【数学】2020届一轮复习人教B版(文)30椭圆的定义、标准方程及性质作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(文)30椭圆的定义、标准方程及性质作业

天天练30 椭圆的定义、标准方程及性质 小题狂练 一、选择题 ‎1.椭圆+y2=1的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 答案:B 解析:由题意得a=2,b=1,则c=,所以椭圆的离心率e==,故选B.‎ ‎2.[2019·佛山模拟]若椭圆mx2+ny2=1的离心率为,则=(  )‎ A. B. C.或 D.或 答案:D 解析:若焦点在x轴上,则方程化为+=1,依题意得=,所以=;若焦点在y轴上,则方程化为+=1,同理可得=.所以所求值为或.故选D.‎ ‎3.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(  )‎ A.2 B.4‎ C.8 D.2 答案:B 解析:因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a=1.根据椭圆的定义,知△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.故选B.‎ ‎4.[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(  )‎ A.1- B.2- C. D.-1‎ 答案:D 解析:在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,不妨设椭圆焦点在x轴上,且焦距|F1F2|=2,则|PF2|=1,|PF1|=,‎ 由椭圆的定义可知,方程+=1中,2a=1+,2c=2,‎ 得a=,c=1,‎ 所以离心率e===-1.故选D.‎ ‎5.[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P是椭圆+y2=1(a>1)上的点,A,B是椭圆的左、右顶点,则△PAB的面积为(  )‎ A.2 B. C. D.1‎ 答案:D 解析:由题可得+=1,∴a2=2,解得a=(负值舍去),则S△PAB=×2a×=1,故选D.‎ ‎6.[2019·河南安阳模拟]已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且·(+)=0(O为坐标原点).若||=||,则椭圆的离心率为(  )‎ A.- B. C.- D. 答案:A 解析:以OF1,OP为邻边作平行四边形,根据向量加法的平行四边形法则,由·(+)=0知此平行四边形的对角线互相垂直,则此平行四边形为菱形,∴|OP|=|OF1|,∴△F1PF2是直角三角形,即PF1⊥PF2.设|PF2|=x,则 ‎∴∴e===-,故选A.‎ ‎7.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.6 D.8‎ 答案:C 解析:由椭圆+=1可得F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y)(-2≤x≤2),则·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,-2≤x≤2,当且仅当x=2时,·取得最大值6.故选C.‎ ‎8.[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l:y=kx与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,其中右焦点F的坐标为(c,0),且AF与BF垂直,则椭圆C的离心率的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. 答案:C 解析:由AF与BF垂直,运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半,可得|OA|=|OF|=c,由|OA|>b,即c>b,可得c2>b2=a2-c2,即c2>a2,可得b>0)上一点,F1,F2是其左、右焦点,∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2= ‎,则椭圆的离心率为________.‎ 答案: 解析:易知∠F1PF2取最大值时,点P为椭圆+=1与y轴的交点,由余弦定理及椭圆的定义得2a2-=4c2,即a=c,所以椭圆的离心率e==.‎ ‎12.[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C:+=1与圆M:x2+y2+2x+2-r2=0(0b>0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,=, 又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.故选A.‎ ‎4.[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案:D 解析:如图,作PB⊥x轴于点B.‎ 由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1,‎ 由∠F1F2P=120°,‎ 可得|PB|=,|BF2|=1,‎ 故|AB|=a+1+1=a+2,‎ tan∠PAB===,解得a=4,‎ 所以e==.‎ 故选D.‎ ‎5.[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点.若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e为(  )‎ A. B. C. D. 答案:A 解析:∵点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,∴=2.设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,∴x=,∴|PF2|=,则|PF1|=.由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,解得c=a,∴e==.故选A.‎ ‎6.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 (  )‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ 答案:A 解析:根据椭圆定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.故选A.‎ ‎7.[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率为(  )‎ A.或 B.或 C. D. 答案:B 解析:由题意得m2=16,解得m=4或m=-4.‎ 当m=4时,曲线方程为x2+=1,故其离心率e1== = =;‎ 当m=-4时,曲线方程为x2-=1,故其离心率e2== = = .‎ 所以曲线的离心率为或.故选B.‎ ‎8.若椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)和圆x2+y2=2有四个交点,其中c为椭圆的半焦距,则椭圆的离心率e的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. 答案:A 解析:由题意可知,椭圆的上、下顶点在圆内,左、右顶点在圆外,则整理得解得b>0),A,B是C的长轴的两个端点,点M是C上的一点,满足∠MAB=30°,∠MBA=45°.设椭圆C的离心率为e,则e2=________.‎ 答案:1- 解析:由椭圆的对称性,设M(x0,y0),y0>0,A(-a,0),B(a,0).因为∠MAB=30°,∠MBA=45°,所以kBM= ‎=-1,kAM==.又因为+=1,三等式联立消去x0,y0可得==1-e2,所以e2=1-.‎ ‎11.[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)直线l过椭圆E的左焦点F,且与椭圆E交于A,B两点,若△OAB的面积为,求直线l的方程.‎ 解析:(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),‎ 由已知得解得a2=2,b2=1,‎ 所以椭圆E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由已知,直线l过左焦点F (-1,0).‎ 当直线l与x轴垂直时,A,B,‎ 此时|AB|=,则S△OAB=××1=,不满足条件.‎ 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y2),B(x2,y2).‎ 由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,‎ 所以x1+x2=-,x1x2=.‎ 因为S△OAB=|OF|·|y1-y2|=|y1-y2|,‎ 由已知S△OAB=得|y1-y2|=.‎ 因为y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=k·+2k=,‎ y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=,‎ 所以|y1-y2|= ‎= ‎=,‎ 所以k4+k2-2=0,解得k=±1,‎ 所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.‎
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