2018-2019学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1.已知全集，集合，，则集合 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算即可求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以根据交集的运算知：,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.下列关系中，正确的个数为 ( )‎ ‎①∈R ②0∈ ③{－5}⊆Z ④∅ ={∅} ⑤∅∈{∅}‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据元素与集合，集合与集合的关系 分析即可选出.‎ ‎【详解】对于①，∈R 正确； 对于②，因为表示正整数集合，所以0∈错误；对于③，－5是整数，所以{－5}⊆Z正确；对于④，∅不含任何元素，{∅}含有一个元素∅，所以∅ ={∅} 错误；对于⑤，{∅}含有一个元素∅，所以∅∈{∅}正确.‎ 综上所述，正确的个数3个，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了元素与集合的属于关系，集合与集合的包含关系，属于中档题.‎ ‎3.二次函数 (的值域为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的对称轴与定义域，可求函数的值域.‎ ‎【详解】因为二次函数的对称轴为，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以函数值域为 ，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的值域，属于中档题.‎ ‎4.下列函数中哪个与函数是相同函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的两要素定义域和对应法则，即可判定.‎ ‎【详解】对于A，的定义域为，与 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于 B，的定义域为，与 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于C， 的对应法则与的对应法则不同，故不是同一函数；对于D.,与定义域及对应法则相同，故是同一个函数.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域，解析式，属于中档题.‎ ‎5.下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作直线与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，‎ ‎∴是的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，，，．‎ 只有符合．‎ 故选．‎ ‎6.若 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，属于中档题.‎ ‎7.设，则使得函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）‎ A. -1,3 B. -1,1 C. 1,3 D. -1,1,3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，当时尽管也是奇函数，但定义域是，应选答案C 。‎ ‎8.已知函数（其中），若的图象如图所示，则函数的图像是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由二次函数图像可知，所以为减函数，且将指数函数向下平移各单位.‎ 考点：二次函数与指数函数的图像性质，图像的平移变换.‎ ‎9.已知，则三者的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为<，所以,选A.‎ ‎10.函数 在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性可求出函数的最大值和最小值，利用最大值比最小值大即可求解.‎ ‎【详解】因为 在区间上是增函数，‎ 所以，，‎ 因此，解得或（舍去），‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.‎ ‎11.对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）．‎ A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，同奇偶，则，由列出满足条件的所有可能情况即可.‎ ‎【详解】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以 可能的取值为 共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题.‎ ‎12.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数是奇函数, 不等式可化简为,即,等价于或 ‎,又在上为增函数，且，则在上为增函数，且，或,即或,故选D.‎ 点睛: 本题主要考查抽象函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同，即在和上分别为增函数，且可得,再将不等式化简为,即或,分两种情况讨论写出解集即可.‎ 二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，解得．‎ 故答案为：.‎ 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎14.若幂函数的图象过点(2,4)，则________ ；‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数图象过点(2,4)，代入解析式即可求， 代入解析式，即可求函数值.‎ ‎【详解】因为的图象过点(2,4),‎ 所以，即，‎ 所以，.‎ 故填.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，待定系数法，属于中档题.‎ ‎15.已知是R上的增函数，则的取值范围是__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是R上的增函数，可知函数在各段上是增函数，且的最大值要不大于的最小值,列出满足条件即可求解.‎ ‎【详解】因为是R上的增函数，‎ 所以，解得，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的增减性，一次函数，指数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎16.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有； ②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.‎ 给出下列四个函数中： ①，②， ③，④，‎ 能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意，性质①反映了函数为定义域上的奇函数，性质②反映了函数为定义域上的单调递减函数，‎ ‎ ①中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正确；‎ ‎ ②中，函数为定义域上的偶函数，所以不正确；‎ ‎ ③中，函数的定义域为，由于为单调增函数，所以函数为定义域上的增函数，所以不正确；‎ ‎ ④中，函数的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了抽象函数的表达式反映的函数的基本性质，对新定义的函数理解能力，其中对于函数的奇偶性、函数的单调性的定义是基本初等函数的单调性和奇偶性的主要判定方法，同时对于分段函数的单调性和奇偶性可以利用数形结合的方法加以判定，考查了分析问题和解答问题的能力．‎ 三、解答题：（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.计算下列各式： ‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算性质运算即可（2）根据对数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂运算法则，对数运算法则，属于中档题.‎ ‎18.已知，求下列各式的值：‎ ‎（1） ；（2）；（3）.‎ ‎【答案】（1）7 ； （2）47； （3）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂指数的特点，（1）两边同时平方即可得；（2）平方可得；（3）分子利用立方差公式化简即可求值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以,‎ 即.‎ ‎（2）因为 所以，‎ 即.‎ ‎（3） .‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数的运算，根据式子的结构特点进行变形是关键，属于中档题.‎ ‎19.设全集，集合，集合。‎ ‎(Ⅰ)求集合与； (Ⅱ)求、。‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，知，由，得，可得或；（2）由或，能求出，由或，能求出.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 不等式的解为，∴‎ ‎∵，∴，即，∴或.‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）可知，，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎20.定义在上的奇函数，已知当时，．‎ ‎（）求在上的解析式．‎ ‎（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据奇函数的性质即可求出a，设时，，易求，根据奇函数性质可得；‎ ‎（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决.‎ 详解：（）∵是定义在上的奇函数，‎ ‎∴，得．‎ 又∵当时，，‎ ‎∴当时，，．‎ 又是奇函数，‎ ‎∴．‎ 综上，当时，．‎ ‎（）∵，恒成立，即在恒成立，‎ ‎∴在时恒成立．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵在上单调递减，‎ ‎∴时，的最大值为，‎ ‎∴．‎ 即实数的取值范围是．‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立问题，考查学生解决问题的能力.‎ ‎21.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．‎ ‎(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当车流密度(辆/千米)时，车流密度最大值为（辆/小时）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意知当0≤x≤20时，v（x）=60. 当20

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