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文档介绍
高考数学复习练习第1部分 专题七 第一讲 预测演练提能
1.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,EF⊥BC于F. 求证:EF∶DF=BC∶AC. 证明:∵∠BAC=90°,且AD⊥BC, ∴由射影定理得AC2=CD·BC, ∴=. ① ∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD,∴=. 又BE平分∠ABC,且EA⊥AB,EF⊥BC,∴AE=EF, ∴=. ② 由①②得=, 即EF∶DF=BC∶AC. 2.(2013·广东高考改编)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,求BC. 解:连接OC,则OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90°, ∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD,则∠OAC=∠EAC.∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠AEC=90°,在Rt△ACD中,由射影定理得CD2=ED·AD ①,又CD=BC,AD=AB,将AB=6,ED=2代入①式,得CD==2 ,∴BC=2 . 3.(2013·湖南高考改编)如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,求圆心O到弦CD的距离. 解:由相交弦定理得AP·PB=DP·PC,从而PC==4,所以DC=5,所以圆心O到弦CD的距离等于=. 4.如图,已知AP是圆O的切线,P为切点,AC是圆O的割线,与圆O交于B、C两点,圆O在∠PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明A、P、O、M四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM的大小. 解:(1)证明:连接OP、OM. 因为AP与圆O相切,所以OP⊥AP. 因为M是圆的弦BC的中点,所以OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180°. 由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A、P、O、M四点共圆. (2)由(1),得A、P、O、M四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM.由(1),得OP⊥AP. 由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°. 5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆. (1)证明:CA是△ABC外接圆的直径; (2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值. 解:(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A.由题设知=, 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA= 90°,因此CA是△ABC外接圆的直径. (2)连接CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为. 6.(2013·东北三省四市联考)自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B,C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°. (1)求证:△MBP与△MPC相似; (2)求∠MPB的大小. 解:(1)证明:因为MA为圆的切线,所以MA2=MB·MC.又M为PA的中点,所以MP2=MB·MC. 因为∠BMP=∠PMC,所以△MBP与△MPC相似. (2)由(1)中△MBP与△MPC相似, 可得∠MPB=∠MCP. 在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB==20°.查看更多