【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第四章　第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第四章　第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 一、知识梳理 ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎(A>0，ω>0)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝ ‎＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x ‎－ － － y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 常用结论 ‎1．两种图象变换的区别 由y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x而言的，应是x本身加减多少，而不是ωx加减多少．‎ ‎2．周期与对称性之间的关系 ‎(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期；‎ ‎(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是周期．‎ ‎3．对称轴(对称中心)与函数值的关系 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.‎ 二、教材衍化 ‎1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，4π，　　　　　 B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ 解析：选C.由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.‎ ‎2．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为____________________．‎ 解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，‎ 所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，‎ 又×＝14－6，所以ω＝.‎ 又×10＋φ＝2π＋2k，k∈Z，取φ＝，‎ 所以y＝10sin＋20，x∈.‎ 答案：y＝10sin＋20，x∈ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右平移个单位得到的．(　　)‎ ‎(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、易错纠偏 (1)搞错图象平移的单位长度；‎ ‎(2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；‎ ‎(3)搞不清f(x)在x＝处取最值；‎ ‎(4)确定不了解析式中φ的值．‎ ‎1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：选D.函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin，‎ 故选D.‎ ‎2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．‎ 解析：根据函数图象变换法则可得．‎ 答案：y＝sinx ‎3．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则ω＝________．‎ 解析：由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin ＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝.‎ 答案： ‎4．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．‎ 解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.‎ 答案： ‎　　　　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(师生共研)‎ ‎ 已知函数y＝2sin.‎ ‎(1)求它的振幅、周期、初相；‎ ‎(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎【解】　(1)y＝2sin的振幅A＝2，‎ 周期T＝＝π，初相φ＝.‎ ‎(2)令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sin X.‎ 列表如下：‎ x ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sin X ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 描点画出图象，如图所示：‎ ‎(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；‎ 再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．‎ 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；‎ 再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；‎ 再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin(2x＋)的图象．‎ ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．‎ ‎(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．‎ ‎(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　 ‎ ‎1．函数y＝sin(2x＋)的图象可以由函数y＝cos 2x的图象　(　　)‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 解析：选A.将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin 2x的图象，再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝sin(2x＋)的图象可以由函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选A.‎ ‎2．将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为(　　)‎ A．φ＝，a＝2　　　　　 B．φ＝，a＝2‎ C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝ 解析：选D.将函数y＝cos x－sin x＝cos(x＋)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝cos(x＋－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos(x＋－φ)的图象，又y＝cos(x＋－φ)＝cos 2x＋sin 2x＝cos(2x－)，所以＝2，－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以a＝，又φ>0，所以φ＝＋2kπ(k∈N)，结合选项知选D.‎ ‎3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y＝cos(ωx＋)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．‎ 解析：将函数y＝cos(ωx＋)的图象向右平移个单位长度，得y＝cos(ωx－＋)的图象．因为所得函数图象与y＝sin ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.‎ 答案： ‎　　　　　　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)‎ ‎ (1)如图，‎ 函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为(　　)‎ A．f(x)＝2sin(2x－) ‎ B．f(x)＝2sin(2x＋)‎ C．f(x)＝2sin(2x＋) ‎ D．f(x)＝2sin(2x－)‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(－)＝________.‎ ‎【解析】　(1)由题意知，A＝2，函数f(x)的图象过点(0，)，所以f(0)＝2sin φ＝，由|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)．故选B.‎ ‎(2)由函数的图象可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)，所以f(－)＝－.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)－ 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)‎ 或把图象的最高点或最低点代入；‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　 ‎ ‎1．函数y＝2cos的部分图象是(　　)‎ 解析：选A.由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.故选A.‎ ‎2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，所以T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A.‎ ‎　　　　　　三角函数图象与性质的综合应用(多维探究)‎ 角度一　三角函数图象与性质的综合问题 ‎ (2020·河南郑州三测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，要使f(a＋x)－f(a－x)＝0成立，则a的最小正值为(　　)‎ A.　　 B．　　　C.　　 D． ‎【解析】　由函数图象可得，函数的最大值为2，即A＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f(0)＝1，所以sin φ＝，‎ 又|φ|<，所以φ＝.‎ 故f(x)＝2sin.‎ 因为函数图象过点，‎ 所以f＝0，即2sin＝0，‎ 又x＝在函数f(x)的增区间内，所以令ω＋＝2kπ(k∈Z)，解得ω＝(k∈Z)．‎ 由函数图象可得最小正周期T>，即>，‎ 解得ω<.‎ 又ω>0，故k＝1，从而ω＝＝2.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 由f(a＋x)－f(a－x)＝0，得f(a＋x)＝f(a－x)，所以该函数图象的对称轴为直线x＝a.‎ 令2a＋＝nπ＋(n∈Z)，解得a＝π＋(n∈Z)．‎ 要求a的最小正值，只需n＝0，得a＝，故选B.‎ ‎【答案】　B 求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x＝在函数的增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到ω＋＝kπ(k∈Z)，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质．　 ‎ 角度二　函数零点(方程根)问题 ‎ (2020·湖南株洲二模)若函数f(x)＝cos－a恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． ‎【解析】　由题意得方程cos＝a有三个不同的实数根．‎ 画出函数y＝cos的大致图象，如图所示．‎ 由图象得，当≤a<1时，方程cos＝a恰好有三个不同的实数根．‎ 令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，x＝.‎ 不妨设x10，|φ|<)的图象向右平移个单位长度后，‎ 可得y＝sin的图象．‎ 因为所得函数图象关于y轴对称，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝－6k－3＋，k∈Z.‎ 又f＝－＝sin＝－sin φ，即sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝.‎ 所以ω＝－6k－2，又ω>0，所以取k＝－1，可得ωmin＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故选C.‎ ‎2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m在区间上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[0，2) B．[0，2]‎ C．[1，＋1] D．[1，＋1)‎ 解析：选A.关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m可化为sin 2x＋cos 2x＝m－1，即sin＝.易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥.‎ 令2x＋＝t，即sin t＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2.‎ 作出y＝sin t的图象，如图所示，‎ 由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，‎ 所以－≤<，‎ 故0≤m<2，故选A.‎ ‎　三角函数实际问题中的核心素养 ‎ 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：‎ t(小时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎1.5‎ ‎1.0‎ ‎0.5‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎1.0‎ ‎0.5‎ ‎0.99‎ ‎1.5‎ 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b(A>0，ω>0)的图象．根据以上数据，‎ ‎(1)求函数f(t)的解析式；‎ ‎(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．‎ ‎【解】　(1)由表格得解得 又因为T＝12，所以ω＝＝，‎ 故y＝f(t)＝cost＋1.‎ ‎(2)由题意，令cost＋1>1.25.‎ 即cost>，‎ 又因为t∈[0，24]，所以t∈[0，4π]，‎ 故0≤t<或0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin[3(x＋φ)＋]，因为其图象经过原点，所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，‎ 所以φ的最小值为－＝，故选B.‎ ‎3．(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为π，最大值为2‎ B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称 C．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上是减少的 解析：选D.对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin，又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.‎ 所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．‎ 对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上是减函数，所以选项D正确．故选D.‎ ‎4．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝ 解析：选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin(ωx＋＋φ)．由函数的图象可知，＝－(－)＝，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ＋)．由图知当y＝－1时，x＝×(－)＝，所以函数的图象过(，－1)，‎ 所以sin(＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝.‎ 故选A.‎ ‎5．(2020·河南名校联盟联合调研)将函数g(x)＝2sin x＋1的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象，若f(x1)＝f(x2)＝3，且－π≤x20，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.‎ 解析：由题意可得A＝2，T＝×＝－＝π，所以ω＝2.‎ 当x＝时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 据此可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，令k＝0可得φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈(，π)时，<2x＋<，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝.由x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，可得x1＋x2＝，‎ 则f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2×＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．‎ 解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，‎ 与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，‎ 所以－＋φ＝－，则φ＝，‎ 答案： ‎8.(2020·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：‎ ‎①f(x)的最小正周期为2；‎ ‎②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；‎ ‎③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；‎ ‎④f(x)的最大值为A.‎ 则正确的结论为________．(填序号)‎ 解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．‎ 答案：①③‎ ‎9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的增区间．‎ 解：(1)依题意得A＝5，‎ 周期T＝4(－)＝π，‎ 所以ω＝＝2.‎ 故y＝5sin(2x＋φ)，‎ 又图象过点P(，0)，‎ 所以5sin(＋φ)＝0，‎ 由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，‎ 因为|φ|<，所以φ＝－，‎ 所以y＝5sin(2x－)．‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 故函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎10．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的增区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．‎ 解：(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1‎ ‎＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.‎ 因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.‎ 因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．‎ 当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)是增加的；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)是减少的．‎ 又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－0)的部分图象如图所示，其中M(m，0)，N(n，2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列区间中具有单调性的是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.因为mn<0，所以m、n异号，根据题意可得m<0，n>0，又P(π，0)，所以T>π且<π，即π0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于直线x＝ω对称且在区间内是增加的，则ω的值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.由题意得g(x)＝sin＝sin，因为函数g(x)的图象关于直线x＝ω对称且在区间(－ω，ω)内是增加的，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，－＋2mπ≤－ω2＋，m∈Z，ω2＋≤＋2mπ，m∈Z，因此k≥0，kπ≤－2mπ，kπ≤2mπ，k，m∈Z，从而0≤－2mπ，0≤2mπ，m∈Z，即0≤m≤，m∈Z，所以m＝0，k＝0，ω＝，选A.‎ ‎3．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．‎ 解析：由题设并结合图形可知，‎ AB＝＝ ‎＝＝，得＝4，则ω＝，‎ 所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.‎ 答案： ‎4．若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方，则m－n的最大值为________．‎ 解析：根据题意，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方可以转化为2cos 2x>－7－4sin x恒成立，即2cos 2x＋7＋4sin x>0.根据二倍角公式化简为4sin2x－4sin x－9<0⇒－0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(－，0)，求当m取得最小值时，g(x)在[－，]上的增区间．‎ 解： (1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，‎ 得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋)．‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin[2(x＋m)＋]＝sin(2x＋2m＋)的图象，根据g(x)的图象恰好经过点(－，0)，‎ 可得sin(－＋2m＋)＝0，即sin(2m－)＝0，‎ 所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，‎ 因为m>0，‎ 所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.‎ 此时，g(x)＝sin(2x＋)．‎ 因为x∈[－，]，所以2x＋∈[，]．‎ 当2x＋∈[，]，即x∈[－，－]时，g(x)是增加的，‎ 当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，g(x)是增加的．‎ 综上，g(x)在区间[－，]上的增区间是 ‎[－，－]和[，]．‎