【数学】2019届一轮复习北师大版 1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 学案
学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
自主梳理
1．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.
2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
3.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．
自我检测
1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________
答案 ∀x∈R，x2－2x＋1≥0
解析 因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.
2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________
答案 xA或xB
解析 ∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，
∴綈p：xA或xB.
3．(2010·苏州调研)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)
答案 假
解析 其否命题是“若x≤0，则x2≤0”，为假命题．
4．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
答案 [1,2)
解析 x[2,5]且x{x|x<1或x>4}是真命题．
由得1≤x<2，故填[1,2)．
5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：
①∃x∈(0，＋∞)，()x<()x；
②∃x∈(0,1)，logx>logx；
③∀x∈(0，＋∞)，()x>logx；
④∀x∈(0，)，()x
1，④正确．
探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假
例1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．
解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．
解 (1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p：1不是素数．真命题．
(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．
綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．
变式迁移1 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1.
(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.
(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
解题导引 判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．
(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．
解 (1)真命题，
因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥>.
(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意．
(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N.
(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3符合题意．
变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
探究点三 全称命题与存在性命题的否定
例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．
(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．
(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假．因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假．
解 (1)綈p：∃x∈R，x2－x＋<0，这是假命题，
因为∀x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
变式迁移3 (2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 (0,1)
解析 p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，
∴Δ＝4a2－4a<0，∴09.
(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．
2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．
3．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个存在性命题“∃x∈M，綈p(x)”，存在性命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”.
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2011·常州月考)已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3≤0，则綈p为________．
答案 ∀x∈R，x2－3x＋3>0
2．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，]
解析 ∵命题綈p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时应有解得a>.因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，
实数a的范围是a≤.
3．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值
范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒
p，而pq，条件p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.
4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
答案 ∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
解析 ∀a，b∈R是大前提，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.
5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；
③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；
④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．
答案 ④
6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．
答案 ∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
7．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．
答案 m≤1
解析 命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是
______________________．
答案 对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
解析 因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
二、解答题(共42分)
9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：0∈∅，q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；
(4)p：5≤5，q：27不是质数．
解 (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，
綈p为真命题．(3分)
(2)∵1是奇数，
∴p是真命题．
又∵1不是质数，
∴q是假命题．
因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．(6分)
(3)∵0∅，∴p为假命题．
又∵x2－3x－5<0⇒0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，
由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16<0，∴－21，∴a<1.(6分)
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则
∴1≤a<2；(8分)
(2)若p假q真，
则∴a≤－2.(13分)
综上可知，所求实数a的取值范围为
1≤a<2，或a≤－2.(14分)
11．(14分)已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解 p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根⇔⇔m>2.(3分)
q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．
⇔Δ2＝16(m－2)2－16<0⇔1
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