a，c⊥b，∴c·a=0，c·b=0.‎ ‎∴c·d=c·（λa+μb）=c·（λa）+c·（μb）=λc·a+μc·b=0.‎ 答案：B ‎4.给出下列命题：‎ ‎①若a2+b2=0，则a=b=0；‎ ‎②已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，‎ 则|a·c|=|b·c|；‎ ‎③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；‎ ‎④a与b是共线向量a·b=|a||b|.‎ 其中真命题的序号是_______.（请把你认为是真命题的序号都填上）‎ 解析：①a2+b2=0，∴|a|=－|b|.‎ 又|a|≥0，|b|≥0，‎ ‎∴|a|=|b|=0.∴a=b=0.∴①正确.‎ ‎②a+b=0，∴a=－b，|a·c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b·c|=|b||c||cos〈b，c〉|=|a||c||cos〈－a，c〉|=‎ ‎|a||c||cos（π－〈a，c〉）|=|a||c||cos〈a，c〉|.∴②正确.‎ ‎③cosC===.‎ ·=||||cos（π－C）=5×8×（－）=－20.∴③不正确.‎ ‎④a与b是共线向量a=λb（b≠0）a·b=λb2，而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|2.‎ ‎∴④不正确.‎ 答案：①②‎ ‎5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.‎ 解：a+λb与λa+b的夹角为锐角，‎ 即（a+λb）·（λa+b）＞0，‎ 也就是λa2+（λ2+1）a·b+λb2＞0，‎ 即2λ+（λ2+1）··3·+9λ＞0，‎ 解得λ＜或λ＞.‎ ‎6.如下图，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°.‎ 求点B和向量的坐标.‎ 分析：这里关键是求出B点的坐标，设B（x，y），由⊥和||=||，则可列出x、y的方程组.‎ 解：设B点坐标为（x，y），‎ 则=（x，y），=（x－5，y－2）.‎ ‎∵⊥，∴x（x－5）+y（y－2）=0，‎ 即x2+y2－5x－2y=0. ①‎ 又||=||，‎ ‎∴x2+y2=（x－5）2+（y－2）2，‎ 即10x+4y=29. ②‎ 解①②得 或 ‎∴B点坐标为（，－）或（，）.‎ 故=（－，－）或=（－，）‎ 培养能力 ‎7.（2004年浙江，14）（理）已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于_______.‎ 解析：∵||2+||2=||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.‎ ‎∴·+·+·=0+||||cos（π－∠C）+||||cos（π－∠A）=－25.‎ 答案：－25‎ ‎（文）已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·的值等于_________.‎ 解析：∵||2+||2=||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.‎ ‎∴·+·+·=||||cos（π－∠B）+0+||||cos（π－∠A）=－4.‎ 答案：－4‎ ‎8.已知F1（－1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3·+·=0.‎ ‎（1）求动点P的轨迹方程.‎ ‎（2）是否存在点P，使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）设P（x，y），则=（－1－x，－y），=（1－x，－y）， =（－x，－y）.‎ ‎∴·=（－1－x）（－x）+（－y）2=（x+1）（x－）2+y2，‎ ·=（1－x）·（－x）+（－y）2=（x－1）（x－）+y2.‎ ‎∴3［（x+1）（x－）+y2］+（x－1）（x－）+y2=0.‎ ‎∴x2+y2=即为P点的轨迹方程.‎ ‎（2）设存在，则cos∠F1PA=cos∠APF2.‎ ‎∴.‎ 将条件3·=－·代入上式不成立.∴不存在.‎ 探究创新 ‎9.已知平面向量a=（，－1），b=（，），‎ ‎（1）证明：a⊥b；‎ ‎（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t2－3）b，y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；‎ ‎（3）据（2）的结论，确定函数k=f（t）的单调区间.‎ ‎（1）证明：a·b=×+（－1）×=0.‎ ‎（2）解：∵x⊥y，∴x·y=0，且a·b=0，a2=4，b2=1，整理得－4k+t（t2－3）=0，‎ ‎∴k= t（t2－3）.‎ ‎（3）解：记f（t）=（t3－3t），∴（t）=t2－.令（t）＞0得t＜－1或t＞1.因此，当t∈（－∞，－1）时，f（t）是增函数；当t∈（1，+∞）时，f（t）也是增函数.再令（t）＜0，得－1＜t＜1，故t∈（－1，1）时，f（t）是减函数.‎ ‎●思悟小结 ‎1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点.‎ ‎2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.‎ ‎3.向量a与b的夹角：（1）当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角；（2）0°≤〈a，b〉≤180°；（3）cos〈a，b〉==.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.本课时复习的重点是：平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.‎ ‎2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量.‎ ‎3.要让学生掌握向量的夹角的含义.要会用cosθ=或cosθ=求两向量的夹角.‎ 拓展题例 ‎【例题】 在△ABC中，（1）若=a，=b，求证：S△ABC=；（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求证：△ABC的面积S△=|a1b2－a2b1|.‎ 证明：（1）设a、b的夹角为θ，△ABC的面积S△=||||sinθ=|a||b|sinθ.‎ ‎∵sin2θ=1－cos2θ=1－（）2，‎ ‎∴S△2=（|a||b|）2sin2θ ‎=（|a||b|）2［1－（）2］‎ ‎=［（|a||b|）2－（a·b）2］.‎ ‎∴S△=.‎ ‎（2）记=a，=b，则a=（a1，a2），b=（b1，b2）.∴|a|2=a12+a22，|b|2=b12+b22，‎ ‎|a·b|2=（a1b1+a2b2）2.‎ 由（1）可知S△= ‎= ‎=，‎ ‎∴S△=|a1b2－a2b1|.‎ 评述：（1）是用数量积给出的三角形的面积公式；（2）是用向量坐标给出的三角形的面积公式.‎