【推荐】专题05 空间中角的求解-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练x

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一、选择题 ‎1．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】在平面四边形中， ， ，且，现将△沿着对角线翻折成△，则在△折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成的最大角的正切值为(　　)‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角. ‎ ‎2．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：‎ ‎①点到的距离为；‎ ‎②三棱锥的体积是；‎ ‎③与所成的角是.‎ 其中正确命题的个数是(　　)．‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】将展开图还原到正方体，如图所示．‎ 则到的距离为，①正确；‎ ‎ ②正确；‎ ‎∵， ，∴与所成的角为，③正确．选D. ‎ ‎3．【河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考】在空间四边形中， 分别是的中点，若异面直线与所成角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：求异面直线所成的角：先把直线进行平移，使得平移后的直线有交点，则这个角或其补角即为所求角.‎ ‎4．【河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考】在平面四边形中， ，将沿对角线所在的直线折起，使平面平面，则直线与平面所成角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：翻折问题一定要注意变量，不变量的分析，折后面面垂直即可转为线面垂直，斜线和它在面内的投影所成的角即为线面角.‎ ‎5．【四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开学考】在正方体中，直线与平面所成的角为（）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，上顶面为正方形，则，‎ 侧棱垂直于底面，则平面,‎ 据此可得：，‎ 结合可知平面，‎ 则直线与平面所成的角为90°.‎ 本题选择D选项. ‎ ‎6．【海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校2018届高三上学期新起点联盟考】在三棱锥中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 点睛：发现三棱锥的线线间的垂直关系，将异面直线通过做平行线移到同一平面中，将要求的角放到了直角三角形中求解．‎ ‎7．【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017-2018学年高二上学期开学考】在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】连结，设，连结，‎ 则⊥平面，，‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎8．【云南省南涧彝族自治县民族中学2017-2018学年高二月考】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设B1B=a，‎ ‎∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°‎ ‎∴BC=a，DC= ‎ ‎∴， ，A1C1= ‎ 由余弦定理得：cos∠‎ 故答案为： ‎ 点睛：异面直线所成角的范围是： ,异面直线所成角不可能是钝角.如果余弦值为负值，说明此角是异面直线所成角的补角.‎ ‎9．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】如图，已知矩形, 为边上的点，现将沿翻折至 ，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎10．【河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考】在四面体中， 底面为的重心， 为线段上一点，且平面，则直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在三棱锥D-ABC中，取AB的中点E，连接CE，在CE上取点G使得CG=2GE，则为的重心，取EB的三等分点M，即MB=2EM，则有MG平行于BC，MB=2，又，所以AM=2MB，同样在线段AD上取点F，使得FM平行于DB，即有AF=2FD，连接FG，因为 得到面FGN面DBC,则FG面DBC 点睛：本题属于难题，需要做辅助线很多，先找到点F是关键，利用的面面平行，接下来主要是求各边长，要细心认真确保计算准确.‎ ‎11．【上海市金山中学2016-2017学年高二下学期3月段考】正方体中，异面直线与所成的角的大小为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 异面直线与所成的角为异面直线与所成的角,即为 ‎12．【黑龙江省大庆中学2017-2018学年高二上学期开学考】如图，正方体中， 分别是的中点，则与平面所成的角的正切值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作FO⊥BC，交BC于点O，连结EO，‎ 三、解答题 ‎13．【湖北省华师一附中2018届高三9月调研考】如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心 ‎(Ⅰ)求与平面ABD所成角的余弦值 ‎(Ⅱ)求点到平面的距离 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线面角的定义找出线面角，再利用解直角三角形进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，再利用利用面面垂直的性质作出线面垂直，得到点到平面的距离.‎ ‎（Ⅱ） ，又，‎ 即平面平面，作，垂足为，所以平面，即是到平面的距离，在三角形中， ，则 到平面的距离为。‎ ‎14．【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 与平面夹角的余弦值为.‎ ‎（2）由于，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ 则.‎ 设平面的法向量为.‎ 所以.‎ 令，所以.‎ 所以平面的法向量为.‎ 则向量与的夹角为，则.‎ 则与平面夹角的余弦值为.‎ ‎15．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】如图，在四面体中，平面平面， ， ， ．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）若， ，求四面体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ 试题解析：（I）如图，设为的中点，由于，所以.‎ 故由平面，知，‎ 即是四面体的面上的高， ‎ 且. ‎ 在中，因为，‎ 由勾股定理易知 ‎ 故四面体的体积 ‎ ‎ 在，从而 因，故，从而，在中， ，‎ 又从而在中，因，由余弦定理得 因此，异面直线与所成角的余弦值为 ‎ ‎16．【浙江省温州市2018届高三9月高考适应性测试】如图，四面体中，，平面平面．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）∵，，，‎ ‎∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎17．【上海市金山中学2016-2017学年高二下学期3月段考】如图所示，在长方体中，， ，，为棱上一点，‎ ‎（1）若，求异面直线和所成角的正切值；‎ ‎（2）若，求证平面.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）线线角找平行，因为，所以（或其补角）是异面直线和所成角，解三角形可得（2）先根据勾股数得，再结合面可得，最后根据线面垂直判定定理可得平面. ‎ ‎（2）由题意，，， ‎ ‎，，即 又由面可得 ‎ 故平面.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎18．【河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高一下学期期末】如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是， 是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意由即可证得平面.‎ ‎(2)利用题意找到二面角的平面角为；‎ ‎(3)利用(2)中的结论找到线面角，计算可得直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎（2）正三棱柱， 底面.‎ 又， ，‎ 就是二面角的平面角.‎ ‎， ， .‎ ‎，即二面角的大小是.‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）‎ ‎19．【湖北省武汉市2017-2018学年度部分学校新高三起点调研考】如图1，在矩形中， ， ， 是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.‎ ‎（1）设为的中点，试在上找一点，使得平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；(2) 正弦值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，连接，由等比例定理及平行线的性质可得平面，则，∴为平行四边形，所以；（2）由等积变换可求出点到平面的距离，又知，从而可得直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎（2）设点到的距离为，由可得.设中点为，作垂直直线于，连接，∵平面∴，则， ，∴ ，所以直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎20．【南宁二中、柳州高中2018届高三9月份两校联考】已知三棱柱中， ，侧面底面， 是的中点， .‎ ‎（Ⅰ）求证： 面； ‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意可证得侧面底面于，而在底面内，故面.‎ ‎(Ⅱ)首先做出直线与平面所成的角，然后结合结合关系整理计算即可求得直线与平面所成线面角的正弦值是.‎ ‎（Ⅱ）过作平面，垂足为，连接， 即为直线与平面所成的角，‎ 由（Ⅰ）知，侧面底面，所以平面，由等边知，‎ 又∵平面，‎ ‎∴，‎ 由（Ⅰ）知面，所以，∴四边形是正方形，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴在中， ，‎ 所以直线与平面所成线面角的正弦值为.‎ 点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：‎ ‎①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．‎ ‎(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．‎ ‎21．如图，四棱锥中，底面为矩形， 平面， ‎ ‎，点为的中点，点在棱上移动.‎ ‎（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：无论点在的何处，都有；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）面；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由于分别为的中点，可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果； (2)因为面，可得；由于为矩形，则，根据线面垂直的判定定理，可得面，进而可得.再由于，且为中点，可得，于是可证面，进而求证出结论；(3) 过作于， 于，连接，则即为所求二面角的平面角.然后再中即可求出的余弦值，即可求出二面角的余弦值.‎ ‎∵，∴面，∵面，∴.‎ ‎(3)‎ 过作于， 于，连接，则即为所求.易得.‎ ‎∵为矩形，∴，所以点到的距离为.‎ ‎∵，∴，∵为中点，∴为中点，‎ 点睛：二面角平面角的基本做法：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线；②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) ；③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) .‎ ‎22．【广东省深圳市宝安中学2016-2017学年高一下学期期中考】如图，在组合体中， 是一个长方体， 是一个四棱锥． ， ，点且．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求面与面所成锐二面角的正切值；‎ ‎（3）若，当为何值时， 平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，由线面垂直得到，由线面垂直判定定理可得线面垂直；（2）过P点作直线,则为面与面的交线，在平面内作于E，取AB的中点F连接PF，则所以就是所求二面角的平面角，求出即可；（3）通过角的关系，故而可得结果.‎ ‎(2)过P点作直线,则为面与面的交线，在平面内作于E，取AB的中点F连接PF，则所以就是所求二面角的平面角．因为， ，所以，即面与面所成锐二面角的正切值为3. ‎ ‎(3)当时， 平面．当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以，而， 与在同一个平面内，所以，而面，所以面，所以平面.‎ 点睛：本题主要考查了线面垂直的证明，二面角平面角的求法以及线面平行的证明等问题，均较为基础；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，常见的线面平行的方式有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.‎ ‎ ‎