专题07 不等式-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）
1
专题 07 不等式
易错点 1 忽视不等式隐含条件致误
设 2( )f x ax bx ，若 1≤ ( 1)f ≤2,2≤ (1)f ≤4，则 ( 2)f 的取值范围是________．
【错解】由 1 ( 1) 2
2 (1) 4
f
f
得 1 2
2 4
a b
a b
①
②
，①＋②得： 3 32 a ， ②−①得： 1 12 b .
由此得 4≤ ( 2)f =4a−2b≤11，所以 ( 2)f 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 ( 2)f 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 ( 2)f =m ( 1)f ＋n (1)f (m、n 为待定系数)，则 4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 4
2
m n
n m
，解得 3
1
m
n
.∴ ( 2)f =3 ( 1)f ＋ (1)f ．
又∵1≤ ( 1)f ≤2,2≤ (1)f ≤4，∴5≤3 ( 1)f ＋ (1)f ≤10，即 5≤ ( 2)f ≤10.
解法二：由 ( 1)
(1)
f a b
f a b
，得
1[ ( 1) (1)]2
1[ (1) ( 1)]2
a f f
b f f
，∴ ( 2)f =4a−2b=3 ( 1)f ＋ (1)f ．
又∵1≤ ( 1)f ≤2,2≤ (1)f ≤4，∴5≤3 ( 1)f ＋ (1)f ≤10，即 5≤ ( 2)f ≤10.
解法三：由题意，得 1 2
2 4
a b
a b
，确定的平面区域如图中阴影部分所示.
当 ( 2)f =4a−2b 过点 3 1( , )2 2A 时，取得最小值 3 14 2 52 2
；
2
当 ( 2)f =4a−2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 4×3−2×1=10，∴5≤ ( 2)f ≤10.
【答案】[5,10]
（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运
算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
1．已知 ， 满足 1 1
1 2 3
，则 3 的取值范围是
A． 1,7 B． 5,13
C． 5,7 D． 1,13
【答案】A
【解析】设 3 =λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得 1
2 3
v
v
，从而解出λ=﹣1，v=2．
由 1 1
1 2 3
得 1 1
2 2 4 6
，两式相加，得 1≤ 3 ≤7．
故 3 的取值范围是[1，7]．故选 A.
【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范
围的问题，可以用待定系数法来解决．
易错点 2 忽略不等式性质成立的条件
给出下列命题：
3
①若 , 0a b c ,则 c c
a b
； ②若 3 3ac bc ，则 a b ；
③若 a b 且 *k N ,则 k ka b ； ④若 0c a b ,则 a b
c a c b
.
其中正确命题的序号是 .
【错解】① 1 1a b a b
,又 0c ,则 c c
a b
，故①正确；②当 0c 时， a b ,故②不正确；
③正确；④由 0c a b 知 0c a c b ,∴ 1 10 c a c b
，故 a a b
c a c b c b
,故④不正
确.故填①③.
【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.
【试题解析】①当 ab<0 时， c c
a b
不成立，故①不正确；
②当 c<0 时，a>b 不成立,故②不正确；
③当 a=1,b=−2,k=2 时，命题不成立，故③不正确；
④由 a>b>0 −a<−b<0 0
b
⇒
ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，
a>b
⇒
ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
(3)“a>b>0
⇒
an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数，a>b>0”，假如去掉“n 为大于 1 的自然
数”这个条件，取 n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取
a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．
2．下列不等式中，正确的是
4
A．若 ,a b c d ，则 a c b d B．若 a b ，则 a c b c
C．若 ,a b c d ，则 ac bd D．若 ,a b c d ，则 a b
c d
【答案】A
【解析】若 a b ，则 a c b c ,故 B 错；
设 3, 1, 1, 2a b c d ,则 ac bd ， a b
c d
，所以 C、D 错.
故选 A.
【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.
错点 3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于 x 的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 恒成立，则 m 的取值范围为______________．
【错解】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立，
所以 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得 m＜0．故实数 m 的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中 x2 的系数含有参数，且当 m＝0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨
论 m 的值是否为 0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立，
当 m＝0 时，－1＜0 恒成立；当 m≠0 时，易知 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0．
综上，实数 m 的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
5
3．已知命题“ 2, 1 0x ax ax R ”为真命题,则实数 a 的取值范围是__________.
【答案】 0,4
【解析】由题意得不等式 2 1 0ax ax 对 xR 恒成立．
①当 0a 时，不等式1 0 在 R 上恒成立，符合题意．
②当 0a 时，若不等式 2 1 0ax ax 对 xR 恒成立，则 2
0
4 0
a
a a
，解得 0 4a ．
综上可得 0 4a ，所以实数 a 的取值范围是 0,4 ．
【名师点睛】不等式 2 0ax bx c ＋ ＋ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 0a＝ 时， 0, 0b c ＝ 或当
0a 时， 0
0
a
；不等式 2 0ax bx c ＋ ＋ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 0a＝ 时， 0, 0b c ＝
或当 0a 时， 0
0
a
．
解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，
恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或
用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，
谁就是参数.
易错点 4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式 ( 2) 1( )1
a x ax
R ．
6
【错解】原不等式可化为 ( 2) 1 01
a x
x
，即 ( 2) ( 1) 01
a x x
x
，
等价于[( 1) (2 1)]( 1) 0a x a x ，即 2 1( )( 1) 01
ax xa
，
因为 2 1 11 1
a a
a a
，所以
当 01
a
a
，即 1a 或 0a 时， 2 1 11
a
a
；
当 01
a
a
，即 0a 时， 2 1 11
a
a
；
当 01
a
a
，即 0 1a 时， 2 1 11
a
a
．
综上，当 1a 或 0a 时，原不等式的解集为{ | 1x x 或 2 1}1
ax a
；
当 0a 时，原不等式的解集为{ | 1}x x ；
当 0 1a 时，原不等式的解集为 2 1{ | 1
ax x a
或 1}x ．
【错因分析】显然当 a＝0 时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非
同解变形，因为 a－1 的符号是不确定的，错解中仅考虑了当 a－1＞0 时的情况．
【试题解析】显然当 0a 时，原不等式是不成立的．
当 a≠0 时原不等式可化为 ( 2) 1 01
a x
x
，即 ( 2) ( 1) 01
a x x
x
，
等价于[( 1) (2 1)]( 1) 0a x a x (*)，
当 1a 时，(*)式可转化为 ( 1) 0x ，即 1 0x ，即 1x ．
当 1a 时，(*)式可转化为 2 1( )( 1) 01
ax xa
．
当 1a 时，(*)式可转化为 2 1( )( 1) 01
ax xa
．
又当 1a 时， 2 1 11 1
a a
a a
，
所以当 1a 或 0a 时， 2 1 11
a
a
；
当 0 1a 时， 2 1 11
a
a
．
综上，当 1a 时，原不等式的解集为{ | 1x x 或 2 1}1
ax a
；
当 1a 时，原不等式的解集为{ | 1}x x ；
当 0 1a 时，原不等式的解集为 2 1{ | 1}1
ax xa
；
7
当 0a 时，原不等式的解集为；
当 0a 时，原不等式的解集为 2 1{ |1 }1
ax x a
．
在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化
的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出
错．
4．已知 21 2 1 0m x m x ，其中 0 2m .
（1）解关于 x 的不等式；
（2）若 1x 时，不等式恒成立，求实数 m 的范围.
【答案】（1）见解析；（2）1 2m .
【解析】（1） [ 1 1] 1 0m x x ， 0 2m .
当 1 0m 时，不等式为 1 0x ，不等式的解集为 | 1x x ；
当 1 0m 时，不等式的解集为 1{ | 1 }1x x x m
或 ；
当 1 0m 时，不等式的解集为 1{ |1 }1x x m
.
综上得：当 1m 时，不等式的解集为 | 1x x ；当 0 1m 时，不等式的解集为 1{ |1 }1x x m
；
当1 2m 时，不等式的解集为 1{ | 1 }1x x x m
或 .
（2） 1x 时,不等式恒成立即为 1 1 0m x 恒成立,
∴ 11m x
，
∴ 1m ，
∴1 2m .
【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知
识的掌握水平和分析推理转化能力.
（2）解答第 2 问的关键是转化，先转化为 1 1 0m x 恒成立，再转化为 11m x
恒成立，即得 m
8
的取值范围.
解含有参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正
的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
易错点 5 不能准确把握目标函数的几何意义致误
设变量 x，y 满足约束条件
2 2 0
2 4 0
1 0
x y
x y
x
，则目标函数 z=3x−2y 的最小值为
A．−5 B．−4
C．−2 D．3
【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线 z=3x−2y 平移到过点(1,0)时取得最小值，
即 zmin=3×1−2×0=3.故选 D.
【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确
理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致
目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线 3x−2y=z 平移
到过点(0,2)时，z=3x−2y 的值最小，最小值为−4，故选 B.
9
形如 z=Ax＋By(B≠0)，即 A zy xB B
， z
B
为该直线在 y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在 y 轴上
截距的 B 倍，至于 z 与截距能否同时取到最值，还要看 B 的符号．
5．若实数 x ， y 满足约束条件
2,
2 3 9,
0,
x y
x y
x
则 2 2z x y 的最大值是
A． 10 B． 4
C．9 D．10
【答案】D
【解析】由实数 x ， y 满足约束条件
2,
2 3 9,
0,
x y
x y
x
作出可行域，如图.
0 3A ， ， 0 2C ， ，联立 2
2 3 9
x y
x y
解得 3 1B ， ，
2 2x y 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为 22 23 1 10OB .
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据
10
2 2z x y 的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果
易错点 6 忽略等号成立的一致性导致错误
若 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝1，则 1 1
x y
的最小值为_______________．
【错解】因为 x＞0，y＞0，所以 1＝x＋2y≥ 2 2xy ，即 8xy≤1，即 xy≤ 1
8
，故 1
xy ≥8．
因为 1 1
x y
≥ 12 xy
，所以 1 1
x y
≥ 2 8 4 2 ．故 1 1
x y
的最小值为 4 2 ．
【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥ 2 2xy ， 1 1
x y
≥ 12 xy
，但这两次取“＝”
需满足 x＝2y 与 x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．
【试题解析】因为 x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以 1 1 1 1( 2 )( )x yx y x y
＝ 2 3 3 2 2x y
y x
，当
且仅当 2x y
y x
，即 2x y ，即 22 1, 1 2x y 时取等号．故 1 1
x y
的最小值为3 2 2 ．
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用
基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
6．若正数 ,x y 满足 4 0x y xy ，则 3
x y
的最大值为
A． 1
3 B． 3
8
C． 3
7 D．1
【答案】A
11
【解析】因为 4 0x y xy ，化简可得 4x y xy ，左右两边同时除以 xy 得 1 4 1y x
.求 3
x y
的最
大值，可先求
3 3 3
x y x y 的最小值.
因 为 1 413 3 3 3
x y x y
y x
4 1 4
3 3 3 3
x y
y x
4 1 42 3 3 3 3
x y
y x
3 ， 当 且 仅 当
4
3 3
x y
y x
时取等号.所以 3
x y
的最大值为 1
3 .
故选 A.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.
一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者
多个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若 a>b,b>c,则 a>c，其中 b 是 a 与 c 的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别
是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误
答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
12
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为
正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x
轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次
函数的最值或用分离参数法求最值．即
①若 ( )f x 在定义域内存在最大值 m ，则 ( )f x a (或 ( )f x a )恒成立 a m (或 a m );
②若 ( )f x 在定义域内存在最小值 m ，则 ( )f x a (或 ( )f x a )恒成立 a m (或 a m );
③若 ( )f x 在其定义域内不存在最值，只需找到 ( )f x 在定义域内的最大上界(或最小下界) m ，即 ( )f x
在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 m ，只是等号均
可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范
围，谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法
13
若 ( )f x 与 ( )g x 是关于 x 的多项式，则不等式 ( ) 0( )
f x
g x
(或<0，或 0，或 0)称为分式不等式．解分式
不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
或 ;
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
或 ;
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( )
f x g xf x f x g x f xg xg x
或 ;
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( )
f x g xf x f x g x f xg xg x
或 .
对于形如 ( )
( )
f x
g x
a(或0)的解集为(x1,x2),则 x1＋x2＋ 的最小值是
A． B．
C． D．
12．若函数 2 2 1y kx x 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是______．
13．能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 .
14．已知 是任意实数,则关于 的不等式 的解集为 .
15．[2018 天津文]已知 ,a bR ，且 3 6 0a b ，则 12 8
a
b 的最小值为_____________.
16．已知 ,若 ,则 的最小值为 .
17．已知实数 x,y 满足不等式组 则 z=x2+y2-10y+25 的最大值为 .
18．设实数 x,y 满足 则 u= 的取值范围是 .
19．[2018 江苏卷]在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 120ABC ， ABC 的平分线交 AC
于点 D，且 1BD ，则 4a c 的最小值为________．
20．[2018 北京文]若
,y 满足 1 2x y x ，则 2y−
的最小值是_________.
21．[2018 新课标 I 文]若 x ， y 满足约束条件
2 2 0
1 0
0
x y
x y
y
，则 3 2z x y 的最大值为_____________．
22．[2018 新课标 II 文]若 ,x y 满足约束条件
2 5 0
2 3 0
5 0
x y
x y
x
，
，
，
则 z x y 的最大值为__________．
18
23．[2018 新课标Ⅲ文]若变量 x y， 满足约束条件
2 3 0
2 4 0
2 0.
x y
x y
x
，
，则 1
3z x y 的最大值是________．
24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品 A,B,该研究所要根据产品的研
制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件 A 产品 每件 B 产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30
产品重量(千克) 10 5
预计收益(万元) 80 60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为 300 万元,最大搭载重量为 110 千克,则如何安排这两种
产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
19
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
