高考数学复习 17-18版 第9章 热点探究课5 直线与圆的综合问题

高考数学复习 17-18版 第9章 热点探究课5 直线与圆的综合问题

热点探究课(五)　直线与圆的综合问题 ‎[命题解读]　从近五年的高考试题来看，高考对该部分的考查主要以直线与圆及圆与圆的位置关系为载体，综合考查直线方程、圆的方程的求法及与直线、圆相关的最值范围问题．‎ 热点1　与直线、圆有关的最值(范围)问题 该类问题以直线、圆的位置关系为载体，通过定点圆心，弦心距之间的关系及圆与圆的位置关系建立不等式，并借助函数或不等式求相应问题的最值．‎ ‎　(1)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________. 【导学号：62172255】‎ ‎(2)(2016·苏北四市模拟)设m，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的最小值是________．‎ ‎(1)　(2)2＋2　[(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)，由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是.‎ ‎(2)由直线与圆相切可知圆心距d＝＝1，整理可得(m－1)(n－1)＝2，利用均值不等式2＝(m－1)(n－1)≤2，可知m＋n≥2＋2.等号成立的条件为m－1＝n－1，即m＝n＝＋1.]‎ ‎[规律方法]　1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．‎ ‎2．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．‎ ‎[对点训练1]　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．‎ ‎6　[根据题意，画出示意图，如图所示，‎ 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m，因为∠APB＝90°，连结OP，易知OP＝AB＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为OC＝＝5，所以OPmax＝OC＋r＝6，即m的最大值为6.]‎ 热点2　定点问题 定点问题的两种解法 ‎(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎ ‎　已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.‎ ‎(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程．‎ ‎(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为C(t，t2)．‎ 依题意知t－t2＋2＝0，所以t＝－1或2.‎ 即圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0.6分 ‎(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，‎ 令⇒所以圆C过定点(2,0).14分 ‎[规律方法]　判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标．若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点．‎ ‎[对点训练2]　如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长．‎ ‎(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动．‎ ‎(2)动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ 图1‎ ‎[解]　(1)证明：设圆心C(x，y)，由题意，得CC1＝CC2，‎ 即＝，化简得x＋y－3＝0，‎ 即动圆圆心C在定直线x＋y－3＝0上运动.4分 ‎(2)圆C过定点．‎ 设C(m,3－m)，则动圆C的半径为＝.‎ 于是动圆C的方程为(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，‎ 整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0，‎ 联立方程组 解得或 所以动圆C过定点，定点的坐标为和.14分 热点3　与直线、圆有关的函数建模问题(答题模板)‎ 与直线、圆有关的函数建模问题也是近几年的一个高考亮点，2014年江苏省第18题曾经考查过，主要考查学生运用直线、圆的知识及坐标法的思想解决问题．‎ ‎　(本小题满分14分)(2017·南京盐城一模)如图2所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大). 现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ 【导学号：62172256】‎ 图2‎ ‎ [解]　以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．‎ 则A(－8,0)，B(8,0)．‎ 由条件①，得＝＝.5分 设P(x，y)(y>0)，则3＝5，10分 化简得(x－17)2＋y2＝152(y>0)，‎ 即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆.12分 则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15千米．‎ 所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可.14分 ‎[答题模板]　第1步建系：以线段AB为x轴，其中垂线为y轴建系．‎ 第2步建等量关系：以题设条件为依托，把文字语言代数化，数量化．‎ 第3步解模：利用数学知识求解第2步中的等量关系，做到等价变形．‎ 第4步回扣主题：把数学结果实际问题化．‎ 第5步反思总结：从第1步到第4步反思一遍，看有无漏点，错点．‎ ‎[温馨提示]　1.该类问题以实际问题为载体，重在考查学生应用所学知识解决实际问题的能力，求解的关键是如何把实际问题数学模型化．‎ ‎2．注意实际问题隐含的条件、范围等信息．‎ ‎[对点训练3]　一条形如斜L型的铁路线MON在经过某城市O时转弯而改变方向，测得tan∠MON＝－3，因市内不准建站，故考虑在郊区A，B处分别建设东车站与北车站，其中东车站A建于铁路OM上，且OA＝‎6 km，北车站B建于铁路ON上，同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB经过货物中转站 Q，已知Q站与铁路线OM，ON的垂直距离分别为‎2 km， km.‎ 现以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图3所示的直角坐标系．‎ 图3‎ ‎(1)若一货运汽车以‎36 km/h的速度从车站A开往车站B，不计途中装卸货物时间，则需多长时间？‎ ‎(2)若在中转站Q的正北方向‎6 km有一个工厂P，为了节省开支，产品不经中转站而运至公路上C处，让货车直接运走，试确定点C的最佳位置．‎ ‎[解]　(1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x，‎ 设Q(x0,2)(x0>0)，由＝及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分 ‎∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，‎ 由得即B(－3,9)，‎ ‎∴AB＝＝9，从而t＝＝ h.‎ 即货运汽车需要15分钟时间.8分 ‎(2)点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C.‎ 由(1)知直线AB的方程为x＋y－6＝0，12分 ‎∵P(4,8)，则直线PC的方程为x－y＋4＝0，‎ 联立上述两式得即点C的坐标为(1,5).16分 热点探究训练(五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2‎ ‎＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________. 【导学号：62172257】‎ ‎－或－　[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．‎ 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.‎ 由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，‎ 解得k＝－或k＝－.]‎ ‎2．若圆x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．‎ ‎(－∞，4)　[圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－‎5a，‎ 可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.‎ ‎∵圆关于直线y＝x＋2b对称，‎ ‎∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.‎ ‎∴a－b＝2＋a<4.]‎ ‎3．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则‎2m＋n的最小值为________．‎ ‎9　[直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，‎ ‎∴2n＝m(n－1)，‎ ‎∴m＋2n＝mn，‎ 又m>0，n>0，得＋＝1.‎ ‎∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.‎ 当且仅当＝时取等号．‎ ‎∴2m＋n的最小值为9.]‎ ‎4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．‎ 　[因l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，‎ 即kx－y＋k－1＝0，‎ 则圆心到l的距离d＝.‎ 依题意，得≤1，解得0≤k≤.‎ 故直线l的倾斜角的取值范围是.]‎ ‎5．若圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离等于1，则c的取值范围为________．‎ ‎(，3)　[圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径r＝2，要使圆上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离为1，则1<<3，‎ 解得0，故c的取值范围为(，3)．]‎ ‎6．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________. 【导学号：62172258】‎ x－2y＋3＝0　[当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，kCM＝－2，‎ ‎∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，‎ ‎∴l的方程为：x－2y＋3＝0.]‎ ‎7．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是________．‎ 　[过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x－4y＝0，由解得或结合图象(图略)可知所求点的坐标为.]‎ ‎8．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是________．‎ ‎2＋，2－　[如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y ‎＋2＝0的距离为d＝，‎ 故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1，又AB＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.]‎ ‎9．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为________．‎ ‎2　[圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．‎ 化为：(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.‎ 圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1.‎ ‎∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值为2.]‎ ‎10．(2017·苏州模拟)设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为________．‎ ‎2　[由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝＝.‎ 要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点．]‎ 二、解答题 ‎11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论. ‎ ‎【导学号：62172259】‎ ‎[解]　(1)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b；令x＝0，得y2＋Ey ‎＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.‎ ‎(2)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．‎ 证明如下：原方程转化为(x2＋y2＋2x－y)＋b(1－y)＝0，即解得或 ‎12．(2017·南京盐城二模)如图4，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.‎ 图4‎ 问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？‎ ‎[解]　如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.‎ 设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，‎ 则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.‎ 因为AB与圆C相切，所以＝1.‎ 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.‎ 因此AB＝＝ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，‎ 于是AB＝2－(a＋b)．‎ 又ab＝2(a＋b)－2≤2，‎ 解得0＜a＋b≤4－2或a＋b≥4＋2.‎ 因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，‎ 所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2，‎ 当且仅当a＝b＝2－时取等号，‎ 所以AB的最小值为2－2，此时a＝b＝2－.‎ 即当A，B两点离道路的交点都为2－百米/时，小道AB最短．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．‎ 　[设∠PCA＝θ，所以PQ＝2sin θ.‎ 又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，所以cos θ∈，‎ 所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈，‎ 所以sin θ∈，所以PQ∈.]‎ ‎2．已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则AB的最小值为__________．‎ ‎4　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则OP＝，圆的半径为.‎ ‎∴ABmin＝2＝2＝4.]‎ ‎3．(2017·连云港、徐州、淮安、宿迁四市一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3,4)，B(9,0)，若C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.‎ 图5‎ ‎(1)若AC＝4，求直线CD的方程；‎ ‎(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．‎ ‎[解]　(1)因为A(－3,4)，所以OA＝＝5，‎ 又因为AC＝4，所以OC＝1，所以C，‎ 由BD＝4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率为＝－，‎ 所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0.‎ ‎(2)证明：设C(－‎3m,‎4m)(00)，‎ 则由4＋s2＝8，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(3)假设存在这样的点M(m，n)，设点P的坐标为(x，x＋t)，因为恒有PM＝PQ，所以(x－m)2＋(x＋t－n)2＝x2＋(x＋t－2)2－8，‎ 即(2m＋2n－4)x－(m2＋n2－2nt＋4t＋4)＝0，对x∈R，恒成立，‎ 从而 消去m，得n2－(t＋2)n＋(2t＋4)＝0.‎ 因为方程判别式△＝t2－4t－12，所以 ‎①当－2

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