【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第八章立体几何与空间向量8-4学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第八章立体几何与空间向量8-4学案

‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ⇒l⊥α 性质 定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.‎ ‎(2)范围：[0，].‎ ‎3.平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；‎ ‎②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论 ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　×　)‎ ‎(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　)‎ ‎(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)‎ ‎(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)下列命题中正确的是________.‎ ‎①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β；‎ ‎②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；‎ ‎③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；‎ ‎④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.‎ 答案　②③④‎ 解析　根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.‎ ‎2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.‎ ‎3.(2016·宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是________.‎ 答案　①④‎ 解析　①如图，取BC的中点M，连结AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连结BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.‎ ‎4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________________________.‎ 答案　可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个 ‎5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.‎ 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，‎ 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.‎ ‎(2)如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G.‎ ‎∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，‎ ‎∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，‎ 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，‎ ‎∴AB⊥平面PGC，‎ 又CG⊂平面PGC，‎ ‎∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.‎ 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，‎ 即O为△ABC的垂心.‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ OD′＝.‎ 证明：D′H⊥平面ABCD.‎ 证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎　(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，‎ 所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连结EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　连结CF.‎ 因为F为AB的中点，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，‎ 所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，‎ 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，‎ 且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ 证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，‎ 所以EF∥PA，FG∥AC，‎ 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理，FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG＝F，‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华　(1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎　(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ 又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，‎ A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，‎ 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，‎ A1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F，‎ 又∵B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，‎ ‎∴DF∥a.‎ ‎(2)解　线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.‎ 证明如下：‎ 取CE的中点O，连结FO并延长交BE于点G，‎ 连结GD，GF ∵CF＝EF，∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG，‎ ‎∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，‎ ‎∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，‎ ‎∴HB＝BC＝EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.‎ 思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.‎ ‎　(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝.‎ ‎(1)求证：B1C∥平面A1BM；‎ ‎(2)求证：AC1⊥平面A1BM；‎ ‎(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　连结AB1与A1B，两线交于O点，连结OM，‎ 在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，‎ ‎∴OM∥B1C，‎ 又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，‎ ‎∴B1C∥平面A1BM.‎ ‎(2)证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BM，‎ 又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.‎ ‎∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴BM⊥AC1.‎ ‎∵AC＝2，∴AM＝1.‎ 又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，‎ tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.‎ ‎∴∠AC1C＝∠A1MA，‎ 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，‎ ‎∴A1M⊥AC1.‎ ‎∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.‎ ‎(3)解　当点N为BB1中点，即＝时，‎ 平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ 证明如下：‎ 设AC1中点为D，连结DM，DN.‎ ‎∵D，M分别为AC1，AC中点，‎ ‎∴DM∥CC1，且DM＝CC1.‎ 又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，‎ ‎∴MBND为平行四边形，∴BM∥DN，‎ ‎∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.‎ 又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ ‎17.立体几何证明问题中的转化思想 典例　(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导　(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.‎ 规范解答 证明　(1)如图所示，连结NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，‎ C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K，‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形， [3分]‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [4分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK. [6分]‎ ‎(2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K，‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [8分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，‎ BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.‎ ‎∴MK⊥B1C. [12分]‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]‎ ‎1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列命题正确的有________.‎ ‎①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；‎ ‎②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；‎ ‎③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；‎ ‎④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直.‎ 答案　④‎ 解析　对于①，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故①错误；‎ 对于②，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故②错误；‎ 对于③，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故③错误；易知④正确.‎ ‎2.(2016·常州模拟)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；‎ ‎④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ 答案　③‎ 解析　①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.‎ ‎3.(2016·无锡模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.‎ 答案　AB 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.‎ 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.‎ ‎∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.‎ ‎4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是________.‎ ‎①CC1与B1E是异面直线；‎ ‎②AC⊥平面ABB1A1；‎ ‎③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；‎ ‎④A1C1∥平面AB1E.‎ 答案　③‎ 解析　①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.‎ ‎5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.‎ ‎6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，‎ 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；‎ 对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，‎ ‎∴OM∥平面PAC；‎ 对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.‎ ‎7.(2016·镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；‎ ‎②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；‎ ‎④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 答案　②③‎ 解析　在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故①错误；因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a、b相交时结论正确，④错误.‎ ‎8.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为 ‎________.‎ 答案　 解析　设B1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1＝，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE＝h.‎ 又2×＝h，‎ 所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，‎ B1E＝ ＝.‎ 由面积相等得× ＝x，‎ 得x＝.‎ ‎9.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确.‎ ‎10.如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________.‎ 答案　 解析　如图所示，作BH⊥MN于点H，连结AH，‎ 则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角.‎ ‎∵sin∠BCH＝＝，‎ 设BC＝1，则BH＝.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，‎ ‎∴AB与β所成的角为∠BAH.‎ ‎∴sin∠BAH＝＝＝，‎ ‎∴∠BAH＝.‎ ‎11.(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎(1)解　取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：‎ 连结BM，CM.‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM，‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.‎ 因为AD∥BC，BC＝CD＝AD，‎ 所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥BD.‎ 又BC∥MD，且BC＝MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD，‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎12.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点.‎ ‎(1)求证：FG∥平面BED；‎ ‎(2)求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　如图，取BD的中点O，连结OE，OG.‎ 在△BCD中，因为G是BC的中点，‎ 所以OG∥DC且OG＝DC＝1.‎ 又因为EF∥AB，AB∥DC，‎ 所以EF∥OG且EF＝OG，‎ 所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.‎ 又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，‎ 所以FG∥平面BED.‎ ‎(2)证明　在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，‎ 由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，‎ 即BD⊥AD.‎ 又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 平面AED∩平面ABCD＝AD，‎ 所以BD⊥平面AED.‎ 又因为BD⊂平面BED，‎ 所以平面BED⊥平面AED.‎ ‎(3)解　因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角.‎ 过点A作AH⊥DE于点H，连结BH.‎ 又平面BED∩平面AED＝ED，‎ 由(2)知AH⊥平面BED，‎ 所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.‎ 在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝，‎ 由余弦定理得cos∠ADE＝，所以sin∠ADE＝，‎ 因此，AH＝AD·sin∠ADE＝.‎ 在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝.‎ 所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.‎ ‎13.在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝，BC＝CD＝2，SD＝4，A为SD的中点，如图(1)所示，将△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，点E在SD上，且SE＝SD，如图(2)所示.‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求二面角E－AC－D的正切值.‎ ‎(1)证明　由题意，知SA⊥AB，‎ 又SA⊥AD，AB∩AD＝A，‎ 所以SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　在AD上取一点O，使AO＝AD，‎ 连结EO，如图所示.‎ 又SE＝SD，所以EO∥SA.‎ 所以EO⊥平面ABCD.‎ 过O作OH⊥AC交AC于H，连结EH，则AC⊥平面EOH，‎ 所以AC⊥EH，‎ 所以∠EHO为二面角E－AC－D的平面角.‎ 已知EO＝SA＝.‎ 在Rt△AHO中，∠HAO＝45°，OH＝AO·sin 45°＝×＝.‎ tan∠EHO＝＝2，即二面角E－AC－D的正切值为2.‎