高考数学复习课时提能演练(四十八) 7_7

高考数学复习课时提能演练(四十八) 7_7

‎ ‎ 课时提能演练(四十八)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.(2012·福州模拟)如图，在底面为平行四边形的 四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中，M是AC与BD的交点，若 ‎,,，则下列向量中与相等 的向量是( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎2.已知向量a=(2，-3,5)与向量b=(3,λ, )平行，则λ=( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎3.有以下命题：‎ ‎①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a,b的关系是不共线；‎ ‎②O，A，B，C为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；‎ ‎③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )‎ ‎(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③‎ ‎4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·=0, ·=0，·=0，则△BCD的形状是( )‎ ‎(A)钝角三角形 (B)直角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)无法确定 ‎5.(2012·三明模拟)已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点(如图)，则是O为△BCD重心的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 ‎(B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎6.(2012·宁德模拟)正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在上且,N为B1B的中点，则||为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.在空间四边形ABCD中，_____________.‎ ‎8.已知O是空间中任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=_________．‎ ‎9.(2012·南平模拟)空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=‎ ‎45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于_______.‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.（易错题）已知a=(1，-3,2)，b=(-2,1,1)，点A(-3，-1,4)，B(-2，-2,2)．‎ ‎(1)求||；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得？(O为原点)‎ ‎11.(2012·襄阳模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，‎ ‎∠BCA=90°，棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A‎1A的中点.‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos<>的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C‎1M.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选A. ‎ ‎.‎ ‎【变式备选】已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点E为上底面A‎1C1的中心，若 ‎，则x、y的值分别为( )‎ ‎(A)x=1，y=1 (B)x=1，y=‎ ‎(C)x=，y= (D)x=，y=1‎ ‎【解析】选C．‎ 如图，‎ ‎，‎ 所以x=,y=.‎ ‎2.【解析】选C．由得，，解得．‎ ‎3.【解析】选C．对于①，“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a,b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确．‎ ‎4.【解题指南】通过的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．‎ ‎【解析】选C．‎ ‎,‎ 同理．故△BCD为锐角三角形．‎ ‎5.【解析】选C．若O是△BCD的重心，则 ‎,‎ 若，‎ 则，‎ 即.‎ 设BC的中点为P，则,‎ ‎∴，即O为△BCD的重心．‎ ‎6.【解析】选A.如图，设,‎ ‎,则a·b=b·c=c·a=0.‎ 由条件知 ‎∴，‎ ‎∴||= .‎ ‎7.【解析】设，‎ 则.‎ 原式=．‎ 答案:0‎ ‎8.【解析】∵A,B,C,D四点共面，‎ ‎∴，且m+n+p=1．‎ 由条件知,‎ ‎∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.‎ ‎∴2x+3y+4z=-1.‎ 答案:-1‎ ‎9.【解析】由题意知 ‎=8×4×cos45°-8×6×cos60°=16-24.‎ ‎∴.‎ ‎∴OA与BC所成角的余弦值为.‎ 答案：‎ ‎【误区警示】本题常误认为<>即为OA与BC所成的角.‎ ‎【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(-1,3,4)，D(1,1,1)，若，则||的值是________．‎ ‎【解析】设P(x，y，z)，则=(x-1，y-2，z-1),‎ ‎=(-1-x,3-y,4-z)，‎ 由知，z=3，‎ 故P().‎ 由两点间距离公式可得.‎ 答案: ‎ ‎10.【解析】(1)‎2a+b=(2，-6,4)+(-2,1,1)=(0，-5,5)，‎ 故.‎ ‎(2)令(t∈R),所以 ‎=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t)，‎ 若，则，‎ 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0，‎ 解得.‎ 因此存在点E，使得，此时E点的坐标为().‎ ‎【变式备选】已知b与a=(2,-1,2)共线，且满足a·b=18，，求b及k的值．‎ ‎【解析】∵a,b共线，‎ ‎∴存在实数λ，使．‎ ‎∴，‎ 解得λ=2．∴b=(4,-2,4)．‎ ‎∵,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴k=±2．‎ ‎11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，‎ ‎∴.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，‎ ‎∴=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,,‎ ‎∴.‎ ‎(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，=(-1,1,-2), =(,,0).‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴A1B⊥C‎1M.‎ ‎【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 ‎1.常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题．‎ ‎2.常用的解题方法 ‎(1)基向量法 先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；‎ ‎(2)坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可．‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】向量的模均为1，其夹角都是60°，故选取当基底，利用向量的运算求||的最小值.‎ ‎【解析】设,‎ 由题意，知,‎ ‎，‎ ‎∵点P在平面ABC上，‎ ‎∴存在实数x,y,z，‎ 使，且x+y+z=1，‎ ‎∴‎ ‎=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz ‎=x2+y2+z2+xy+yz+zx ‎=(x+y+z)2-(xy+yz+zx)‎ ‎=1-(xy+yz+zx)‎ ‎∵1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx ‎=［(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)］+2xy+2yz+2zx ‎≥(2xy+2yz+2zx)+2xy+2yz+2zx ‎=3(xy+yz+zx)，‎ ‎∴xy+yz+zx≤，‎ 当且仅当x=y=z=时“=”成立.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴|OP|的最小值为.‎