【数学】2020届一轮复习苏教版集合的运算学案

【数学】2020届一轮复习苏教版集合的运算学案

‎§1.2　集合的运算 考情考向分析　集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型主要为填空题，低档难度．‎ 集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}‎ 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}‎ 补集 设A⊆U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ‎∁UA＝{x|x∈U且x∉A}‎ 概念方法微思考 由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？‎ 提示　A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于任意非空集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)．(　×　)‎ ‎(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　)‎ ‎(3)对于任意集合A，都有∅A.(　×　)‎ ‎(4)对于任意集合A，B，∁S(A∪B)＝(∁SA)∩(∁SB)．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P14习题T11]若全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝________.‎ 答案　{1,4,5}‎ ‎3．[P10习题T4]已知集合A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1,1，－3,3}，∁UB＝{－1,0,2}，则集合B＝________.‎ 答案　{1,4,6，－3,3}‎ 解析　∵∁UA＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}．‎ 又∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．‎ ‎4．[P14习题T10]设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．‎ 答案　3‎ 解析　∵全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，‎ ‎∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，∴共有3个元素．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　显然a2＋4≠3，由a＋2＝3得a＝1，符合题意．‎ ‎6．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|22}‎ 解析　由已知可得集合A＝{x|12}．‎ ‎7．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，，则A∩B中有两个元素.‎ 题型一　集合的运算 ‎1．已知集合A＝{1,4}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝________.‎ 答案　{1}‎ 解析　依题意，根据集合交集的定义与运算，‎ 可得A∩B＝{1}．‎ ‎2．设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－15}．‎ 所以A∩(∁RB)＝{x|－35}＝{x|－33}，B－A＝{x|－3≤x<0}，‎ A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞)．‎ ‎(2)设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．‎ 答案　 解析　在数轴上表示出集合M与N(图略)，‎ 可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．‎ 当m＝0且n＝1时，M∩N＝，‎ 长度为－＝；‎ 当n＝且m＝时，M∩N＝，‎ 长度为－＝.‎ 综上，M∩N的长度的最小值为.‎ 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．‎ 跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．‎ 答案　21‎ 解析　由x2－2x－3≤0，x∈N，得(x＋1)(x－3)≤0，x∈N，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.‎ ‎(2)用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±2时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－2或a>2时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－25}，若A∪(∁RB)＝∁RB，则a的取值范围是________．‎ 答案　[－1,2]‎ 解析　由补集的定义知∁RB＝{x|－1≤x≤5}，‎ ‎∵A∪(∁RB)＝∁RB，∴A⊆∁RB.‎ 由图得解得－1≤a≤2.‎ ‎13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.‎ 答案　－1　1‎ 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－52a－1时，a<.符合题意．‎ 当B≠∅时，令 解得≤a<1.‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．‎ ‎15．已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．‎ 答案　[－，]‎ 解析　由已知，无论k取何值，椭圆＋＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点(0，m)在椭圆＋＝1上或在其内部，∴m2≤2，∴－≤m≤.‎ ‎16．已知A＝，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}(a>0)，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是______．‎ 答案　[5，＋∞)‎ 解析　由>0可得(x－2)(x－6)<0，‎ ‎∴20，∴B＝[1－a,1＋a]．‎ 由A∪B＝B，得A⊆B，‎ ‎∴∴a≥5.‎ ‎∴实数a的取值范围是[5，＋∞)．‎