高考第一轮复习数学5.2 向量的数量积

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高考第一轮复习数学5.2 向量的数量积

‎5.2 向量的数量积 ‎●知识梳理 ‎1.数量积的概念:‎ ‎(1)向量的夹角:如下图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.‎ ‎(2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.‎ ‎(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.‎ ‎2.数量积的性质:设e是单位向量,〈a,e〉=θ.‎ ‎(1)e·a=a·e=|a|cosθ.‎ ‎(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=|a|2,或|a|=.‎ ‎(3)a⊥ba·b=0.‎ ‎(4)cosθ=.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎3.运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎4.向量数量积的坐标运算:‎ 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ‎(1)a·b=x1x2+y1y2;‎ ‎(2)|a|=;‎ ‎(3)cos〈a,b〉=;‎ ‎(4)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.‎ 思考讨论 ‎(a·b)c与a(b·c)是否相等?‎ ‎●点击双基 ‎1.(2004年全国Ⅰ,3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于 A. B. C. D.4‎ 解析:|a+3b|====.‎ 答案:C ‎2.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是 A.2 B‎.4 ‎ C.6 D.12‎ 解析:(a+2b)·(a-3b)=|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0.∴(|a|-6)·(|a|+4)=0.∴|a|=6.‎ 答案:C ‎3.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A.λ> B.λ≥ C.λ< D.λ≤ 解析:∵a与b的夹角为钝角,∴cos〈a,b〉<0.‎ ‎∴a·b<0.∴-3λ+10<0.∴λ>.‎ 答案:A ‎4.(2004年上海,6)(理)已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,||=2,则点B的坐标为____________.‎ 解析:设A点坐标为(xA,yA),B点坐标为(xB,yB).‎ ‎∵与a同向,∴可设=λa=(2λ,3λ)(λ>0).‎ ‎∴||==2,∴λ=2.‎ 则=(xB-xA,yB-yA)=(4,6),‎ ‎∴∵∴ ‎∴B点坐标为(5,4).‎ 答案:(5,4)‎ ‎(文)已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=‎3a,则点B的坐标为____________.‎ 解析:设B点坐标为(xB,yB),‎ 则=(xB+1,yB+5)=‎3a=(6,9),‎ ‎∴∴ ‎∴B(5,4).‎ 答案:(5,4)‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 判断下列各命题正确与否:‎ ‎(1)若a≠0,a·b=a·c,则b=c;‎ ‎(2)若a·b=a·c,则b≠c当且仅当a=0时成立;‎ ‎(3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立;‎ ‎(4)对任一向量a,有a2=|a|2.‎ 剖析:(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a2转化成a·a=|a|2可判断.‎ 解:(1)a·b=a·c,∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b,a与c的夹角).∵|a|≠0,∴|b|cosα=|c|cosβ.‎ ‎∵cosα与cosβ不一定相等,∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴(1)不正确.‎ ‎(2)若a·b=a·c,则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β为a与b,a与c的夹角).‎ ‎∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0.‎ ‎∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.‎ 当b≠c时,|b|cosα与|c|cosβ可能相等.‎ ‎∴(2)不正确.‎ ‎(3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c,‎ a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分别为a与b,b与c的夹角).‎ ‎(a·b)c是与c共线的向量,‎ a(b·c)是与a共线的向量.‎ ‎∴(3)不正确.(4)正确.‎ 评述:判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义,向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.‎ ‎【例2】 平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点X为直线OP上的一个动点.‎ ‎(1)当·取最小值时,求的坐标;‎ ‎(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求cos∠AXB的值.‎ 剖析:因为点X在直线OP上,向量与共线,可以得到关于坐标的一个关系式,再根据·的最小值,求得的坐标,而cos∠AXB是与夹角的余弦,利用数量积的知识易解决.‎ 解:(1)设=(x,y),‎ ‎∵点X在直线OP上,∴向量与共线.‎ 又=(2,1),∴x-2y=0,即x=2y.‎ ‎∴=(2y,y).又=-,=(1,7),‎ ‎∴=(1-2y,7-y).‎ 同样=-=(5-2y,1-y).‎ 于是·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.‎ ‎∴当y=2时,·有最小值-8,此时=(4,2).‎ ‎(2)当=(4,2),即y=2时,有=(-3,5),=(1,-1).‎ ‎∴||=,||=.‎ ‎∴cos∠AXB==-.‎ 评述:(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决,因此解题关键在于寻找变量,以构造函数.而(2)中即为数量积定义的应用.‎ ‎【例3】 已知向量、、满足++ =0,||=||=||=1.‎ 求证:△P1P2P3是正三角形.‎ 剖析:由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心,要证△P1P2P3是正三角形,只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可,即需求与,与,与的夹角.由++=0变形可出现数量积,进而求夹角.‎ 证明:∵++=0,∴+=-.∴|+|=|-|.‎ ‎∴||2+||2+2·=||2.‎ 又∵||=||=||=1,‎ ‎∴·=-.‎ ‎∴||||cos∠P1OP2=-,‎ 即∠P1OP2=120°.‎ 同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°.‎ ‎∴△P1P2P3为等边三角形.‎ 评述:解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积,进而求夹角.‎ 深化拓展 本题也可用如下方法证明:以O点为坐标原点建立直角坐标系,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),‎ 则=(x1,y1),=(x2,y2),=(x3,y3).‎ 由++=0,‎ 得∴ 由||=||=||=1,得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.‎ ‎∴2+2(x1x2+y1y2)=1.‎ ‎∴||= ‎= ‎==.‎ 同理||=,||=.‎ ‎∴△P1P2P3为正三角形.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 A. B. C. D. 解析:a在b方向上的投影为===.‎ 答案:C ‎2.已知|a|=10,|b|=12,且(‎3a)·(b)=-36,则a与b的夹角是 A.60° B.120° C.135° D.150°‎ 解析:由(‎3a)·(b)=-36得a·b=-60.‎ ‎∴cos〈a,b〉==-.‎ 又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.‎ 答案:B ‎3.若向量c垂直于向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则 A.c∥d B.c⊥d C.c不平行于d,也不垂直于d D.以上三种情况均有可能 解析:∵c⊥a,c⊥b,∴c·a=0,c·b=0.‎ ‎∴c·d=c·(λa+μb)=c·(λa)+c·(μb)=λc·a+μc·b=0.‎ 答案:B ‎4.给出下列命题:‎ ‎①若a2+b2=0,则a=b=0;‎ ‎②已知a、b、c是三个非零向量,若a+b=0,‎ 则|a·c|=|b·c|;‎ ‎③在△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;‎ ‎④a与b是共线向量a·b=|a||b|.‎ 其中真命题的序号是_______.(请把你认为是真命题的序号都填上)‎ 解析:①a2+b2=0,∴|a|=-|b|.‎ 又|a|≥0,|b|≥0,‎ ‎∴|a|=|b|=0.∴a=b=0.∴①正确.‎ ‎②a+b=0,∴a=-b,|a·c|=|a||c||cos〈a,c〉|,|b·c|=|b||c||cos〈b,c〉|=|a||c||cos〈-a,c〉|=‎ ‎|a||c||cos(π-〈a,c〉)|=|a||c||cos〈a,c〉|.∴②正确.‎ ‎③cosC===.‎ ·=||||cos(π-C)=5×8×(-)=-20.∴③不正确.‎ ‎④a与b是共线向量a=λb(b≠0)a·b=λb2,而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|2.‎ ‎∴④不正确.‎ 答案:①②‎ ‎5.已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,λ的取值范围.‎ 解:a+λb与λa+b的夹角为锐角,‎ 即(a+λb)·(λa+b)>0,‎ 也就是λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,‎ 即2λ+(λ2+1)··3·+9λ>0,‎ 解得λ<或λ>.‎ ‎6.如下图,以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB,使∠B=90°.‎ 求点B和向量的坐标.‎ 分析:这里关键是求出B点的坐标,设B(x,y),由⊥和||=||,则可列出x、y的方程组.‎ 解:设B点坐标为(x,y),‎ 则=(x,y),=(x-5,y-2).‎ ‎∵⊥,∴x(x-5)+y(y-2)=0,‎ 即x2+y2-5x-2y=0. ①‎ 又||=||,‎ ‎∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,‎ 即10x+4y=29. ②‎ 解①②得 或 ‎∴B点坐标为(,-)或(,).‎ 故=(-,-)或=(-,)‎ 培养能力 ‎7.(2004年浙江,14)(理)已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于_______.‎ 解析:∵||2+||2=||2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,其中∠B=90°.‎ ‎∴·+·+·=0+||||cos(π-∠C)+||||cos(π-∠A)=-25.‎ 答案:-25‎ ‎(文)已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=,则·+·+·的值等于_________.‎ 解析:∵||2+||2=||2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.‎ ‎∴·+·+·=||||cos(π-∠B)+0+||||cos(π-∠A)=-4.‎ 答案:-4‎ ‎8.已知F1(-1,0),F2(1,0),A(,0),动点P满足3·+·=0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程.‎ ‎(2)是否存在点P,使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y), =(-x,-y).‎ ‎∴·=(-1-x)(-x)+(-y)2=(x+1)(x-)2+y2,‎ ·=(1-x)·(-x)+(-y)2=(x-1)(x-)+y2.‎ ‎∴3[(x+1)(x-)+y2]+(x-1)(x-)+y2=0.‎ ‎∴x2+y2=即为P点的轨迹方程.‎ ‎(2)设存在,则cos∠F1PA=cos∠APF2.‎ ‎∴.‎ 将条件3·=-·代入上式不成立.∴不存在.‎ 探究创新 ‎9.已知平面向量a=(,-1),b=(,),‎ ‎(1)证明:a⊥b;‎ ‎(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);‎ ‎(3)据(2)的结论,确定函数k=f(t)的单调区间.‎ ‎(1)证明:a·b=×+(-1)×=0.‎ ‎(2)解:∵x⊥y,∴x·y=0,且a·b=0,a2=4,b2=1,整理得-4k+t(t2-3)=0,‎ ‎∴k= t(t2-3).‎ ‎(3)解:记f(t)=(t3-3t),∴(t)=t2-.令(t)>0得t<-1或t>1.因此,当t∈(-∞,-1)时,f(t)是增函数;当t∈(1,+∞)时,f(t)也是增函数.再令(t)<0,得-1<t<1,故t∈(-1,1)时,f(t)是减函数.‎ ‎●思悟小结 ‎1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点,用数量积处理向量垂直问题,向量的长度、角度问题是难点.‎ ‎2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算,它是向量与向量的运算,结果却是一个数量,所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.‎ ‎3.向量a与b的夹角:(1)当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角;(2)0°≤〈a,b〉≤180°;(3)cos〈a,b〉==.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.本课时复习的重点是:平面向量的数量积及其几何意义,掌握向量垂直的条件,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.‎ ‎2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算,它是向量与向量的运算,结果却是一个数量.‎ ‎3.要让学生掌握向量的夹角的含义.要会用cosθ=或cosθ=求两向量的夹角.‎ 拓展题例 ‎【例题】 在△ABC中,(1)若=a,=b,求证:S△ABC=;(2)若=(a1,a2),=(b1,b2),求证:△ABC的面积S△=|a1b2-a2b1|.‎ 证明:(1)设a、b的夹角为θ,△ABC的面积S△=||||sinθ=|a||b|sinθ.‎ ‎∵sin2θ=1-cos2θ=1-()2,‎ ‎∴S△2=(|a||b|)2sin2θ ‎=(|a||b|)2[1-()2]‎ ‎=[(|a||b|)2-(a·b)2].‎ ‎∴S△=.‎ ‎(2)记=a,=b,则a=(a1,a2),b=(b1,b2).∴|a|2=a12+a22,|b|2=b12+b22,‎ ‎|a·b|2=(a1b1+a2b2)2.‎ 由(1)可知S△= ‎= ‎=,‎ ‎∴S△=|a1b2-a2b1|.‎ 评述:(1)是用数量积给出的三角形的面积公式;(2)是用向量坐标给出的三角形的面积公式.‎
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