高考数学复习 17-18版 第7章 第35课 等比数列及其前n项和

高考数学复习 17-18版 第7章 第35课 等比数列及其前n项和

第35课 等比数列及其前n项和 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 等比数列 ‎√‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)‎ ‎(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是____________．‎ ‎－2　[＝＝－2.]‎ ‎3．(2017·扬州期末)已知等比数列{an}满足a2＋‎2a1＝4，a＝a5，则该数列的前5项和为____________．‎ ‎31　[∵{an}是等比数列，‎ 由得解得 ‎∴S5＝＝＝31.]‎ ‎4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．‎ ‎27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]‎ ‎5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.‎ ‎6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]‎ 等比数列的基本运算 ‎　(1)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝____________.‎ ‎(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．‎ ‎(1)128　(2)2n－1　[(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，‎ ‎∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.]‎ ‎[规律方法]　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．‎ ‎[变式训练1]　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为____________．‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若‎27a3－a6＝0，则＝__________. ‎ ‎【导学号：62172190】‎ ‎(1)1或－　(2)28　[(1)根据已知条件得 ‎②÷①得＝3.‎ 整理得2q2－q－1＝0，‎ 解得q＝1或q＝－.‎ ‎(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝‎ a1q5，所以‎27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]‎ 等比数列的判定与证明 ‎　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2，‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ ‎[规律方法]　等比数列的判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列．‎ ‎(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an ‎}是等比数列．‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列．‎ 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于客观题中的判定．‎ ‎[变式训练2]　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎[解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ 等比数列的性质及应用 ‎　(1)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝____________.‎ ‎(2)(2017·苏州模拟)数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2 017，则a21＝____________. 【导学号：62172191】‎ ‎(1)　(2)2 017　[∵{an}是等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列．‎ 由＝3得S4＝3S2，设S2＝x，则S4＝3x，即x,2x，S6－3x成等比数列，∴S6＝7x，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎(2)∵bn＝，∴a21＝···…··a1‎ ‎＝b20·b19·b18·…·b1·a1，‎ 又{bn}成等比数列，∴b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2 017，‎ ‎∴a21＝(b10b11)10＝10＝2 017.]‎ ‎[规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎[变式训练3]　(1)在正项等比数列{an}中，a1 008·a1 009＝，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝____________.‎ ‎(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为____________．‎ ‎(1)－2 016　(2)2　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a‎1a2…a2 016＝‎ lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016.‎ ‎(2)由题意得S4＝＝9，所以＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝得 aq3＝.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为＝＝·＝＝2.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．方程的思想．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．‎ ‎2．函数的思想．通项公式an ＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n的函数，即{an}中的各项所表示的点(n，an)在曲线y＝qx上，是一群孤立的点．‎ ‎3．分类讨论思想．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)．‎ 课时分层训练(三十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________. 【导学号：62172192】‎ ‎1　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]‎ ‎2．(2017·苏州模拟)等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________.‎ ‎4　[由得 得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，‎ 把q＝2代入①得a1＝1.‎ ‎∴a3＝q2＝4.]‎ ‎3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于____________．‎ ‎3　[两式相减得a4－a3＝‎2a3，从而求得＝3，即q＝3.]‎ ‎4．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于____________．‎ ‎2　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]‎ ‎5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝____________.‎ ‎3n－1　[因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝‎3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1‎ ‎＝3n－1.]‎ ‎6．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T‎2m－1＝512，则m的值为____________. 【导学号：62172193】‎ ‎5　[由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T‎2m－1＝‎22m－1＝512＝29，即‎2m－1＝9，所以m＝5.]‎ ‎7．(2016·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则的值为________．‎ ‎117　[∵{an}是等比数列，设公比为q，则 a3＋a4＝(a1＋a2)q2，‎ a5＋a6＝(a1＋a2)q4，‎ ‎∴a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(q2＋q4)＝40，‎ 即(q2＋q4)＝40，解得q2＝9.‎ 又q>0，∴q＝3，‎ 由a1＋a2＝得a1＝，‎ ‎∴＝＝＝117.]‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝____________.‎ ‎11　[∵{an}是等比数列，‎ ‎∴an＋2＋an＋1－2an＝an(q2＋q－2)＝0，‎ 又an≠0，故q2＋q－2＝0，即q＝－2或q＝1(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝11.]‎ ‎9．在正项等比数列{an}中，已知a‎1a2a3＝4，a‎4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____________.‎ ‎14　[由＝(q3)3＝3得q3＝，‎ ‎∴an－1anan＋1＝(a1a2a3)q3n－6＝4×n－2‎ 由4×n－2＝324，得＝4，即n＝14.]‎ ‎10．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.‎ ‎1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，‎ ‎∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，‎ ‎∴数列是公比为3的等比数列，‎ ‎∴＝3.‎ 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，‎ ‎∴S5＋＝×34＝×34＝，‎ ‎∴S5＝121.]‎ 二、解答题 ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 【导学号：62172194】‎ ‎[解]　(1)∵S1＝a1＝1，‎ 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn＝2n－1，‎ 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.‎ 当n＝1时a1＝1，不适合上式．‎ ‎∴an＝ ‎(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，‎ ‎∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N＋)．‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N＋)，‎ n＝1时，a1＝‎4a1－3，解得a1＝1.‎ 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知an＝n－1，‎ 由bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，‎ 得bn＋1－bn＝n－1.‎ 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝2＋ ‎＝3·n－1－1(n≥2)．‎ 当n＝1时也满足，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N＋)．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．‎ ‎2n－＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]‎ ‎2．(2017·南京一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．‎ ‎20　[设等比数列的公比为q，则q>0且q≠1.‎ 由S6－2S3＝5可知，‎ －＝5，‎ ‎∴＝5，∴q>1.‎ 则S9－S6＝－ ‎＝＝ ‎＝5＋10‎ ‎≥5×2＋10‎ ‎＝20，‎ 当且仅当q3＝2，即q＝时取等号．‎ ‎∴S9－S6的最小值为20.]‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意正整数n，是否存在k∈R，使得k≤Sn恒成立？若存在，求实数k的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)因为3an＋1＋2Sn＝3，①‎ 所以n≥2时，3an＋2Sn－1＝3，②‎ 由①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，所以an＋1＝an(n≥2)．‎ 又a1＝1,3a2＋2a1＝3，得a2＝，所以a2＝a1，故数列{an}是首项为1，公比q＝的等比数列，‎ 所以an＝a1·qn－1＝n－1.‎ ‎(2)假设存在满足题设条件的实数k，使得k≤Sn恒成立．‎ 由(1)知Sn＝＝＝，‎ 由题意知，对任意正整数n恒有k≤，‎ 又数列单调递增，所以当n＝1时数列中的最小项为，则必有k≤1，即实数k最大值为1.‎