【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第九章 第5讲 第2课时 直线与椭圆的位置关系学案
第 2 课时 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系(自主练透)
1．(一题多解)若直线 y＝kx＋1 与椭圆x2
5＋y2
m＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．0
0 且 m≠5，所以 m≥1 且 m≠5.
2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x2
4＋y2
2＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组{y＝2x＋m，①
x2
4 ＋y2
2＝1，②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当 Δ>0，即－3 23 2时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数
解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组
解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有
交点．
弦长问题(师生共研)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为1
2，过椭圆右
焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝48
7 ，求直线 AB 的方程．
【解】 (1)由题意知 e＝c
a＝1
2，2a＝4.
又 a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝ 3，
所以椭圆的方程为x2
4＋y2
3＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由
题意知|AB|＋|CD|＝4＋3＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，
y1)，B(x2，y2)，
则直线 CD 的方程为 y＝－1
k(x－1)．
将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则 x1＋x2＝ 8k2
3＋4k2，x1·x2＝4k2－12
3＋4k2 ，
所以|AB|＝ k2＋1|x1－x2|
＝ k2＋1· （x1＋x2）2－4x1x2＝12（k2＋1）
3＋4k2 .
同理，|CD|＝
12(1
k2＋1)
3＋4
k2
＝12（k2＋1）
3k2＋4 .
所以|AB|＋|CD|＝12（k2＋1）
3＋4k2 ＋12（k2＋1）
3k2＋4
＝ 84（k2＋1）2
（3＋4k2）（3k2＋4）＝48
7 ，
解得 k＝±1，
所以直线 AB 的方程为 x－y－1＝0 或 x＋y－1＝0.
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝
(1＋1
k2 )[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线的斜率)．
已知椭圆 M：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 6
3 ，焦距为 2 2.斜率为 k 的
直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.
(1)求椭圆 M 的方程；
(2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
解：(1)由题意得{a2＝b2＋c2，
c
a＝ 6
3 ，
2c＝2 2，
解得 a＝ 3，b＝1.
所以椭圆 M 的方程为x2
3＋y2＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由{y＝x＋m，
x2
3 ＋y2＝1，得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以 x1＋x2＝－3m
2 ，x1x2＝3m2－3
4 .
所以|AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2
＝ 2（x2－x1）2＝ 2[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ 12－3m2
2 .
当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.
中点弦问题(多维探究)
角度一 由中点弦确定直线方程或曲线方程
(1)已知椭圆x2
2＋y2＝1，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是 F(0，5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是2
7的椭圆的标准方程
为________．
【解析】 (1)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 P(x0，y0)，通解：有x
2＋y21＝
1，x
2 ＋y22＝1.
两式作差，得
（x2－x1）（x2＋x1）
2 ＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
y2－y1
x2－x1＝kAB，代入后求得 kAB＝－ x0
2y0.
即 2＝－ x0
2y0，所以 x0＋4y0＝0.
优解：由 kAB·kOP＝－b2
a2得 2·y0
x0＝－1
2，
即 x0＋4y0＝0.
故所求的轨迹方程为 x＋4y＝0，将 x＋4y＝0 代入x2
2＋y2＝1 得：x2
2＋(－x
4 )2
＝1，解得 x
＝±4
3，又中点在椭圆内，所以－4
3b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，
B(x2，y2)．由题意，可得弦 AB 的中点坐标为(x1＋x2
2 ，
y1＋y2
2 )，且x1＋x2
2 ＝2
7，y1＋y2
2 ＝－3
7.将
A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得{ y
a2＋ x
b2＝1，
y
a2＋ x
b2＝1.
两式相减并化简，得a2
b2＝－y1－y2
x1－x2×y1＋y2
x1＋x2＝
－2×
－6
7
4
7
＝3，
所以 a2＝3b2，又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为y2
75＋
x2
25＝1.
优解：设弦的中点为 M，由 kAB·kOM＝－a2
b2得
2×
2 × 2
7－1
2
7
＝－a2
b2，得 a2＝3b2，又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25，所以所求
的方程为y2
75＋x2
25＝1.
【答案】 (1)x＋4y＝0(－4
3 < x < 4
3) (2)y2
75＋x2
25＝1
角度二 对称问题
如图，已知椭圆x2
2＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标原点，设过点 F 且不与坐标
轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标
的取值范围．
【解】 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x2
2＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F，所以方程有两个不等实根，记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB
的中点 N(x0，y0)，则
x1＋x2＝－ 4k2
2k2＋1，x0＝1
2(x1＋x2)＝－ 2k2
2k2＋1，
y0＝k(x0＋1)＝ k
2k2＋1，
所以 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y－y0＝－1
k(x－x0)．
令 y＝0，得 xG＝x0＋ky0＝－ 2k2
2k2＋1＋ k2
2k2＋1＝－ k2
2k2＋1＝－1
2＋ 1
4k2＋2.
因为 k≠0，所以－1
20.
①
将线段 AB 中点 M ( 2mb
m2＋2，
m2b
m2＋2)代入直线方程 y＝mx＋1
2，解得 b＝－m2＋2
2m2 .②
由①②得 m<－ 6
3 或 m>
6
3 .
椭圆与向量的综合问题(师生共研)
设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，离心率为 3
3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直
线被椭圆截得的线段长为4 3
3 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点，
若AC
→
·DB
→
＋AD
→
·CB
→
＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．
【解】 (1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为4 3
3 ，
所以2b2
a ＝4 3
3 .
因为椭圆的离心率为 3
3 ，所以c
a＝ 3
3 ，
又 a2＝b2＋c2，解得 b＝ 2，c＝1，a＝ 3.
所以椭圆的方程为x2
3＋y2
2＝1.
(2)由(1)可知 F(－1，0)，
则直线 CD 的方程为 y＝k(x＋1)．
联立{y＝k（x＋1），
x2
3 ＋y2
2＝1，
消去 y 得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以 x1＋x2＝－ 6k2
2＋3k2，x1x2＝3k2－6
2＋3k2.
又 A(－ 3，0)，B( 3，0)，
所以AC
→
·DB
→
＋AD
→
·CB
→
＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋2k2＋12
2＋3k2 ＝8，
解得 k＝± 2.
从而 x1＋x2＝－ 6 × 2
2＋3 × 2＝－3
2，x1x2＝3 × 2－6
2＋3 × 2＝0.
所以|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2
＝ (－3
2 )2
－4 × 0＝3
2，
|CD|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋2×3
2＝3 3
2 .
而原点 O 到直线 CD 的距离为 d＝ |k|
1＋k2＝ 2
1＋2
＝ 6
3 ，
所以△OCD 的面积为 S＝1
2|CD|×d＝1
2×3 3
2 × 6
3
＝3 2
4 .
解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
(2020·河南郑州二模)已知动点 M 到两定点 F 1(－m，0)，F2(m，0)的距
离之和为 4(00，得 k2>1
4.
x1＋x2＝－ 8 2k
1＋4k2，x1x2＝ 4
1＋4k2，
则OA
→
·OB
→
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)＝(1＋k2)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2＝6－4k2
1＋4k2
＝2.
得 k2＝1
3>1
4，
所以 k 的值为±
3
3 .
[基础题组练]
1．若直线 mx＋ny＝4 与⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x2
9＋y2
4
＝1 的交点个数是( )
A．至多为 1 B．2
C．1 D．0
解析：选 B.由题意知， 4
m2＋n2>2，即 m2＋n2<2，
所以点 P(m，n)在椭圆x2
9＋y2
4＝1 的内部，故所求交点个数是 2.
2．椭圆 4x2＋9y2＝144 内有一点 P(3，2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－2
3 B．－3
2
C．－4
9 D．－9
4
解析：选 A.设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为
k，则 4x21＋9y21＝144，4x22＋9y22＝144，两式相减得 4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，
又 x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，y1－y2
x1－x2＝k，代入解得 k＝－2
3.
3．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为
2
2 ，焦距为 2，则线段 AB 的长是( )
A.2 2
3 B．4 2
3
C. 2 D．2
解析：选 B.由条件知 c＝1，e＝c
a＝ 2
2 ，所以 a＝ 2，b＝1，椭圆方程为x2
2＋y2＝1，联
立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，(4
3，－1
3)，所以|AB|＝4 2
3 .
4．(2020·石家庄质检)倾斜角为π
4的直线经过椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的右焦点 F，与椭圆
交于 A，B 两点，且AF
→
＝2FB
→
，则该椭圆的离心率为( )
A.
3
2 B． 2
3
C.
2
2 D． 3
3
解析：选 B.由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立 {x2
a2＋y2
b2＝1，
y＝x－c，
得(b2＋
a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 Δ>0.设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则{y1＋y2＝
－2b2c
a2＋b2，
y1y2＝
－b4
a2＋b2，
又AF
→
＝2FB
→
，
所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得{－y2＝
－2b2c
a2＋b2，
－2y＝
－b4
a2＋b2.
所以1
2＝ 4c2
a2＋b2，
所以 e＝ 2
3 ，故选 B.
5．设 F1，F2 分别是椭圆x2
4＋y2＝1 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使( OP
→
＋
OF2→
)·PF2→
＝0(O 为坐标原点)，则△F1PF2 的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选 D.因为(OP
→
＋OF2→
)·PF2→
＝(OP
→
＋F1O→
)·PF2→
＝F1P→
·PF2→
＝0，
所以 PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则 m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，
所以 S△F1PF2＝1
2mn＝1.
6．已知斜率为 2 的直线经过椭圆x2
5＋y2
4＝1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，则
弦 AB 的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点 F1 的坐标为(1，0)，直线 AB 的方程为 y＝2(x－1)．
由方程组{y＝2（x－1），
x2
5 ＋y2
4＝1， 消去 y，整理得 3x2－5x＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
x1＋x2＝5
3，x1x2＝0.
则|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ （1＋22）[(5
3 )2
－4 × 0]＝5 5
3 .
答案：5 5
3
7．直线 m 与椭圆x2
2＋y2＝1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率
为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为________．
解析：由点差法可求出 k1＝－1
2·x中
y中，
所以 k1·y中
x中＝－1
2，即 k1k2＝－1
2.
答案：－1
2
8.从椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x
轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的
离心率是________．
解析：由题意可设 P(－c，y0)(c 为半焦距)，
kOP＝－y0
c，kAB＝－b
a，由于 OP∥AB，
所以－y0
c＝－b
a，y0＝bc
a ，
把 P (－c，
bc
a )代入椭圆方程得
（－c）2
a2 ＋
(bc
a )2
b2 ＝1，
所以(c
a )2
＝1
2，所以 e＝c
a＝ 2
2 .
答案： 2
2
9．已知椭圆 E 的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，若椭圆的右焦点到直线 x－y＋2
2＝0 的距离是 3.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设过点 A 的直线 l 与该椭圆交于另一点 B，当弦 AB 的长度最大时，求直线 l 的方
程．
解：(1)由题意得 b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线 x－y＋2 2＝0 的距离 d＝|c＋2 2|
2
＝3，
所以 c＝ 2.所以 a＝ b2＋c2＝ 3，所以椭圆 E 的方程为x2
3＋y2＝1.
(2)当直线 l 的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线 l 的方程为 x＝0.当直线 l 的斜率存在
时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，联立{y＝kx＋1，
x2
3 ＋y2＝1 得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，所以 xA＝0，xB＝
－6k
1＋3k2，
所以|AB|＝ 1＋k2 6|k|
1＋3k2，|AB|2＝36k2（1＋k2）
（1＋3k2）2 .
令 t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4×[－2(1
t )2
＋1
t＋1]，所以当1
t＝1
4，即 k2＝1，
得 k＝±1 时，|AB|2 取得最大值为9
2，即|AB|的最大值为3 2
2 ，此时直线 l 的方程为 y＝x＋1
或 y＝－x＋1.
因为 2<3 2
2 ，所以当弦 AB 的长度最大时，直线 l 的方程为 y＝x＋1 或 y＝－x＋1.
10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆 C： x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别
为 F1(－1，0)，F2(1，0)，P 为椭圆 C 上一点，满足 3|PF1|＝5|PF2|且 cos∠F1PF2＝3
5.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，
点 Q(1
4，0 )，若|AQ|＝|BQ|，求 k 的取值范围．
解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 3r1＝5r2，又 r1＋r2＝2a，所以 r1＝5
4a，r2＝3
4
a.
在△PF1F2 中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝r＋r－|F1F2|2
2r1r2 ＝
(5
4a )2
＋(3
4a )2
－22
2 × 5
4a × 3
4a
＝3
5，
解得 a＝2，因为 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3，所以椭圆 C 的标准方程为x2
4＋y2
3＝1.
(2)联立方程，得{x2
4＋y2
3＝1
y＝kx＋m
，消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 x1＋x2＝
－8km
3＋4k2，x1x2＝4m2－12
3＋4k2 ，且 Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①
设 AB 的中点为 M(x0，y0)，连接 QM，则 x0＝x1＋x2
2 ＝
－4km
3＋4k2，y0＝kx0＋m＝ 3m
3＋4k2，
因为|AQ|＝|BQ|，所以 AB⊥QM，又 Q(1
4，0 )，M 为 AB 的中点，所以 k≠0，直线 QM
的斜率存在，所以 k·kQM＝k·
3m
3＋4k2
－4km
3＋4k2－1
4
＝－1，解得 m＝－3＋4k2
4k ，②
把②代入①得 3＋4k2＞(－3＋4k2
4k )2
，整理得 16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，
解得 k＞1
2或 k＜－1
2，故 k 的取值范围为(－∞，－1
2)∪(1
2，＋∞).
[综合题组练]
1．(一题多解)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是 x－y＋5＝0，弦
的中点坐标是 M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A.1
2 B． 2
2
C.
3
2 D． 5
5
解析：选 C.法一：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，
得{ x
a2＋ y
b2＝1，
x
a2＋ y
b2＝1，
两式相减得y1－y2
x1－x2＝－b2
a2·x1＋x2
y1＋y2.因为 kAB＝y1－y2
x1－x2＝1，且 x1＋x2＝－8，y1＋
y2＝2，所以b2
a2＝1
4，e＝c
a＝ 1－(b
a )2
＝ 3
2 ，故选 C.
法二：将直线方程 x－y＋5＝0 代入x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝
0，设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ 10a2
a2＋b2，又由中点坐标公式知
x1＋x2＝－8，所以 10a2
a2＋b2＝8，解得 a＝2b，又 c＝ a2－b2＝ 3b，所以 e＝c
a＝ 3
2 .故选 C.
2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知 F1，F2 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，
过 F2 的直线与椭圆交于 P，Q 两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2 与△QF1F2 的面
积之比为( )
A．2－ 3 B． 2－1
C. 2＋1 D．2＋ 3
解析：选 D.法一：可设|PF1|＝t，则|QF1|＝2|PF1|＝2t，
由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－t，|QF2|＝2a－2t，
|PQ|＝4a－3t，
则|PQ|2＋|PF1|2＝|QF1|2，即(4a－3t)2＋t2＝4t2，
即有 4a－3t＝ 3t，解得 t＝ 4
3＋ 3a，
则△PF1F2 与△QF1F2 的面积之比为
1
2|PF1|·|PF2|
1
2|QF1|·|QF2|·sin 30°
＝
1
2· 4
3＋ 3a·2＋2 3
3＋ 3 a
1
2· 8
3＋ 3a·2 3－2
3＋ 3 a·1
2
＝1＋ 3
3－1
＝2＋ 3.故选 D.
法二：同法一得出 t＝ 4
3＋ 3a，
则S △ PF1F2
S △ QF1F2＝
1
2|F1F2||yP|
1
2|F1F2||yQ|
＝ |yP|
|yQ|
＝|PF2|
|QF2|＝ 2a－t
2a－2t
＝
2a－ 4
3＋ 3a
2a－2 × 4
3＋ 3a
＝
（2＋2 3）a
（2 3－2）a
＝2＋ 3.
故选 D.
3．(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知 F1，F2 是椭圆x2
4＋y2
3＝1 的左，右焦点，点 A 的
坐标为(－1，
3
2)，则∠F1AF2 的平分线所在直线的斜率为________．
解析：法一：因为 F1，F2 是椭圆x2
4＋y2
3＝1 的左，右焦点，
所以 F1(－1，0)，F2(1，0)，又 A(－1，
3
2)，
所以 AF1⊥x 轴，
所以|AF1|＝3
2，则|AF2|＝5
2，所以点 F2(1，0)关于 l(∠F1AF2 的平分线所在直线)对称的点
F′2 在线段 AF1 的延长线上，
又|AF′2|＝|AF2|＝5
2，所以|F′2F1|＝1，
所以 F′2(－1，－1)，线段 F′2F2 的中点坐标为(0，－1
2)，
所以所求直线的斜率为
3
2－(－1
2 )
－1－0 ＝－2.
法二：如图．
设∠F1AF2 的平分线交 x 轴于点 N，
∠F1AN＝β，∠ANF2＝α.
因为 tan 2β＝|F1F2|
|AF1|＝2
3
2
＝4
3＝ 2tan β
1－tan2β，
所以 tan β＝1
2或－2(舍)．
在 Rt△AF1N 中，tan β＝|F1N|
|AF1|，即|F1N|
3
2
＝1
2，
所以|F1N|＝3
4，
所以 kl＝tan α＝tan(π－∠ANF1)＝－tan∠ANF1＝－|AF1|
|F1N|＝－
3
2
3
4
＝－2.
答案：－2
4.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2，焦点分别为 F1，F2，
延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点，若∠B1PA2 为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2 为钝角可转化为B2A2→
，F2B1→
所夹的角
为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得 b20 即 e2＋e－1>0，e>
5－1
2 或 e<
－ 5－1
2 ，又 0b>0)的离心率 e＝ 6
3 ，原点到过点 A(0，－b)
和 B(a，0)的直线的距离为 3
2 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 F1，F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 作直线交椭圆于 P，Q 两点，求△PQF1 内切
圆半径 r 的最大值．
解：(1)直线 AB 的方程为x
a＋ y
－b＝1，
即 bx－ay－ab＝0.
原点到直线 AB 的距离为 |－ab|
（－a）2＋b2＝ 3
2 ，
即 3a2＋3b2＝4a2b2，①
由 e＝c
a＝ 6
3 ，得 c2＝2
3a2，②
又 a2＝b2＋c2，③
所以联立①②③可得 a2＝3，b2＝1，c2＝2.
故椭圆的方程为x2
3＋y2＝1.
(2)由(1)得 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
易知直线 PQ 的斜率不为 0，故设其方程为 x＝ky＋ 2，
联立直线与椭圆的方程得
{x＝ky＋ 2，
x2
3 ＋y2＝1， (k2＋3)y2＋2 2ky－1＝0.
故{y1＋y2＝－2 2k
k2＋3，
y1y2＝－ 1
k2＋3.
④
而 S△PQF1＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝1
2|F1F2||y1－y2|
＝ 2 （y1＋y2）2－4y1y2，⑤
将④代入⑤，得 S△PQF1＝ 2 (－2 2k
k2＋3)2
＋ 4
k2＋3＝2 6 k2＋1
k2＋3 .
又 S△PQF1＝1
2(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2 3r，
所以2 6 k2＋1
k2＋3 ＝2 3r，
故 r＝ 2 k2＋1
k2＋3 ＝ 2
k2＋1＋ 2
k2＋1
≤1
2，
当且仅当 k2＋1＝ 2
k2＋1
，即 k＝±1 时取等号．
故△PQF1 内切圆半径 r 的最大值为1
2.
