【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：7-3　复数的三角表示

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：7-3　复数的三角表示

‎7.3*　复数的三角表示 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.将复数z=3化成代数形式为　　　　　;|z|=　　　　　. ‎ 解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.‎ 答案-3i　3‎ ‎2.将复数z=-2+2i化成三角形式是　　　　　. ‎ 解析模长|z|==4,设辐角为θ,tan θ=-,且点(-2,2)在第二象限,得辐角主值为π,故z=4.‎ 答案4‎ ‎3.[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　. ‎ 解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]‎ ‎=8(cos 180°+isin 180°)=-8.‎ 答案-8‎ ‎4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].‎ 解4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]‎ ‎=[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]‎ ‎=2[cos(-240°)+isin (-240°)]‎ ‎=2=-1+i.‎ ‎5.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.‎ 解z1z2=×6×cos+isin ‎=3=3i.‎ 首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.‎ ‎6.已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求的三角形式.‎ 解[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)].‎ 能力提升练 ‎1.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题:‎ ‎(1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;‎ ‎(2)试求复数的模.‎ 解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.‎ ‎(2)由题意可知i+=1+i,‎ 因此,.‎ ‎2.复数z=-1+的辐角主值为　　　　　. ‎ 解析因为=i,所以=i2 021=i.‎ 所以z=-1+i=cos+isin,‎ 所以复数z的辐角主值为.‎ 答案 ‎3.÷(3i)=　　　　　. ‎ 解析原式=÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin ‎=cos+isin==-i.‎ 答案-i ‎4.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式.‎ 解由题意,可设z=+bi(b∈R).∵|z|=2,‎ ‎∴=2,解得b=±1,∴z=+i或z=-i.‎ 化为三角形式,得z=2cos+isin或z=2cos+isin.‎ ‎5.计算下列各式的值:‎ ‎(1)·2cos+isin;‎ ‎(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).‎ 解(1)·2cos+isin ‎=cos+isin·2cos+isin ‎=2(cos π+isin π)=-2.‎ ‎(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)‎ ‎=30(cos 270°+isin 270°)=-30i.‎ ‎6.求证:=cos θ-isin θ.‎ 证明左边=‎ ‎=‎ ‎=cos(-θ)+isin(-θ)‎ ‎=cos θ-isin θ=右边.‎ 素养培优练 已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.‎ ‎(1)求ω;‎ ‎(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.‎ 解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),‎ 将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,‎ 化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,‎ ‎∴解得 ‎∴ω=-1+i.‎ ‎(2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∵|z-ω|=1+,‎ ‎∴=1+,‎ 化简得cos=1.‎ ‎∵≤θ+<2π+,‎ ‎∴θ+=2π,即θ=.‎